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1、学习必备 欢迎下载 一、考点突破 1.理解一元二次方程的定义、解，02cbxax（0a），a、b、c 均为常数，尤其a不为零要切记。2.熟练掌握一元二次方程的几种解法，如因式分解法、公式法等，弄清化一元二次方程为一元一次方程的转化思想。二、重难点提示 熟练掌握一元二次方程的几种解法。一、知识结构 二、解题策略与方法 解一元二次方程的基本策略是：降次。降次的主要方法是因式分解法和开平方法。1.一元二次方程的概念 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 2 的整式方程叫做一元二次方程 一般形式：02cbxax（cba,是常数，且0a）2.一元二次方程的解法（1）直接开平方法 形如rnmx2)()0
2、(r的方程，两边开平方，即可转化为两个一元一次方程来解，这种方法叫做直接开平方法（2）配方法 把一元二次方程通过配方化成rnmx2)()0(r的形式，再用直接开平方法解，这种方法叫做配方法 用配方法解一元二次方程02cbxax（0a）的一般步骤是：化二次项系数为 1，即方程两边同除以二次项系数a；移项，也就是使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方；化原方程为nmx2)(的形式；如果n0就可通过两边开平方来求出方程的解；如果n0，则原方程无解（3）公式法 通 过 配 方 法 可 求 得 一 元 二 次 方 程)0(02acbxax的 求 根 公 式
3、：aacbbx242，用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法 学习必备 欢迎下载 一元二次方程02cbxax（cba,是常数，且0a）的根的判别式是acb42利用根的判别式可以判定方程实根的个数；利用根的判别式也可以建立等式、不等式，求方程中的参数的值或取值范围；通过根的判别式可证明与方程有关的代数问题，也可运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题等。用公式法解一元二次方程的一般步骤是：化方程为一元二次方程的一般形式；确定cba,的值；求出acb42的值；若042 acb，则代入求根公式求方程的解；若042 acb，则方程无解（4）因式分解法 如果一元二次方程)0(02
4、acbxax的左边可以分解为两个一次因式的积，那么根据两个因式的积等于0，这两个因式至少有一个为0，原方程可转化为两个一元一次方程来解，这种方法叫做因式分解法 因式分解法的步骤是：将方程右边化为 0；将方程左边分解为两个一次因式的乘积；令每个因式等于 0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解 注意：方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式，否则会丢根 能力提升类 例 1 方程（m21）x2mx50 是关于 x 的一元二次方程，则 m 满足的条件是（）A.m1 B.m0 C.|m|1 D.m 1 一点通：该方程为关于 x 的一元二次方程，根据一元二次方程的定
5、义中0a的条件可求。答案：C 评析：根据一元二次方程中二次项的系数不为 0 这一条件可确定二次项系数中所含字母的取值范围.例 2 解关于x的方程：)0(02acax 一点通：含有字母系数的方程，一般需对字母的取值范围进行分类讨论 解：因为0a，所以acx2。当 c0 时，x1x20；当),(0异号时即caac，acx2,1；当),(0同号时即caac，方程无实数根 评析：本题主要考查分类讨论思想。例 3 解关于x的方程：03)12()1(2mxmxm 一点通：含有字母系数的方程，一般需对字母的取值范围进行讨论讨论m，由于二次项系数含有m，所以首先要分01m与01m两种情况（不能认为方程一定是一
6、元二次方程）；当01m时，再分0，0，0三种情况讨论 解：分类讨论（1）当1m时，原方程变为一元一次方程02 x，所以2x 分解法公式法等弄清化一元二次方程为一元一次方程的转化思想均为常数尤其二重难点提示熟练掌握一元二次方程的几种解法一知识结构二解题策略与方法解一元二次方程的基本策略是降次降次的主要方法是因式分解法和开平方法元二次方程的解法直接开平方法形如的方程两边开平方即可转化为两个一元一次方程来解这种方法叫做直接开平方法配方法把一元二次方程通过配方化成的形式再用直接开平方法解这种方法叫做配方法用配方法解一元二次方程的一配方即方程两边都加上一次项系数一半的平方化原方程为的形式如果就可通过两边
7、开平方来出方程的解如果则原方程无解公式法通过配方法可得一元二次方程的根公式用根公式解一元二次方程的方法叫做公式法学习必备欢迎下载定学习必备 欢迎下载（2）当1m时，原方程为一元二次方程 1112)3)(1(4)12(2mmmm 当1211m，且1m时，0，方程有两个不相等的实数根，)1(21112212,1mmmx；当1211m时，0，方程有两个相等的实数根，5)1(22121mmxx；当1211m时，0，方程没有实数根。评析：本题主要考查分类讨论，一元二次方程的概念，根的判别式及一元二次方程的解法等知识，并强化分类讨论的思想方法。综合运用类 例 4 三角形两边的长是 3 和 4，第三边的长是
8、方程212350 xx的根，则该三角形的周长为（）A.14 B.12 C.12 或 14 D.以上都不对 一点通：解这个方程得15x，27x。结合三角形三边关系，第三边的范围是17x，所以27x 不合题意，舍去。这个三角形的三边分别为 3、4、5，故周长为 12 答案：B 评析：这道题将构成三角形的条件与一元二次方程的解结合在一起，并考查了分类讨论的思想。例 5 解方程：2340 xx 一点通：本题含绝对值符号，因此求解方程时，要考虑到绝对值的意义 解法 1：显然0 x 当0 x 时，2340 xx，所以14x,21x （舍去）当0 x时，2340 xx，所以34x ,41x（舍去）所以原方程
9、的根为4、4 解法 2：由于22xx，所以2340 xx 所以(4)(1)0 xx 所以4x,1x （舍去）所以14x,24x 评析：本题主要考查含绝对值符号的方程的解法。例 6 解方程：04)1(5)1(222xx 一点通：本题为四次方程，教材上没出现过，该怎么解呢？无论题目如何变化，解决高次方程问题的策略是不变的，那就是降次，因此观察式子的结构特点，根据特点找关系进行降次是解决问题的关键。解：为解方程04)1(5)1(222xx，我们可将12x视为一个整体，然后设分解法公式法等弄清化一元二次方程为一元一次方程的转化思想均为常数尤其二重难点提示熟练掌握一元二次方程的几种解法一知识结构二解题策
10、略与方法解一元二次方程的基本策略是降次降次的主要方法是因式分解法和开平方法元二次方程的解法直接开平方法形如的方程两边开平方即可转化为两个一元一次方程来解这种方法叫做直接开平方法配方法把一元二次方程通过配方化成的形式再用直接开平方法解这种方法叫做配方法用配方法解一元二次方程的一配方即方程两边都加上一次项系数一半的平方化原方程为的形式如果就可通过两边开平方来出方程的解如果则原方程无解公式法通过配方法可得一元二次方程的根公式用根公式解一元二次方程的方法叫做公式法学习必备欢迎下载定学习必备 欢迎下载 yx 12，则222)1(yx，原方程化为0452 yy，解得11y，42y 当1y时，112x，得2
11、x；当4y时，412x，得5x。故原方程的解为21x；22x；53x；54x。评析：本题主要考查通过换元进行降次，进而解高次方程的解法。在解方程的过程中，我们将12x用y替换，先解出关于y的方程，达到了降低方程次数的目的，这种方法叫作“换元法”，和解二元一次方程组时的消元、解一元二次方程时的降次一样，都体现了转化的数学思想。有些与一元二次方程相关的问题，常常不是去解这个方程，而是通过变形降次、整体代入等技巧方法，促使问题得以解决。思维拓展类 例 7 解方程(2)(1)(4)(7)19xxxx。一点通：本题也是四次方程，但其式子中隐含的结构特点更加隐蔽，不管特点有多么隐蔽，只要紧紧抓住解高次方程
12、的基本策略降次，认真观察探寻式子中的结构特点，问题均可迎刃而解。解：把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得 22(514)(54)19xxxx 设222(514)(54)552xxxxyxx 则(9)(9)19yy，即28119y。解得1,210y。将1y，2y的值代入式得1,25852x，3,4552x 评析：在解此题时，要仔细观察方程中系数之间的特殊关系，用换元法解之 例 8 解方程：01256895612234xxxx 一点通：观察该方程中的系数，可发现系数有以下特点：4x的系数与常数项相同，3x的系数与x的系数相同，像这样的方程我们称之为倒数方程利用倒数之
13、积等于 1 进行恒等变形是解这类题的主要方法。解：由于0 x，方程两边同乘以21x得 0125689561222xxxx 089)1(56)1(1222xxxx 065)1(56)1(122xxxx 设yxx1，则06556122yy，所以251y，6132y。分解法公式法等弄清化一元二次方程为一元一次方程的转化思想均为常数尤其二重难点提示熟练掌握一元二次方程的几种解法一知识结构二解题策略与方法解一元二次方程的基本策略是降次降次的主要方法是因式分解法和开平方法元二次方程的解法直接开平方法形如的方程两边开平方即可转化为两个一元一次方程来解这种方法叫做直接开平方法配方法把一元二次方程通过配方化成的
14、形式再用直接开平方法解这种方法叫做配方法用配方法解一元二次方程的一配方即方程两边都加上一次项系数一半的平方化原方程为的形式如果就可通过两边开平方来出方程的解如果则原方程无解公式法通过配方法可得一元二次方程的根公式用根公式解一元二次方程的方法叫做公式法学习必备欢迎下载定学习必备 欢迎下载 由251y，得251xx，所以21x，212x。由6132y，得6131xx，所以323x，234x。因此，原方程的根为21x，212x，323x，234x。例 9 解方程：5)22(22xxx。一点通：方程的左边是平方和的形式，添项后可配成完全平方的形式 解：5222)22(22222xxxxxxxxx 52
15、4)22(22xxxxx，所以 0524)2(222xxxx，0)12)(52(22xxxx 0522xx或0122xx 当0522xx时，得01052 xx，这个方程无实数解；当0122xx时，得022xx，所以11x，22x；经检验，11x，22x是原方程的根 1.正确理解一元二次方程的意义，对于方程各项及其系数的确立必须将方程化为一般形式，另外，不要忽略各项及其系数的符号。2.运用公式法解一元二次方程时，常常忽略将方程化为一般形式或没有注意各项系数的符号。3.在已知根的情况下求方程中字母系数的取值时，常忽略一元二次方程二次项系数必须不为零 0 条件。问题：解方程：xxxx111 一点通：
16、高次方程求解需降次，根式方程求解需要通过平方去掉根号。解：由题意可知 1x 原式即xxxx111 分解法公式法等弄清化一元二次方程为一元一次方程的转化思想均为常数尤其二重难点提示熟练掌握一元二次方程的几种解法一知识结构二解题策略与方法解一元二次方程的基本策略是降次降次的主要方法是因式分解法和开平方法元二次方程的解法直接开平方法形如的方程两边开平方即可转化为两个一元一次方程来解这种方法叫做直接开平方法配方法把一元二次方程通过配方化成的形式再用直接开平方法解这种方法叫做配方法用配方法解一元二次方程的一配方即方程两边都加上一次项系数一半的平方化原方程为的形式如果就可通过两边开平方来出方程的解如果则原
17、方程无解公式法通过配方法可得一元二次方程的根公式用根公式解一元二次方程的方法叫做公式法学习必备欢迎下载定学习必备 欢迎下载 平方，整理得01)1(2)1(xxxx 配方得0 1)1(2xx 开方01)1(xx 移项1)1(xx 再平方1)1(xx 整理012xx 解之，得251x 取不小于 1 的根，得251x 经检验，251x是原方程的解。点评：无论是高次方程还是根式方程，我们看到主要的解题策略都是通过适当的转化手段，变成我们常见的一元一次方程或者一元二次方程来求解。（答题时间：45分钟）1.若方程 3x2bxc0 的解为 x11，x23，则整式 3x2bxc 可分解因式为_。2.已知：关于
18、 x 的方程 2x22（ac）x（ab）2（bc）20 有两相等实数根 求证：ac2b（a，b，c 是实数）3.解方程：(31)(1)(41)(1)xxxx 4.解方程：82)1()3(44xx 5.已知二次方程23(25)310 xaxa 有一个根为 2，求另一个根，并确定a的值 6.设a，b，c为ABC的三边，且二次三项式222xaxb与222xcxb有一次公因式，求证：ABC一定是直角三角形 分解法公式法等弄清化一元二次方程为一元一次方程的转化思想均为常数尤其二重难点提示熟练掌握一元二次方程的几种解法一知识结构二解题策略与方法解一元二次方程的基本策略是降次降次的主要方法是因式分解法和开平
19、方法元二次方程的解法直接开平方法形如的方程两边开平方即可转化为两个一元一次方程来解这种方法叫做直接开平方法配方法把一元二次方程通过配方化成的形式再用直接开平方法解这种方法叫做配方法用配方法解一元二次方程的一配方即方程两边都加上一次项系数一半的平方化原方程为的形式如果就可通过两边开平方来出方程的解如果则原方程无解公式法通过配方法可得一元二次方程的根公式用根公式解一元二次方程的方法叫做公式法学习必备欢迎下载定学习必备 欢迎下载 1.)3)(1(3xx 2.证明：一元二次方程有两个相等实数根，0，即2（ac）24 2（ab）2（bc）20 （ac）22（a22abb2b22bcc2）0 a24b2c
20、22ac4ab4bc0 （ac）24b（ac）4b20 （ac2b）20 ac2b0 即 ac2b 3.解：0)1)(14()1)(13(xxxx(1)(31)(41)0 xxx (1)(2)0 xx 所以11x,22x 4.解：设 22)1()3(xxxy，于是原方程变为 82)1()1(44yy，整理得 040624 yy 解这个方程，得2y，即 22x 解得原方程的根为41x，02x。5.解：由方程根的定义知，当2x 时方程成立，所以 23 2(25)2310aa 故3a 原方程为23100 xx，即(2)(35)0 xx，所以另一个根为53x 。6.证明：因为题目中的两个二次三项式有一
21、个公因式，所以二次方程2220 xaxb与2220 xcxb必有公共根，设公共根为0 x，则 220020 xaxb，220020 xcxb。两式相加得 20022()0 xac x，00()0 x xac 若00 x，代入式得0b，这与b为ABC的边不符，所以公共根0()xac 。把0()xac 代入式得22()2()0aca acb，整理得222abc 所以ABC一定是直角三角形 分解法公式法等弄清化一元二次方程为一元一次方程的转化思想均为常数尤其二重难点提示熟练掌握一元二次方程的几种解法一知识结构二解题策略与方法解一元二次方程的基本策略是降次降次的主要方法是因式分解法和开平方法元二次方程
22、的解法直接开平方法形如的方程两边开平方即可转化为两个一元一次方程来解这种方法叫做直接开平方法配方法把一元二次方程通过配方化成的形式再用直接开平方法解这种方法叫做配方法用配方法解一元二次方程的一配方即方程两边都加上一次项系数一半的平方化原方程为的形式如果就可通过两边开平方来出方程的解如果则原方程无解公式法通过配方法可得一元二次方程的根公式用根公式解一元二次方程的方法叫做公式法学习必备欢迎下载定学习必备 欢迎下载 分解法公式法等弄清化一元二次方程为一元一次方程的转化思想均为常数尤其二重难点提示熟练掌握一元二次方程的几种解法一知识结构二解题策略与方法解一元二次方程的基本策略是降次降次的主要方法是因式分解法和开平方法元二次方程的解法直接开平方法形如的方程两边开平方即可转化为两个一元一次方程来解这种方法叫做直接开平方法配方法把一元二次方程通过配方化成的形式再用直接开平方法解这种方法叫做配方法用配方法解一元二次方程的一配方即方程两边都加上一次项系数一半的平方化原方程为的形式如果就可通过两边开平方来出方程的解如果则原方程无解公式法通过配方法可得一元二次方程的根公式用根公式解一元二次方程的方法叫做公式法学习必备欢迎下载定