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1、一元二次方程解法 解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、分解因式法；5、十字相乘法。1、直接开平方法：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如（x-m)=n(n0)的 方程，其解为 x=n+m.例 1解方程（x-2）=9 （2）9x-24x+16=11 分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式（3x-4），右边=110，所以此方程也可用直接开平方法解。解：(x-2）=9 x-2=9 x-2=3 x1=3+2 x2=-3+2 x1=5 x
2、2=-1 解：9x-24x+16=11 （3x-4）=11 3x-4=11 x=411/3 原方程的解为x1=411/3,x2=411/3 2配方法：用配方法解方程 ax+bx+c=0(a0)先将常数 c 移到方程右边：ax+bx=-c 将二次项系数化为 1：x+ba/x=-c/a 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x+b/ax+(b/2a)=-c/a+(b/2a)方程左边成为一个完全平方式：（x+b/2a)=-c/a b/2a）;当 b-4ac0 时，x+b/2a=c/a b/2a ;x=bb 4ac/2a（这就是求根公式）例 2用配方法解方程 3x -4x-2=0 解：将常数项移到方
3、程右边 3x -4x=2 将二次项系数化为 1：x-4/3 x=2/3 方程两边都加上一次项系数一半的平方：x-4/3 x+（2/3）=2/3+（2/3）配方：（x-2/3）=2/3+（2/3）直接开平方得：x-2/3=10/9 x=2/3 10/9 原方程的解为x1=2/310/3，x2=2/310/3.3 公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式=b-4ac 的值，当b-4ac0 时，把各项系数a,b,c 的值代入求根公式x=-b（b-4ac)/（2a),(b -4ac0）就可得到方程的根。例 3用公式法解方程 2x -8x=-5 解：将方程化为一般形式：2x-8x+5=0 a=
4、2,b=-8,c=5 b-4ac=(-8）-425=64-40=240 法直接开平方法配方法公式法分解因式法十字相乘法直接开平方法直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法用直接开平方法解形如的方程其解为例解方程分析此方程显然用直接开平方法好做方程左边是完全平方式右数化为方程两边分别加上一次项系数的一半的平方方程左边成为一个完全平方式当时这就是求根公式例用配方法解方程解将常数项移到方程右边将二次项系数化为方程两边都加上一次项系数一半的平方配方直接开平方得原方程的解例用公式法解方程解将方程化为一般形式原方程的解为因式分解法十字相乘法把方程变形为一边是零把另一边的二次三项式分解成两个一次因
5、式的积的形式让两个一次因式分别等于零得到两个一元一次方程解这两个一元一次方程所x=(-b（b-4ac)/（2a)原方程的解为 x?=,x?=.4因式分解法（十字相乘法）：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。（老教材中这种方法称为十字相乘法）例 4用因式分解法解下列方程：(x+3）（x-6）=-8 2x+3x=0 6x+5x-50=0（选学）x-4x+4=0（选学）解：（x+3）（x-6）=-8 化简整理得 x-3x-10
6、=0 （方程左边为二次三项式，右边为零）（x-5）（x+2）=0 （方程左边分解因式）x-5=0或 x+2=0 （转化成两个一元一次方程）x1=5,x2=-2是原方程的解。解：2x+3x=0 x（2x+3）=0 （用提公因式法将方程左边分解因式）x=0 或 2x+3=0（转化成两个一元一次方程）x1=0，x2=-是原方程的解。法直接开平方法配方法公式法分解因式法十字相乘法直接开平方法直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法用直接开平方法解形如的方程其解为例解方程分析此方程显然用直接开平方法好做方程左边是完全平方式右数化为方程两边分别加上一次项系数的一半的平方方程左边成为一个完全平方式
7、当时这就是求根公式例用配方法解方程解将常数项移到方程右边将二次项系数化为方程两边都加上一次项系数一半的平方配方直接开平方得原方程的解例用公式法解方程解将方程化为一般形式原方程的解为因式分解法十字相乘法把方程变形为一边是零把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式让两个一次因式分别等于零得到两个一元一次方程解这两个一元一次方程所注意：有些同学做这种题目时容易丢掉 x=0 这个解，应记住一元二次方程有两个解。解：6x+5x-50=0 （2x-5）（3x+10）=0（十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错）2x-5=0或 3x+10=0 x1=,x2=-是原方程的解。解：x-4x+4=0 （
8、4 可分解为 2 2，此题可用因式分解法）（x-2）（x-2）=0 x1=2,x2=2 是原方程的解。小结：一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。直接开平方法是最基本的方法。公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程是否有解。配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的
9、应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：元法，配方法，待定系数法）。5、十字相乘法 法直接开平方法配方法公式法分解因式法十字相乘法直接开平方法直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法用直接开平方法解形如的方程其解为例解方程分析此方程显然用直接开平方法好做方程左边是完全平方式右数化为方程两边分别加上一次项系数的一半的平方方程左边成为一个完全平方式当时这就是求根公式例用配方法解方程解将常数项移到方程右边将二次项系数化为方程两边都加上一次项系数一半的平方配方直接开平方得原方程的解例用公式法解方程解将方程化为一般形式原方程的解为因式分解法十字相乘法把
10、方程变形为一边是零把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式让两个一次因式分别等于零得到两个一元一次方程解这两个一元一次方程所有的地区教材已经不存在(如：人教初中数学全册、北师大高中数学全册），但仍然能在上述教材使用地区的试卷中见到。十字相乘法的方法简单来讲就是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。其实就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解。十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。对于形如 ax+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）的整式来说，方法的关键是把二次项系数 a 分解成两个因数 a1,a2
11、的积a1a2，把常数项c 分解成两个因数c1,c2 的积c1c2，并使a1c2+a2c1正好是一次项的系数 b，那么可以直接写成结果:ax+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）。在运用这种方法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是 1 时，往往需要多次试验，务必注意各项系数的符号。基本式子：x+(p+q）+pq=(+p）(+q）。例：a x+ax-42 首先，我们看看第一个数，是 a，代表是两个 a 相乘得到的，则推断出(a +？）(a +？）然后我们再看第二项，+a 这种式子是经过合并同类项以后得到的结果，所以推断出使两项式 两项式。再看最后一项
12、是-42，-42是-6 7 或者 6-7也可以分解成-21 2 或者 21-2 首先，21 和 2 无论正负，合并后都不可能是 1 只可能是-19或者 19，所以排除后者。然后，在确定是-7 6 还是 7-6.(a-7）(a+6）=a-a-42(计算过程省略，）法直接开平方法配方法公式法分解因式法十字相乘法直接开平方法直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法用直接开平方法解形如的方程其解为例解方程分析此方程显然用直接开平方法好做方程左边是完全平方式右数化为方程两边分别加上一次项系数的一半的平方方程左边成为一个完全平方式当时这就是求根公式例用配方法解方程解将常数项移到方程右边将二次项系
13、数化为方程两边都加上一次项系数一半的平方配方直接开平方得原方程的解例用公式法解方程解将方程化为一般形式原方程的解为因式分解法十字相乘法把方程变形为一边是零把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式让两个一次因式分别等于零得到两个一元一次方程解这两个一元一次方程所得到结果与原来结果不相符，原式+a 变成了-a 再算：(a+7）(a+(-6）=a+a-42 正确，所以 a x+ax-42 就被分解成为(ax+7）(ax-6），这就是通俗的十字相乘法分解因式.编辑本段例题解析 例 1 把 2x-7x+3分解因式.分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分 别写
14、在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数.分解二次项系数(只取正因数 因为取负因数的结果与正因数结果相同！2=1 2=2 1；分解常数项：3=1 3=3 1=(-3)(-1)=(-1)(-3).用画十字交叉线方法表示下列四种情况：1 1 2 3 13+21=5-7 1 3 法直接开平方法配方法公式法分解因式法十字相乘法直接开平方法直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法用直接开平方法解形如的方程其解为例解方程分析此方程显然用直接开平方法好做方程左边是完全平方式右数化为方程两边分别加上一次项系数的一半的平方方程左边成为一个完全平方式当时这就是求根公式例用
15、配方法解方程解将常数项移到方程右边将二次项系数化为方程两边都加上一次项系数一半的平方配方直接开平方得原方程的解例用公式法解方程解将方程化为一般形式原方程的解为因式分解法十字相乘法把方程变形为一边是零把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式让两个一次因式分别等于零得到两个一元一次方程解这两个一元一次方程所 2 1 11+23=7-7 1-1 2-3 1(-3)+2(-1)=-5 -7 1-3 2-1 1(-1)+2(-3)=-7 经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数-7.解 2x-7x+3=(x-3)(2x-1)通常地，对于二次三项式 ax+bx+
16、c(a0)，如果二次项系数 a 可以分解成两个因数之积，即 a=a1a2，常数项 c 可以分解成两个因数之积，即 c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下：a1 c1 a2 c2 a1c2+a2c1 按斜线交叉相乘，再相加，得到 a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax+bx+c 的一次项系数 b，即 a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为法直接开平方法配方法公式法分解因式法十字相乘法直接开平方法直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法用直接开平方法解形如的方程其解为例解方程分析此方程显然用直接开平方法好做方程左边是完全平方式右数化为方程两边分别加上一次项系
17、数的一半的平方方程左边成为一个完全平方式当时这就是求根公式例用配方法解方程解将常数项移到方程右边将二次项系数化为方程两边都加上一次项系数一半的平方配方直接开平方得原方程的解例用公式法解方程解将方程化为一般形式原方程的解为因式分解法十字相乘法把方程变形为一边是零把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式让两个一次因式分别等于零得到两个一元一次方程解这两个一元一次方程所两个因式 a1x+c1 与 a2x+c2 之积，即 ax2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2).像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法.例 2 把 6x2-7x-5分
18、解因式.分析：按照例 1 的方法，分解二次项系数 6 及常数项-5，把它们分别排列，可有 8 种不同的排列方法，其中的一种 2 1 3-5 2(-5)+3 1=-7 是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.解 6x2-7x-5=(2x+1)(3x-5)指出：通过例 1 和例 2 可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是 1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.对于二次项系数是 1 的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把 x+2x-15分解因式，十字相乘法是 1-3 1 5 法直接开平方法配方法公式
19、法分解因式法十字相乘法直接开平方法直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法用直接开平方法解形如的方程其解为例解方程分析此方程显然用直接开平方法好做方程左边是完全平方式右数化为方程两边分别加上一次项系数的一半的平方方程左边成为一个完全平方式当时这就是求根公式例用配方法解方程解将常数项移到方程右边将二次项系数化为方程两边都加上一次项系数一半的平方配方直接开平方得原方程的解例用公式法解方程解将方程化为一般形式原方程的解为因式分解法十字相乘法把方程变形为一边是零把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式让两个一次因式分别等于零得到两个一元一次方程解这两个一元一次方程所1 5+1(-3)
20、=2 所以 x+2x-15=(x-3)(x+5).例 3 把 5x+6xy-8y 分解因式.分析：这个多项式可以看作是关于 x 的二次三项式，把-8y看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解 5 与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即 1 2 5-4 1(-4)+5 2=6 解 5x+6xy-8y=(x+2y)(5x-4y).指出：原式分解为两个关于 x，y 的一次式.例 4 把(x-y)(2x-2y-3）-2分解因式.分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解.问：以上乘积的因式是什么特点，用什么方法
21、进行多项式的乘法运算最简便?答：第二个因式中的前两项如果提出公因式 2，就变为 2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x-y）看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x-y）的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了.法直接开平方法配方法公式法分解因式法十字相乘法直接开平方法直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法用直接开平方法解形如的方程其解为例解方程分析此方程显然用直接开平方法好做方程左边是完全平方式右数化为方程两边分别加上一次项系数的一半的平方方程左边成为一个完全平方式当时这就是求根公式例用配方法解方程解将常数项移到方程右边将二次项系数化为方程两边都加上一次项系
22、数一半的平方配方直接开平方得原方程的解例用公式法解方程解将方程化为一般形式原方程的解为因式分解法十字相乘法把方程变形为一边是零把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式让两个一次因式分别等于零得到两个一元一次方程解这两个一元一次方程所解(x-y)(2x-2y-3)-2=(x-y)2(x-y)-3-2=2(x-y)-3(x-y)-2 1-2 2 1 1 1+2(-2）=3=(x-y)-22(x-y)+1=(x-y-2)(2x-2y+1).指出：把(x-y）看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法.例 5 x+2x-15 分析：常数项(-15）0，可分解成异号两数的积，
23、可分解为(-1）(15），或(1）(-15）或(3）(-5）或(-3）(5），其中只有(-3）(5）中-3和 5 的和为 2。=(x-3）(x+5）总结：x+(p+q）x+pq 型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是 1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是 1的二次三项式因式分解：x+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)kx+mx+n 型的式子的因式分解 法直接开平方法配方法公式法分解因式法十字相乘法直接开平方法直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法用直接开平方法解形如的方程其解为例解方程分析此方程显然用
24、直接开平方法好做方程左边是完全平方式右数化为方程两边分别加上一次项系数的一半的平方方程左边成为一个完全平方式当时这就是求根公式例用配方法解方程解将常数项移到方程右边将二次项系数化为方程两边都加上一次项系数一半的平方配方直接开平方得原方程的解例用公式法解方程解将方程化为一般形式原方程的解为因式分解法十字相乘法把方程变形为一边是零把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式让两个一次因式分别等于零得到两个一元一次方程解这两个一元一次方程所如果能够分解成 k=ac，n=bd，且有 ad+bc=m 时，那么 kx+mx+n=(ax+b)(cx+d)a b c d 例 6 某高校 2006 年度毕业
25、学生 7650 名，比上年度增长 2%，其中本科毕业生比上年度减少 2%，而研究生毕业数量比上年度增加 10%，那么，这所高校今年(2006）毕业的本科生有多少人？解：去年毕业生一共 7500 人，7650(1+2%）=7500 人。本科生：-2%8%2%研究生：10%-4%本科生研究生=8%(-4%)=-2 1。去年的本科生：7500 2/3=5000 今年的本科生：5000 0.98=4900 答：这所高校今年毕业的本科生有 4900 人。例 7 鸡兔同笼问题：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？解：假设全为鸡脚则有 70 只脚，假设全为兔脚则有 140 只脚 法直接开
26、平方法配方法公式法分解因式法十字相乘法直接开平方法直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法用直接开平方法解形如的方程其解为例解方程分析此方程显然用直接开平方法好做方程左边是完全平方式右数化为方程两边分别加上一次项系数的一半的平方方程左边成为一个完全平方式当时这就是求根公式例用配方法解方程解将常数项移到方程右边将二次项系数化为方程两边都加上一次项系数一半的平方配方直接开平方得原方程的解例用公式法解方程解将方程化为一般形式原方程的解为因式分解法十字相乘法把方程变形为一边是零把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式让两个一次因式分别等于零得到两个一元一次方程解这两个一元一次方程所鸡
27、：70 46 94 兔：140 24 鸡：兔=46：24=23：12 答：鸡有 23 只，兔有 12 只。例 8 解一元二次方程：把 2x-7x+3分解因式。分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。分解二次项系数(只取正因数）：2=1 2=2 1；分解常数项：3=1 3=3 1=(-3）(-1）=(-1）(-3）.用画十字交叉线方法表示下列四种情况：1 1 2 3 1 3+2 1=5 1 3 2 1 1 1+2 3=7 法直接开平方法配方法公式法分解因式法十字相乘法直接开平方法直接
28、开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法用直接开平方法解形如的方程其解为例解方程分析此方程显然用直接开平方法好做方程左边是完全平方式右数化为方程两边分别加上一次项系数的一半的平方方程左边成为一个完全平方式当时这就是求根公式例用配方法解方程解将常数项移到方程右边将二次项系数化为方程两边都加上一次项系数一半的平方配方直接开平方得原方程的解例用公式法解方程解将方程化为一般形式原方程的解为因式分解法十字相乘法把方程变形为一边是零把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式让两个一次因式分别等于零得到两个一元一次方程解这两个一元一次方程所1-1 2-3 1(-3）+2(-1）=-5 1-3 2
29、-1 1(-1）+2(-3）=-7 经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数7.解：2x-7x+3=(x-3）(2x-1）.一般地，对于二次三项式 ax+bx+c(a0），如果二次项系数 a 可以分解成两个因数之积，即 a=a1a2，常数项 c 可以分解成两个因数之积，即 c=c1c2，把 a1，a2，c1，c2，排列如下：a1 c1 a2 c2 a1c2+a2c1 按斜线交叉相乘，再相加，得到 a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式 ax2+bx+c 的一次项系数 b，法直接开平方法配方法公式法分解因式法十字相乘法直接开平方法直接开平方法就是用直接开平
30、方求解一元二次方程的方法用直接开平方法解形如的方程其解为例解方程分析此方程显然用直接开平方法好做方程左边是完全平方式右数化为方程两边分别加上一次项系数的一半的平方方程左边成为一个完全平方式当时这就是求根公式例用配方法解方程解将常数项移到方程右边将二次项系数化为方程两边都加上一次项系数一半的平方配方直接开平方得原方程的解例用公式法解方程解将方程化为一般形式原方程的解为因式分解法十字相乘法把方程变形为一边是零把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式让两个一次因式分别等于零得到两个一元一次方程解这两个一元一次方程所即 a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式 a1x+c1
31、与 a2x+c2 之积，即 ax2+bx+c=(a1x+c1）(a2x+c2）.例 2 把 6x-7x-5分解因式.分析：按照例 1 的方法，分解二次项系数 6 及常数项-5，把它们分别排列，可有 8 种不相同的排列方法，其中的一种 213-5 2(-5）+3 1=-7 是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式.解 6x-7x-5=(2x+1）(3x-5）指出：通过例 1 和例 2 可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是 1 的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式.对于二次项系数是 1 的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如
32、何把常数项分解因数.例如把 x+2x-15分解因式，十字相乘法是 1-3 15 1 5+1(-3）=2 所以 x+2x-15=(x-3）(x+5）.例 3 法直接开平方法配方法公式法分解因式法十字相乘法直接开平方法直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法用直接开平方法解形如的方程其解为例解方程分析此方程显然用直接开平方法好做方程左边是完全平方式右数化为方程两边分别加上一次项系数的一半的平方方程左边成为一个完全平方式当时这就是求根公式例用配方法解方程解将常数项移到方程右边将二次项系数化为方程两边都加上一次项系数一半的平方配方直接开平方得原方程的解例用公式法解方程解将方程化为一般形式原方
33、程的解为因式分解法十字相乘法把方程变形为一边是零把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式让两个一次因式分别等于零得到两个一元一次方程解这两个一元一次方程所把 5x+6xy-8y2 分解因式.分析：这个多项式可以看作是关于 x 的二次三项式，把-8y2 看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解 5 与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即 12 5-4 1(-4）+5 2=6 解 5x+6xy-8y=(x+2y)(5x-4y).指出：原式分解为两个关于 x，y 的一次式.例 9 把(x-y)(2x-2y-3）-2分解因式.分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数
34、之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解.问：两上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?答：第二个因式中的前两项如果提出公因式 2，就变为 2(x-y），它是第一个因式的二倍，然后把(x-y）看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x-y）的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了.解(x-y)(2x-2y-3）-2=(x-y)2(x-y)-3-2=2(x-y)-3(x-y)-2 1-2 21 法直接开平方法配方法公式法分解因式法十字相乘法直接开平方法直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法用直接开平方法解形如的方程其解为例解
35、方程分析此方程显然用直接开平方法好做方程左边是完全平方式右数化为方程两边分别加上一次项系数的一半的平方方程左边成为一个完全平方式当时这就是求根公式例用配方法解方程解将常数项移到方程右边将二次项系数化为方程两边都加上一次项系数一半的平方配方直接开平方得原方程的解例用公式法解方程解将方程化为一般形式原方程的解为因式分解法十字相乘法把方程变形为一边是零把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式让两个一次因式分别等于零得到两个一元一次方程解这两个一元一次方程所1 1+2(-2）=3=(x-y)-22(x-y)+1=(x-y-2）(2x-2y+1）.指出：把(x-y）看作一个整体进行因式分解，这又
36、是运用了数学中的“整体”思想方法.例 5x+2x-15 分析：常数项(-15）0，可分解成异号两数的积，可分解为(-1）(15），或(1）(-15）或(3）(-5）或(-3）(5），其中只有(-3）(5）中-3和 5 的和为 2。=(x-3）(x+5）总结：x+(p+q）x+pq 型的式子的因式分解 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是 1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是 1 的二次三项式因式分解：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)kx2+mx+n 型的式子的因式分解 如果能够分解成 k=ac，n=bd，且有 ad+bc=
37、m 时，那么 kx2+mx+n=(ax+b)(cx+d)a bc d(1）(x+3）(x-6）=-8(2）2x2+3x=0(3）6x2+5x-50=0(4）x2-2(+)x+4=0(1）解：(x+3）(x-6）=-8 化简整理得 x-3x-10=0(方程左边为二次三项式，右边为零）(x-5）(x+2）=0(方程左边分解因式）法直接开平方法配方法公式法分解因式法十字相乘法直接开平方法直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法用直接开平方法解形如的方程其解为例解方程分析此方程显然用直接开平方法好做方程左边是完全平方式右数化为方程两边分别加上一次项系数的一半的平方方程左边成为一个完全平方式当
38、时这就是求根公式例用配方法解方程解将常数项移到方程右边将二次项系数化为方程两边都加上一次项系数一半的平方配方直接开平方得原方程的解例用公式法解方程解将方程化为一般形式原方程的解为因式分解法十字相乘法把方程变形为一边是零把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式让两个一次因式分别等于零得到两个一元一次方程解这两个一元一次方程所x-5=0或 x+2=0(转化成两个一元一次方程)x1=5,x2=-2 是原方程的解。(2）解：2x+3x=0 x(2x+3）=0(用提公因式法将方程左边分解因式）x=0 或 2x+3=0(转化成两个一元一次方程）x1=0，x2=-3/2是原方程的解。注意：有些同学做
39、这种题目时容易丢掉 x=0 这个解，应记住一元二次方程有两个解。(3）解：6x+5x-50=0(2x-5）(3x+10）=0(十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错）2x-5=0或 3x+10=0 x1=5/2,x2=-10/3 是原方程的解。(4）解：x-2(+)x+4=0(4 可分解为 2 2，此题可用因式分解法）(x-2）(x-2)=0 x1=2,x2=2 是原方程的解。例题 x-x-2=0 解：(x+1）(x-2）=0 x+1=0 或 x-2=0 x1=-1,x2=2(附：是数学符号，例：3=3 3=9）法直接开平方法配方法公式法分解因式法十字相乘法直接开平方法直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法用直接开平方法解形如的方程其解为例解方程分析此方程显然用直接开平方法好做方程左边是完全平方式右数化为方程两边分别加上一次项系数的一半的平方方程左边成为一个完全平方式当时这就是求根公式例用配方法解方程解将常数项移到方程右边将二次项系数化为方程两边都加上一次项系数一半的平方配方直接开平方得原方程的解例用公式法解方程解将方程化为一般形式原方程的解为因式分解法十字相乘法把方程变形为一边是零把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式让两个一次因式分别等于零得到两个一元一次方程解这两个一元一次方程所