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1、学习好资料 欢迎下载 一元二次方程及应用（综合复习）【课前练习】1.用直接开平方法解方程2(3)8x，得方程的根为（）A.32 3x B.1232 2,3 2 2xx C.32 2x D.1232 3,32 3xx 2.方程2(1)0 xx 的根是（）A0 B1 C0，1 D 0，1 3.设(1)(2)0 xx的两根为12xx、，且1x2x，则122xx 。4.已知关于x的方程22440 xkxk的一个根是2，那么k 。5.243xx 2(_)x 【知识要点】1.一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二
2、次项，叫做一次项，叫做常数项；叫做二次项的系数，叫做一次项的系数.2.一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如)0(2 aax或)0()(2aabx的一元二次方程，就可用直接开平方的方法.（2）配方法：用配方法解一元二次方程02aocbxax的一般步骤是：化二次项系数为 1，即方程两边同时除以二次项系数；移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，化原方程为2()xmn的形式，如果是非负数，即0n，就可以用直接开平方求出方程的解.如果 n0，则原方程无解.例如：将方程 x26x7=0的常数项移到右边，并将一次项6x 改写成2x3得：x22
3、x3=7 可以看出，为了使左边成为完全平方式，在方程两边都加上32(即一次项系数一半的平方)得 学习好资料 欢迎下载 x26x32732，整理得 (x3)22，解这个方程得 （3）公式法：一元二次方程20(0)axbxca 的求根公式是 221,24(40)2bbacxbaca.（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：将方程的右边化为 ；将方程的左边化成两个一次因式的乘积；令每个因式都等于 0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.3.一元二次方程根的判别式：关于 x 的一元二次方程002acbxax的根的判别式为 .（1）acb420一元二次方程002
4、acbxax有两个 实数根，即2,1x .（2）acb42=0一元二次方程有 相等的实数根，即21xx .（3）acb420一元二次方程002acbxax 实数根.4.一元二次方程根与系数的关系 若关于 x 的一元二次方程20(0)axbxca 有两根分别为1x，2x，那么 21xx ，21xx .5.易错知识辨析：（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中0a.（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式.（3）用配方法时二次项系数要化 1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.（5）在使用根的判别式解决问题时，如
5、果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件.两根为且则已知关于的方程的一个根是那么知识要点一元二次方程在整式方程中只含个未知数并且未知数的最高次数是的方程叫做一元二次方程一元二次方程的一般形式是其中叫做二次项叫做一次项叫做常数项叫做二次项的系数叫配方法解一元二次方程的一般步骤是化二次项系数为即方程两边同时除以二次项系数移项使方程左边为二次项和一次项右边为常数项配方即方程两边都加上一次项系数一半的平方化原方程为的形式如果是非负数即就可以用直接开平全平方式在方程两边都加上即一次项系数一半的平方得学习好资料欢迎下载整理得解这个方程得公式法一元二次方程的求根公式是因式分解法因式分解法的
6、一般步骤是将方程的右边化为将方程的左边化成两个一次因式的乘积令每个学习好资料 欢迎下载（6）应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：根的判别式042 acb；二次项系数0a，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系.(4)已知两数和与积求两数 6一元二次方程的应用 (1)面积问题；(2)数字问题；(3)平均增长率问题 步骤：分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系(包括隐含的)；设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数；找出相等关系，并用它列出方程；解方程求出题中未知数的值；检验所求是否符合题意，并做答 注意：列一元二次方程应用题是一元一次方程解应用题的拓展，解
7、题的方法是相同的，但因一元二次方程有两解，要检验方程的解是否符合题意及实际问题的意义 【典例精析】例 1 解方程025x2 解：025x2，25x2，25x，x5 5x5x21，例 2 解方程2)3x(2 分析：如果把 x3 看作一个整体。解：2)3x(2，23x，23x23x，或，23x23x21，例 3 解方程081)2x(42 两根为且则已知关于的方程的一个根是那么知识要点一元二次方程在整式方程中只含个未知数并且未知数的最高次数是的方程叫做一元二次方程一元二次方程的一般形式是其中叫做二次项叫做一次项叫做常数项叫做二次项的系数叫配方法解一元二次方程的一般步骤是化二次项系数为即方程两边同时除
8、以二次项系数移项使方程左边为二次项和一次项右边为常数项配方即方程两边都加上一次项系数一半的平方化原方程为的形式如果是非负数即就可以用直接开平全平方式在方程两边都加上即一次项系数一半的平方得学习好资料欢迎下载整理得解这个方程得公式法一元二次方程的求根公式是因式分解法因式分解法的一般步骤是将方程的右边化为将方程的左边化成两个一次因式的乘积令每个学习好资料 欢迎下载 解：081)2x(42整理，81)2x(42，481)2x(2，292x，25x213x21，注意：对可用直接开平方法来解的一元二次方程，一定注意方程有两个解；若ax2，则ax；若b)ax(2，则abx 例 4 解方程02x3x2 解法
9、一：02x3x2，(x 2)(x 1)0，x20，x10，2x1x21，解法二：a1，b3，c2，01214)3(ac4b22，213x 1x2x21，注意：用公式法解方程时，要正确地确定方程各项的系数 a、b、c 的值，先计算“”的值，若0，则方程无解，就不必解了 例 5 解关于 x 的方程0n)nm2x3(mx22 解：把原方程左边展开，整理，得 0)nmnm2(mx3x222 a1，b3m，22nmnm2c，)nmnm2(14)m3(ac4b2222 22n4mn4m0)n2m(2 2)n2m(m3x2 2)n2m(m3 nmxnm2x21，注意：解字母系数的一元二次方程与解数字系数的一
10、元二次方程一样，都要先把方程化为一般形式，确定 a、b、c 和ac4b2的值，然后求解但解字母系数方程时要注意：(1)哪个字母代表未知数，也就是关于哪个未知数两根为且则已知关于的方程的一个根是那么知识要点一元二次方程在整式方程中只含个未知数并且未知数的最高次数是的方程叫做一元二次方程一元二次方程的一般形式是其中叫做二次项叫做一次项叫做常数项叫做二次项的系数叫配方法解一元二次方程的一般步骤是化二次项系数为即方程两边同时除以二次项系数移项使方程左边为二次项和一次项右边为常数项配方即方程两边都加上一次项系数一半的平方化原方程为的形式如果是非负数即就可以用直接开平全平方式在方程两边都加上即一次项系数一
11、半的平方得学习好资料欢迎下载整理得解这个方程得公式法一元二次方程的求根公式是因式分解法因式分解法的一般步骤是将方程的右边化为将方程的左边化成两个一次因式的乘积令每个学习好资料 欢迎下载 的方程；(2)不要把一元二次方程一般形式中的 a、b、c 与方程中字母系数的 a、b、c 相混淆；(3)在ac4b2开平方时，可能会出现两种情况，但根号前有正负号，已包括了这两种可能，因此，)n2m()n2m(2 例 6 用配方法解方程x73x22 解：x73x22，023x27x2，0234747x27x22，162547x2，4547x 21x3x21，注意：用配方法解一元二次方程，要把二次项系数化为 1，
12、方程左边只有二次项，一次项，右边为常数项，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边就配成了一个二项式的完全平方 【课堂训练】1.分别用公式法和配方法解方程：2232xx 2.选择适当的方法解下列方程：（1）27(23)28x；（2）223990yy（3）2212 5xx；（4）2(21)3(21)20 xx 两根为且则已知关于的方程的一个根是那么知识要点一元二次方程在整式方程中只含个未知数并且未知数的最高次数是的方程叫做一元二次方程一元二次方程的一般形式是其中叫做二次项叫做一次项叫做常数项叫做二次项的系数叫配方法解一元二次方程的一般步骤是化二次项系数为即方程两边同时除以二次项系数移项使方程
13、左边为二次项和一次项右边为常数项配方即方程两边都加上一次项系数一半的平方化原方程为的形式如果是非负数即就可以用直接开平全平方式在方程两边都加上即一次项系数一半的平方得学习好资料欢迎下载整理得解这个方程得公式法一元二次方程的求根公式是因式分解法因式分解法的一般步骤是将方程的右边化为将方程的左边化成两个一次因式的乘积令每个学习好资料 欢迎下载 3.已知22222()()60abab，求22ab的值。提示：已知等式可以看作是以22ab为未知数的一元二次方程，并注意22ab的值应为非负数。【典例精析】例 7 不解方程，判别下列方程的根的情况：(1)04x3x22；(2)y249y162；(3)0 x7
14、)1x(52 分析：要判定上述方程的根的情况，只要看根的判别式ac4b2的值的符号就可以了 解：(1)a2，b3，c4，041)4(243ac4b22方程有两个不相等的实数根 (2)a16，b24，c9，09164)24(ac4b22方程有两个相等的实数解 (3)将方程化为一般形式0 x75x52，05x7x52 a4，b7，c5，554)7(ac4b22 两根为且则已知关于的方程的一个根是那么知识要点一元二次方程在整式方程中只含个未知数并且未知数的最高次数是的方程叫做一元二次方程一元二次方程的一般形式是其中叫做二次项叫做一次项叫做常数项叫做二次项的系数叫配方法解一元二次方程的一般步骤是化二次
15、项系数为即方程两边同时除以二次项系数移项使方程左边为二次项和一次项右边为常数项配方即方程两边都加上一次项系数一半的平方化原方程为的形式如果是非负数即就可以用直接开平全平方式在方程两边都加上即一次项系数一半的平方得学习好资料欢迎下载整理得解这个方程得公式法一元二次方程的求根公式是因式分解法因式分解法的一般步骤是将方程的右边化为将方程的左边化成两个一次因式的乘积令每个学习好资料 欢迎下载 49100519 Bk9 Ck9，且 k0 Dk9，且 k0 两根为且则已知关于的方程的一个根是那么知识要点一元二次方程在整式方程中只含个未知数并且未知数的最高次数是的方程叫做一元二次方程一元二次方程的一般形式是
16、其中叫做二次项叫做一次项叫做常数项叫做二次项的系数叫配方法解一元二次方程的一般步骤是化二次项系数为即方程两边同时除以二次项系数移项使方程左边为二次项和一次项右边为常数项配方即方程两边都加上一次项系数一半的平方化原方程为的形式如果是非负数即就可以用直接开平全平方式在方程两边都加上即一次项系数一半的平方得学习好资料欢迎下载整理得解这个方程得公式法一元二次方程的求根公式是因式分解法因式分解法的一般步骤是将方程的右边化为将方程的左边化成两个一次因式的乘积令每个学习好资料 欢迎下载 13把方程084x8x2化成n)mx(2的形式得()A100)4x(2 B100)16x(2 C84)4x(2 D84)1
17、6x(2 14用下列哪种方法解方程4x2)2x(32比较简便()A直接开平方法 B配方法 C公式法 D因式分解法 15已知方程(x y)(1 xy)60，那么 xy 的值是()A2 B3 C2 或 3 D3 或 2 16下列关于 x 的方程中，没有实数根的是()A02x4x32 Bx65x22 C02x62x32 D 01mxx22 17已知方程0qpxx22的两根之和为 4，两根之积为3，则 p 和 q 的值为()Ap8，q6 Bp4，q3 Cp3，q4 D p8，q6 18若53是方程04kxx2的一个根，则另一根和 k 的值为()A 53x，k6 B53x，k6 C 53x，k6 D53
18、x，k6 19两根均为负数的一元二次方程是()A05x12x72 B05x13x62 C05x21x42 D08x15x22 20以 3 和2 为根的一元二次方程是()A06xx2 B06xx2 C06xx2 D 06xx2 三、解答题 21用适当的方法解关于 x 的方程(1)12)1x2(4)1x2(2；(2)6)1x()3x2(22；两根为且则已知关于的方程的一个根是那么知识要点一元二次方程在整式方程中只含个未知数并且未知数的最高次数是的方程叫做一元二次方程一元二次方程的一般形式是其中叫做二次项叫做一次项叫做常数项叫做二次项的系数叫配方法解一元二次方程的一般步骤是化二次项系数为即方程两边同
19、时除以二次项系数移项使方程左边为二次项和一次项右边为常数项配方即方程两边都加上一次项系数一半的平方化原方程为的形式如果是非负数即就可以用直接开平全平方式在方程两边都加上即一次项系数一半的平方得学习好资料欢迎下载整理得解这个方程得公式法一元二次方程的求根公式是因式分解法因式分解法的一般步骤是将方程的右边化为将方程的左边化成两个一次因式的乘积令每个学习好资料 欢迎下载 (3)x4)3x)(3x(；(4)027)1x4(2 22已知7xy3x2xy221，当 x 为何值时，0yy221？23已知方程0baxx2的一个解是 2，余下的解是正数，而且也是方程52x3)4x(2的解，求 a 和 b 的值
20、两根为且则已知关于的方程的一个根是那么知识要点一元二次方程在整式方程中只含个未知数并且未知数的最高次数是的方程叫做一元二次方程一元二次方程的一般形式是其中叫做二次项叫做一次项叫做常数项叫做二次项的系数叫配方法解一元二次方程的一般步骤是化二次项系数为即方程两边同时除以二次项系数移项使方程左边为二次项和一次项右边为常数项配方即方程两边都加上一次项系数一半的平方化原方程为的形式如果是非负数即就可以用直接开平全平方式在方程两边都加上即一次项系数一半的平方得学习好资料欢迎下载整理得解这个方程得公式法一元二次方程的求根公式是因式分解法因式分解法的一般步骤是将方程的右边化为将方程的左边化成两个一次因式的乘积
21、令每个学习好资料 欢迎下载 24试说明不论 k 为任何实数，关于 x 的方程3k)3x)(1x(2一定有两个不相等实数根 25 已知RtABC 中，C90，斜边长为5，两直角边的长分别是关于x 的方程0)1m(4x)1m2(x2的两个根，求 m的值 26某商场今年一月份销售额 100 万元，二月份销售额下降 10%，进入 3 月份该商场采取措施，改革营销策略，使日销售额大幅上升，四月份的销售额达到 129.6 万元，求三、四月份平均每月销售额增长的百分率 两根为且则已知关于的方程的一个根是那么知识要点一元二次方程在整式方程中只含个未知数并且未知数的最高次数是的方程叫做一元二次方程一元二次方程的
22、一般形式是其中叫做二次项叫做一次项叫做常数项叫做二次项的系数叫配方法解一元二次方程的一般步骤是化二次项系数为即方程两边同时除以二次项系数移项使方程左边为二次项和一次项右边为常数项配方即方程两边都加上一次项系数一半的平方化原方程为的形式如果是非负数即就可以用直接开平全平方式在方程两边都加上即一次项系数一半的平方得学习好资料欢迎下载整理得解这个方程得公式法一元二次方程的求根公式是因式分解法因式分解法的一般步骤是将方程的右边化为将方程的左边化成两个一次因式的乘积令每个学习好资料 欢迎下载 27.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件赢利 40 元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存
23、，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2 件。求：（1）若商场平均每天要赢利 1200 元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？28.在 ABC中，a、b、c 分 别 是 A、B、C的 对 边，且c 5 3，若 关 于 x的 方 程()()5 325 302b xaxb有两个相等的实数根，方程210502xA xA(sin)sin的两实数根的平方和为 6，求：ABC 的面积。两根为且则已知关于的方程的一个根是那么知识要点一元二次方程在整式方程中只含个未知数并且未知数的最高次数是的方程叫做一元二次方程一元二次方程的一般形式是其中叫做二次项叫做一次项叫做常数项叫做二次项的系数叫配方法解一元二次方程的一般步骤是化二次项系数为即方程两边同时除以二次项系数移项使方程左边为二次项和一次项右边为常数项配方即方程两边都加上一次项系数一半的平方化原方程为的形式如果是非负数即就可以用直接开平全平方式在方程两边都加上即一次项系数一半的平方得学习好资料欢迎下载整理得解这个方程得公式法一元二次方程的求根公式是因式分解法因式分解法的一般步骤是将方程的右边化为将方程的左边化成两个一次因式的乘积令每个