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1、第 十 八 章 平 行 四 边 形1 8.2特殊的平行四边形1 8.2.1 矩形基础过关全练知识点1 矩形的定义1 .在四边形A B C D中,48。,4。8。,如果添加一个条件,即可推出该四边形是矩 形,那 么 这 个 条 件 可 以 是.知识点2 矩形的性质2 .【教材变式 P 53 例 1 变式】如图，矩形A B C D的对角线AC,BD相交于点O,NAOB=60 ,A C+A B=1 2,则边 AB 的长为（）C.2V3D.4V23 .【学科素养 模型观念】图 1是一种矩形时钟，图 2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形A B C D的对角线B D上，时钟中心在矩形A B C D对角线
2、的交点O处.若AB=30 c m,则B C的长为 c m（结果保留根号）.-9,OP23：8 7 6 5 44.如图，延长矩形4 B C O 的边B C 至点、E,使连接AE,ZADB=3 6 ，则 ZE=.B5.在矩形A B C D中,对角线AC,BD交于点垂足为,且A E平分N 840.求NAQB的度数；若AB=2 cm,求矩形A B C D的面积.知识点3直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半6.笔直的公路A3,A C IC如图所示,AC,3C互相垂直,A 3的中点。与点。被建筑物隔开,若测得A C的长为6 km,BC的长为8 km,则C,D之间的距离为（）A.4 kmB.5 kmC.6
3、kmD.7 km7.如图，点0是矩形A B C D的对角线A C的中点交A D于 点M若OM=3,8C=10,则 OB 的长为C今D.V348.1构造斜边中线】（2022云南昆明八中期中）如图，在A 8C中,AO是高线,C 是中线,于点 G.求证:G 是 CE的中点；若N8=70。，求/B C E的度数.知识点4矩形的判定9.(2022湖南郴州期末)如图,在平行四边形ABCO中,对角线AC、BD相交于点O.下列条件不能判定平行四边形A B C D为矩形的是XAD=BC,AB/CDC.ZBAD=ZADCB.AC=BDD.ZABC=90 10.【一题多变 】如图，在四边形A3CO中，两条对角线AC
4、、B D 交于点O,已知A3CD,且 A3=C。.请 添 加 一 个 条 件:(W ZBAD=90 ,(2)A C=B D中任选一个，填序号)，使四边形A B C D为矩形，并证明你的结论.AR 变式 如图，在四边形ABC。中，两条对角线AC、8 D 交于点O,已知4 3 8,且点E是AD延长线上一点，连 接EC,若C=CA,且CD平分NECA求证:四边形ABCD是矩形.11.【新素材 科普】2021年 4 月 1 3 日，第七届全国青年科普创新实验暨作品大赛（江西赛区）在江西省科技馆圆满落下帷幕.如图，矩 形ABCD的两边AB.CD是风帆小车的两条赛道,48=240 cm,BC=80 cm,
5、风帆小车P从A开始沿AB边以40cm/s的速度移动，风帆小车Q从 C 开始沿CQ边 以 20 cm/s的速度移动，如果风帆小 车P,Q分 别 从 A.C 同时出发，当其中一车到达终点时，另一车也随之停止运动,设运动时间为rs,那么当，为何值时,四边形QPBC为矩形？12.如图，在平行四边形ABC。中，点。是A 8的中点，且OC=OD.求证:平行四边形A B C D是矩形；(2)若 A0=3,NCO0=6O,求矩形 A8CD 的面积.13.【新考法】如图，在ABC中,平 分NA8C交AC于点。七为A 3的中点，过点A作AF/BD,D E延长线于点连接BF.求证：AF=8D当ABC满足什么条件时,
6、四边形ARBQ是矩形？请证明你的结论.AEB能力提升全练14.（2022安徽中考,）两个矩形的位置如图所示，若Nl=a，则N2=A.a-90B.a-45D.270 -a15.(2021 新疆中考？)如图，在 RtZXABC 中,NAC8=90,NA=30 ,AB=4,CDLAB于点D,E是A B的中点，则D E的长为()A.l B.2 C.3 D.416.（2021吉林长春实验中学期末,5,）如图，已知平行四边形ABCQ的对角线AC,BD相交于点O,下列条件能使平行四边形A B C D成为矩形的是AD;A.AB=AD B.ZAOB=60 C.AC1BD D.Z O B C=Z O C B1 7
7、.【方 程 思 想】（2 0 2 2 福 建福 州 期 末，8,）如 图，在 矩 形ABCD中,A 8=6,3 C=8,8 E。厂且3 E 与。歹之间的距离等于6,贝！J A E的长是（）3 5 7A.-B.-C.-D.1 04 4 41 8.【主题教育社会主义先进文化】（2 0 2 2 湖北十堰中考,1 3,美丽乡村”建设使我市农村住宅旧貌变新颜，一农村民居侧面截图如图所示，屋坡A A G 分别架在墙体的点B,C处，且四边形B D E C为矩形.若测得NF 3 Z A 5 5 ,则NA=_ _ _ _ _ _ _ _1 9.（2 0 2 2 吉林中考,1 3,）如图,在矩形A B C D中,
8、对角线AC,BD相交于点O,点E是边A D的中点，点F在对角线A C上，且 A 尸 44。,连接EF.若A C=1 0,则4EF=.2 0.（2 0 1 9 贵州安顺中考,如图，在 R tAABC中，N B A C=9 0 ,且A 4=3,A C=4,点D是斜边B C上的一个动点，过点D分别作D M V A B于点M,DNLA C 于点N,连接MN,则M N的 最 小 值 为.2 1.（2 0 2 0云南中考,）已知四边形A B C D是矩形，点E是矩形A B C D边上的点，且 EA=EC.若 A B=6,A C=2 U,贝I DE 的长是.2 2.【新考法】（2 0 2 2山西中考,1 7
9、,如图,在矩形ABCQ中,AC是对角线.实践与操作:利用尺规作线段A C的垂直平分线，垂足为点O,交边A D于点E,交边8c于点网要求:尺规作图并保留作图痕迹，不写作法,标明字母）；猜想与证明:试猜想线段A E与C F的数量关系,并加以证明.素养探究全练2 3.【推理能力】长与宽之比为鱼：1的矩形纸片被称为标准纸，请思考并解答下列问题:将 一 张 标 准 纸 对 开，如图所示，所得的矩形纸片A B E F是标准纸,请给予证明.A D A在一次综合实践课上，小明尝试着将矩形纸片A 3 C Q（A 3 CD 平分NECA,，C3_LAE,即 ZADC=90 ,四边形 ABCD 是矩形.11.解析
10、根据题意得CQ=20/cm,AP=4(k cm,贝ij 8P=(240-40/)cm,Z 四边形 ABCD 是矩形,二.ZB=ZC=90 ,CD/AB,.只有CQ=BP时,四边形QPBC是矩形，即 20U240-401,解得 U4,故当U 4时,四边形QP3C是矩形.12.解 析(1)证明:.四边形48CQ是平行四边形，：.AD=BC,AD/BC,：.ZA+ZB=O,点 0 是 A3 的 中 点,OA=OB,(0A=0B,在AOD 和BOC 中=BC,0D=0C,：.AO。0 BOC(SSS),ZA=ZB=90 ,平行四边形A 3co是矩形.(2)由(1)得AOO0/BOC,：.ZAOD=ZB
11、OC,ZCOD=60 ,；ZAOD=ZBOC=6Q ,ZA=90 ,，ZADO=30 ,OD=2OA,：O+ADOD2,：.OA2+32=(2OA)2,OA=b(舍负),：.AB=2OA=2V3,二.矩形 ABCD 的面积=48 AD=243 x 3=6A/3.13.解 析(1)证明:：AF/BD,：.ZFAE=ZDBE,为 AB 的中点,.A=EB,Z-FAE=Z.DBE,在AAE尸和中,ZE=BE,Z-AEF=/.BED,六AEFABED(ASA),：.AF=BD.本题结合条件探究，考查了矩形的判定.当ABC满足AB=CB时,四边形AFBD是矩形.证明:由可知AF=BD,AF/BD,.四边
12、形AFBD是平行四边形，：AB=CB,BD 平分 NA3C,：.BDLAC,：.N3Z)A=90 平行四边形AFBQ是矩形.能力提升全练14.C 如图,N1=9O+Z3,：Z l=a,：.Z3=a-9Q,：Z3+Z2=90 ,.Z2=90 -Z3=90 0 -(*90 )=90 -a+90 =1 8 0 故选C.115.A/ZACB=90 ,ZA=30 NB=60 ,：E 是 A3 的中点,AB=4,，CE=BE=AB=2,，ABC为等边三角形,：.BC=CE.：CDLAB,：.DE二BDmBE=1,故选 A.16.D 四边形 ABCD 是平行四边形,，OA=OC=AC,OB=OD=BD,：Z
13、OBC=ZOCB,：.OB=OC,：.AC=BD,：.平行四边形ABCD是矩形，故选D.17.C 如图,过点。作 DGLBE交BE的延长线于G,贝 I GD=6=AB,ZG=90,.四边形A3CD是矩形,.,.AD=BC=8,ZA=90 =NG,Z.AEB=乙 GED,在和GE。中，乙4=4G,AB=GD,：.AAEBWGED(AAS),：.AE=GE.设 A=G=%,贝 lj ED=S-x,在 RtAPEG中,由勾股定理得ED2=EG2+GD2,.(8-%)2=/+62,解得 x=,A=：.故选 C.18.答 案 110解 析,/四边形BDEC为矩形,，ZDBC=90 ,ZFBD=55 ,，
14、ZA5C=180 0 -ZDBC-ZFBD=35 ,：AB=AC,：.ZACB=ZABC=35 ,.,.NA=180-NABC-NAC3=110,故答案为 110.19.答案|解析 在矩形 ABCD 中,AO=OC=lGAC=8Z）=10,11,/AFACAOAC,：.点尸为AO的中点，又 点E 为边4。的 中 点,EF为 AOQ的中位线，EF=1OD=BD=1.故答案为|.20.答案f解析 连接（图略）,：N84C=90 且 BA=3,AC=4,：.BC=y/BA2+AC2=5,：DMAB,DNAC,：.ZDMA=ZDNA=ZBAC=90,.四边形DMAN是矩形,：.MN=AD,当AQ_L8
15、C时,AZ）的值最小，此时ABC的面积-AC=AD,.A3=呼=:.M N的最小值为1BC 5 521.答案|或 穿解 析如图，4-巨-0AB.四边形A B C。是矩形，：.CD=AB=6,AD=BC,ZABC=ZADC=9 G,：.BC=y/AC2-AB2=V 4 0 -3 6=2,：.AD=2.当 点 在 CD上时，,.,A 2=Z)E2+A D2=E C2)DE2+4=(6-DE)2,：.D E=1;当 点 在A B 上时，V CEBE+BCEA2,：.(6-AE)2+4=AEQ,.,.A E,=y,/.DE=yJAD2+AE2=卜+詈=竽.综 上 所 述 或 学.22.解析利用尺规作图
16、一一线段垂直平分线的作法,结合线段的垂直平分线的性质，考查矩形的性质.(1)如图.A E=C E 证明如下:四边形A B C D是矩形,：.AD/BC,：.NEAO=Z FCO,ZAEO=Z CFO,/E F是A C的垂直平分线,：.AO=CO,Z.AEO=乙CFO,在A O E 和C O F 中,乙 ;4 0 =乙FCO,AO=CO,，A A O E A C O F(A A S),：.AE=CF.素养探究全练23.解析 证 明：.矩 形 纸 片A B C D是 标 准 纸，且AB0.由图形折叠可知A8E之1，ZBAE=ZFAE,：.ZDAE=-ZBAD=452由图形折叠知DG1EM,：.ZAGD=90 ,，A A D G 是等腰直角三角形.AG=OG=C）=。,在 RtAADG 中,AO=，4G2 +DG2 =y2a,.黑=回=鱼,.矩形纸片A B C D是标准纸.AB a对开次数周长第 1 次2X（1 3）2第 2 次 2X（工+叱）2 2第 3 次 2X（*立）2 4第 4 次2X立）4 4第 5 次2X（2+立）4 8第 6 次 2X（*立）8 8 ，第 5 次对开后所得的标准纸的周长为竽第 2 020次对开后所得的标准纸的周长为弁