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1、中考数学例题讲解【例1】如图1 0,平行四边形4 8 5中，AB=5,a=1 0,仇7边上的高/沪4,E为a 边上的一个动点(不与反。重合).过 作直线四的垂线，垂足为凡FE与国的延长线相交于点G,连结场；DF。(1)求证：BEFs CEG.(2)当点6在线段a 上运动时，颇和四G的周长之间有什么关系？并说明你的理由.1 3)没BE=x,颂的面积为力 请你求出y和x之间的函数关系式，并求出当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？解 析 鲜 金 值-77(1)妈 吧 边 形 力 腼 是 平 彳 野蟾/所以AB O G 1分所 显B=/G A ZGZBFE/B所以 朝 s 啦 汽 名/c(2)A
2、B E广与囱彩的谕长之和为定值.4分理由一：过 点。作用的平行线交直线/18于II,因为打工四，所以四边形做。为矩形.所以FH=CG,FG=CH因此，A B E F与L C E G的周长之和等于B C+CH+B H由 的=1 0,/5=5,A M=,可 得(7六8,7=6,所以 B C+CH+B H=24 6 分理由二：由4 9=5,4 44,可知 H在R t 颇 与R t Z X G 中，有：V-4343 8一EF=j BE,B F=BE,GE=-EC,GC=-CE,所以，弼 的 周 长 是 匕B E,以%的周长是士C E又应+龙=1 0,因此A B E F与 C E G的周长之和是24.6
3、分43(3)设.B E=x,那么=G C =1(1 0-x)i A Q f m所以丁 =士族。6 =一？其二(1 0 幻+5 =-？2一 三%8分-2 2 5 5 25 5配方得：y =-6(x-5-5-)2 H-1-2-1-25 6 6所以，当=至 时:y有最大值.9分最大值为-.1 0分6【例 2】如图二次函数夕=。/+0+。(。0)与坐标轴交于点A、B、C且 0A=l0B=0C=3.(1)求此二次函数的解析式.(2)写出顶点坐标和对称轴方程.(3)点 M、N在 y=aV+6 x+c 的图像上(点N在 点 M的右边)，且 M N 才轴，求以 M N 为直径且与x 轴相切的圆的半径.(1)依
4、题意 4 1,0),5(3,0),C(0,3)分别代入y-ax2+bx+c.解方程组得所求解析式为y =f 2x 3 .y =x2-2x-3 =(x-l)2-4.顶点坐标(1,一 4),对称轴x =l .(3)设圆半径为r,当MN在x 轴下方时，N点坐标为(1 +尸,一厂).把N点代入3 =尤2-2%3 得7=一 ；.9 分同理可得另一种情形r =+1+折2/.圆的半径为 士姮或 土 叵 1 0分2 2【例 3】两个关于x的二次函数弘与当x =攵时，%=1 7；且二次函数为的图象的对称轴是直为，y =a(x-女 下+2 伏 0),x+%=x?+6 x +1 2线 x =1 .(1)求左的值；(
5、2)求函数y，力的表达式；(3)在同一直角坐标系内，问函数%的图象与为的图象是否有交点？请说明理由.解析过程及每步分值(1)由 y =a(x-左 y +2,y +%=x?+6 x+1 2得%=(M +%)必=厂+6 x +1 2 ci(x k)2 =x+6 x +1 0 k).又因为当x=Z时，必=17,即4 2+6 2 +1 0 =1 7,解得仁=1,或左2=-7 (舍去)，故女的值为1.(2)由4=1,得 =x +6 x +1 0 1)=(1 ci)x+(2。+6)x +1 0 ci,所以函数为的图象的对称轴为x =-卷B，于是，有2”色=一 1,解得。=-1,2(l-c z)所以 y =
6、x+2 x +1,%=2 尸+4x+1 1.(3)由y =-(-1)2 +2,得函数V的图象为抛物线，其开口向下，顶点坐标为(1,2)；由=2/+4+1 1 =2(%+1)2 +9,得函数内 的图象为抛物线，其开口向上，顶点坐标为(-1,9)；故在同一直角坐标系内，函数3 的图象与力 的图象没有交点.例 4 如图,抛物线y =f+4x与 x轴分别相交于点B、0,它的顶点为A,连 接 A B,把 A B所的直线沿y 轴向上平移,使它经过原点0,得到直线1,设 P 是直线1 上一动点.(1)求点A的坐标；(2)以点A、B、0、P 为顶点的四边形中，有菱形、等腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊
7、四边形的顶点P 的坐标；(3)设 以 点A、B、0、P 为 顶 点 的 四 边 形 的 面 积 为 S,点 P 的 横 坐 标 为 x,当4 +60 S M 6 +8 0 时，求 x的取值范围.解析过程及每步分值解：(1)；y =x 2+4 x =(x+2)2 -4A (-2,-4)(2)四边形A BPQ为菱形时，P,(-2,4)2 4四边形A B0 R 为等腰梯形时，P K,)5 54 8四边形A BPaO 为直角梯形时，P,(一一,-)5 5四边形A BO P,为直角梯形时，)5 5(3)由条件可求得A B所在直线的函数关系式是y=-2 x-8,所以直线/的函数关系式是y=-2 x当点P
8、在第二象限时，x 0,PO B 的面积 SAtsPrOUSD =2 x 4 x (2 x)/=-4xA A O B 的面4积V 1 C/D =2X4X4=8,S=S MOB+S APOB=_+8(x 0)V4+6V2 S 4+6 V 2S 4+6A/2即7 l4x+8 6 +8 5/2x S 2-3 V 2-21-4 V 22I-4 V 2 2-3.J 2x的取值范围是*x 0,过点A、P 分别作x 轴的垂线，垂足为A、P那么四边形PO A A的面积,*A A AZ B 的面积S.s =g x4x 2 =4.S =SPOA.A+SW B=4 x +8(x 0)V 4+6 V 2 S 4+6A/
9、2(4 x +8 2 4 +6 五即S 6+8 V 2 4X+8-223V 2 -2 4.J 2 -1Ax的取值范围是 士 x V 2 2【例 5】随 着 绿 城 南 宁 近 几 年 城 市 建 设 的 快 速 开 展，对 花 木 的 需 求 量 逐 年 提 高。某 园 林 专 业 户 方 案 投 资 种 植 花 卉 及 树 木，根 据 市 场 调 查 与 预 测，种植树木的利 润 口 与 投 资 量 x成 正 比 例 关 系，如 图 所 示；种 植 花 卉 的 利 润 为 与 投 资量 x成 二 次 函 数 关 系，如 图 所 示（注：利 润 与 投 资 量 的 单 位：万 元）(1)分别求
10、出利润力与为关于投资量X的函数关系式；(2)如果这位专业户以8 万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？解析过程及每步分值解：(1)设 =%，由图所示，函数月=的图像过(1,2),所以2=%，k=2故利润弘关于投资量x的函数关系式是 =2 x ；因为该抛物线的顶点是原点，所以设为由图1 2-所示，函 数 为=。一的图像过(2,2),所以2 =a-2 2,a=-2故利润为 关于投资量x的函数关系式是y =g/；(2)设这位专业户投入种植花卉x万 元(0 Wx W8),那么投入种植树木(8-x)万元，他获得的利润是z万元，根据题意，得z =2(8 -x)+-x2=
11、-x2-2 x+1 6=g (x-2尸 +1 4当x =2时，z的最小值是1 4；因为0 4x48,所以一24工一2 4 6所以(工一2)2 2 3 6所以g(x 2)2 4 1 8所以 g(x-2)2+1 4 4 1 8 +1 4 =3 2,即 z W 3 2,此时 x =8当x =8时，z的最大值是3 2.【例6】如 图，A(-4,0),仇0,4),现 以A点 为 位 似 中 心，相 似 比 为9:4,将0 B向右侧放大，B点的对应点为C.(1)求C点坐标及直线BC的解析式；(2)一抛物线经过B、C两点，且顶点落在x 轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象；13)现将直线BC绕 B点
12、旋转与抛物线相交与另一点P,请找出抛物线上所有满足到直线AB距离为3 0 的点P.解析过程及每步分值解：(1)过C点向x轴作垂线，垂足为1),由位似图形性质可知:ABOAACD,.AO BOADCD49由 A(-4,0),8(0,4)可知：A O =4,B O =4.A D =C O =9.C点坐标为(5,9).直线B C的解析是为:y-4 _ x-Q9-4 -5 0化简得：y =x+44=c（2）设抛物线解析式为丁 =加+法+c（”o）,由题意得：（9 =2 5 a +5/7 +c,b1-4ac=0q=1解得：v=4 q=43c2=4i 4；解得抛物线解析式为y =V-4 x +4或%=X2
13、+-X+4.i 4又.y =-x 2+=x +4的顶点在x轴负半轴上，不合题意，故舍去.满足条件的抛物线解析式为y =V 4X+4（准确画出函数 =/-4+4图象）（3）将直线B C绕B点旋转与抛物线相交与另一点P,设P到直线A B的距离为h,故P点应在与直线A B平行，且相距3行 的上下两条平行直线4和4上.由平行线的性质可得：两条平行直线与y轴的交点到直线B C的距离也为3上.如图，设4与y轴交于E点，过E作E F L B C于F点，在 R t A B E F 中 E E =3a,Z E B F =Z A B O =4 5 ,8 E =6.可以求得直线4与y轴交点坐标为（0,1 0）同理可
14、求得直线4与y轴交点坐标为（。,-2）.两直线解析式乙：y =;c+1 0；l2:y=x-2.根据题意列出方程组：卜一叙+4；p-4x+4y=x+1 0 y=x-2%)=6X=16,解得：9x3=2 x4=3 一、一 、=。”=1.满足条件的点P有四个，它们分别是6(6,16),PA-1,9),(2,0),8(3,1)【例7】如图，抛物线4：丫=一彳2-2彳+3交工轴于八、B两点，交y轴于M点.抛物线右向右平移2个单位后得到抛物线4，右 交x轴于C、D两点.(1)求抛物线右 对应的函数表达式；(2)抛物线右或右在x轴上方的局部是否存在点N,使 以A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形.假设存
15、在，求出点N的坐标；假设不存在，请说明理由；(3)假设点P是抛物线4上的一个动点1 P不与点A、B重合)，那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线4上，请说明理由.解析过程及每步分值【例8】如 图，在 矩 形ABC。中，AB=9,AO=3百，点P是 边BC上 的 动 点(点P不 与 点3,点。重 合)，过 点 尸 作 直 线PQ8 D,交CD边 于。点，再把PQC沿 着 动 直 线PQ对 折，点。的 对 应 点 是 火 点，设CP的 长 度 为x,PQR与 矩 形ABCO重 叠 局 部 的 面 积 为y.(1)求NCQP的 度 数；(2)当x取 何 值 时，点R落 在 矩 形ABCO的A3边上?
16、(3)求y与x之 间 的 函 数 关 系 式；当x取何值时,重 叠 局 部 的 面 积 等 于 矩 形 面 积 的 看？(备用图1)(备用图2)解析过程及每步分值解：(1)如图，四边形ABCD是矩形，.AB=CD,AD=BC.又AB=9,AD=3 B ZC=90,：.CD=9,BC=3 6tanZCDB=,:.ZCDB=30.CD 3PQ/BD,:.NCQP=NCDB=30.（2）如 图1,由轴对称的性质可知，RPQ94CPQ,口:RPQ =4CPQ,RP=CP.A由（1）知 NCQP=30,;.NRPQ=NCPQ=60,（图 1）:.ZRPB=60,;.RP=2BP.CP=x.PR=x.PB
17、=3G x.在RP8中，根据题意得：2（3百 x）=x,解这个方程得：x=2 6.（3）当点火在矩形A8CD的内部或AB边上时，0XW 2 6 S.C P O=-XC PXC Q =-XX=x2,v 2 2 2RPQ四CPQ,.当0 xW 2 G时，y=*x?当火在矩形ABC。的外部时（如图2）,2月%3 6，在 RtZPE8 中，NRPB=60,PF=2BP=2 O/-Q,又-RP=CP=x,RF=RP-PF=3x-6yf3,在 RtZXERb 中，（图2）NEFR=NPFB=30,:.ER=6 x -6.1 Q/o:.S ERF=-/?XF7?=-X2-18X+18,y-s4RPQs A E R F，.当2百x=b一+18x 186.综上所述，y与x之间的函数解析式是：y =*/(0九忘2扬 f3x+1 8 x 1 8-/3(25 x 66,所以，当0%2 6时，y的值不可能是矩形面积的工；27当2 6 x3 6,所以尤=3百+&不合题意，舍去.所以x =3 6一 J 5.综上所述，当 尤=36-正 时，P Q R与矩形A B C D重叠局部的面积等于矩形面积的727 4