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1、 2 实际问题的函数建模内 容 标 准学科素养1 .会利用已知函数模型解决实际问题.2 .能建立函数模型解决实际问题.精确数据分析强化数学运算熟练数学建模01谣前 自 主 预 习 -掌握基本知识，注重基础训练授课提示：对应学生用书第7 1 页 基础认识知识点一常见函数模型预习教材P l 2 0 T 3 0,思考并完成以下问题(1)斜率k的取值是如何影响一次函数的图像和性质的？在幕函数模型的解析式中，a的正负如何影响函数的单调性？提示：人 0时直线必经过一、三象限，y随 x的增大而增大；0,a0时，函数的图像在第一象限内是上升的，在(0,+8)上为增函数：当 0,a0且 a#l）(4)对数函数模
2、型y=mo（lx+n（m,a,为常数，m W O,a 0 且 a W l）知识点二解决函数应用问题的基本步骤（5）嘉函数模型为常数，W 0）（6）分段函数模型尸ax+b(x0).(2)该班学生买饮料每年总费用为5 1 X1 2 0=6 1 2 0(元).当 y=3 8 0 时，380=-40A+7 2 0,得 X=8.5,该班学生集体饮用桶装纯净水的每年总费用为3 8 0 X8.5+2 2 8=3 4 5 8(元)，所以，饮用桶装纯净水的年总费用少.(3)设该班每年购买纯净水的费用为P元，则P=j ty=x(-4 0 尤+7 2 0)=-4 0(彳-9)2+3 2 4 0,.,.当 X=9 时
3、，P max =3 2 4 0.要使饮用桶装纯净水的年总费用一定比该班全体学生购买饮料的年总费用少，则 5 1 a2 P max+2 2 8,解得a6 8,故至少为6 8 元时全班饮用桶装纯净水的年总费用一定比该班全体学生购买饮料的年总费用少.探 究 二 指数型函数、对数型函数模型 例 2 某城市2 0 0 9 年底人口总数为1 0 0 万人，如果年平均增长率为1.2%,试解答以下问题：(1)写出经过x年后，该城市人口总数y(万人)与x(年)的函数关系；(2)计 算 1 0 年后该城市人口总数(精确到0.1 万人)；(3)计算经过多少年以后，该城市人口将达到1 2 0 万人(精确到1 年).(
4、参考数据：1.0 1 2 9 0 1.113,-1*0.0 7 9,l g2=0.3 0 1 0,l g 1.0 1 2M).0 0 5).解析(1)2 0 0 9 年底人口总数为1 0 0 万人，经过 1 年，2 0 1 0 年底人口 总数为 1 0 0+1 0 0 X1.2%=1 0 0 X(1+1.2%),经过 2 年，2 0 1 1 年底人口总数为 1 0 0 X(l +1.2%)+1 0 0 X(l +1.2%)X1.2%=1 0 0 X(l +1.2%)2,经过 3 年，2012 年底人口总数为 1OOX(1+1.2%)2+1OOX(1+1.2%)2X1.2%=1OOX(1+1.2
5、%)3,所以经过x 年后，该城市人口总数为100X(1+1.2%产，所以)，=100X(1+1.2%上(2)10年后该城市人口总数为100X(1+1.2%严仁112.7(万人).(3)由题意得 100X(1+1.2%r 120,两边取常用对数得lgl00 x(1+1.2%)lg 120,整理得 2+xlg 1.0122+lg 1.2,得 x216,所以大约16年以后，该城市人口将达到120万人.方法技巧 指数型函数模型：)=根+伏 0 且机W 0),在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模型来表示.对数型函数模型：y=mk)g.x+c 5 z#0,。0 且。
6、#1),对数型函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算求解.跟 踪 探 究 2.燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数。=510826，单位是m/s,其中。表示燕子的耗氧量.(1)计算：燕子静止时的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？解析：由题意知，当燕子静止时，它的速度为0,代入题目所给公式可得0=51og2.解得。=1 0,即燕子静止时的耗氧量为10个单位.(2)将耗氧量。=80代入公式得：80o=51og2而=51og28=15(m/s),即当一只燕子的耗氧量为80个单位时，飞行速度为1
7、5 m/s.探究三分段函数模型例3 某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如：购买标价为4 0 0 元的商品，则消费金额为320元，然后还能获得对应的奖券金额为28元.于 是，该顾客获得的优惠额为：400X0.2+28=108元.设购买商品得到的优惠率=%萼 婆 患 颜试问:消费金额(元)的范围188,388(388,588(588,888(888,1 188.获得奖券的金额(元)285888128.(1)购买一件标价为1 0 0 0 元的商品，顾客得到
8、的优惠率是多少？(2)当商品的标价为 1 0 0,6 0 0 元时，试写出顾客得到的优惠率y关于标价x元之间的函数关系式；(3)当顾客购买标价不超过6 0 0 元的商品时，该顾客是否可以得到超过3 5%的优惠率？若可以，请举一例；若不可以，试说明你的理由.思路点拨 结合实例计算(1);当xG 1 0 0,2 3 5),2 3 5,4 8 5 ,(4 8 5,6 0 0 ,求 y与 x的关系式；在(2)的基础上计算每一段上的优惠率，分析是否达到3 5%.I解析(1)由题意，标价为1 0 0 0 元的商品消费金额为1 0 0 0 X 0.8 =8 0 0 元，故优惠额为：1 0 0 0 X 0.2
9、+8 8=2 8 8 元，则优惠率为：力7=2 8.8%.1 UUU(2)由题意，当消费金额为1 8 8 元时，其标价为2 3 5 元；当消费金额为3 8 8 元时，其标价为4 8 5 元；当消费金额为5 8 8 元时，其标价为7 3 5 元.由此可得，当商品的标价为 1 0 0,6 0 0 元时，顾客得到的优惠率y关于标价x元之间的函数关系式为：r n 2x丁=0.2,x E 1 0 0,2 3 5),0.2 r+2 8 2 8+0.2,X 2 3 5,4 8 5 J,0.2 x+5 8 5 8+0.2,x。(4 8 5,6 0 0.xxL Xx(3)当(0,2 3 5)时，优惠率即为：2
10、0%;2 8当 2 3 5,4 8 5 时，优惠率为:y=0.2+y,此时的最大优惠率为0.2+急 七 0.3 1 9 V3 5%.当 x G(4 8 5,6 0 0 时，优惠率为：y=0.2+y,5 8此时的优惠率y =2,BC=l,/8 A O=4 5。，直线交 4。于 M,交折线A B C O 于 N,记 A M=x,试将梯形AB C 位于直线M N左侧的面积y表示为x的函数，并写出函数的定义域和值域.解析：如图，过 B,C 分别作4。的垂线，垂足分别为”和 G,1 3则 A H=y 4 G=,当M 位于“左侧时，AM=x,MN=x,y=S&AMN=2x x:2,当 M 位于 4,G 之
11、间时，y=T A H-H B+H M-M N=X X +x x=7：x,当 M 位于 G,。之间时，y=S (MMSCD_(2 +1)T(2X)(2X)=1JT+2X3125不/o 2，二所求函数的关系式为y=兵 x(x)=2 0|x 4|(x l),g(x)=(x 4)2(X2 1),/z(x)=3 0|l o g2x 2|(X5：1),其中 x 表示月数，/(x),g(x),/z(x)分别表示污染度.间选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由.解析 用 (x)模拟比较合理.理由：因 为 ,得，21.1=10.4。+匕,45.8=24.0。+6用 计 算 器 可 算 得 6七2.4.这样，我们得
12、到一个函数模型 =1.8x4-2.4.作出函数图像如图乙，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系.(3)由)，=1.8X 25+2.4,求得了=4 7.4,即当最大积雪深度为25 cm 时，可以灌溉土地47.4hm2.03踝后 讨论探究-总-结-规-律-方-法-，-提-升-核-心-素-养授课提示：对应学生用书第74页 课后小结1.函数模型的应用实例主要包括三个方面：(1)利用给定的函数模型解决实际问题；(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题.2.在引入自变量建立目标函数解决函数应用题时，一是要注意自变
13、量的取值范围，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近似计算，以使结果符合实际问题的要求.3.在实际问题向数学问题的转化过程中，要充分使用数学语言，如引入字母，列表，画图等使实际问题数学符号化.4.根据收集到的数据的特点，通过建立函数模型，解决实际问题的基本过程，如图所示.I收集数据II画散点图I不符合实际I选择函数模型II求函 模型IR合实际|用函数模型解决实际问题|素养培优忽略实际情况对函数定义域的限制致误易错案例：如图所示，在矩形A 8 C Q中，已知A B=a,BC=b(b 3时，易知函数在(0,句上是增函数，所以当x=b时，S有最大值abb2.综上可得a+b(a+b)2当o W 3b,x=)一时，S有最大值 .4 o 当。3b,x=b时，S有最大值o b b 2.