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1、 5 简单的幂函数(一)内 容 标 准 学 科 素 养 1.理解幂函数的概念 2.学会以简单的幂函数为例研究函数性质的方法 3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数有关问题.精确数学概念 提升数学运算 熟练数形结合 授课提示：对应学生用书第 33 页 基础认识 知识点一 幂函数的概念 预习教材P4950，思考并完成以下问题 任意一次函数和二次函数都是幂函数吗？若函数 ymx是幂函数，m 应满足什么条件？提示：并不是所有一次函数和二次函数都是幂函数，只有其中的 yx 和 yx2是幂函数 若ymx是幂函数，则必有 m1.知识梳理 幂函数的概念 一般地，函数 yx叫做
2、幂函数，其中 x 是自变量，是常数 知识点二 简单的幂函数的图像和性质 思考并完成以下问题 幂函数 yx在区间(0，)上为增函数时，满足的条件是什么？在区间(0，)上为减函数时，满足的条件是什么？提示：当 0 时，yx在(0，)上为增函数；当 0 时，yx在(0，)上为减函数 知识梳理 幂函数的图像与性质 幂函数 yx yx2 yx3 y yx1 图像 定义域 R R R 0，)x|x0 值域 R 0，)R 0，)y|y0 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在 R 上是增函数 x0，)是增函数，x(，0)是减函数 在 R 上是增函数 在0，)上是增函数 x(0，)是
3、减函数，x(，0)是减函数 公共点(1,1)思考：幂函数的图像能过第四象限吗？提示：如果幂函数的图像能过第四象限，则当 x0 时，y0，但 xa0 恒成立，故 y0不成立，所以幂函数的图像不过第四象限 自我检测 1下列函数中，不是幂函数的是()Ay2x Byx1 Cy x Dyx2 解析：由幂函数定义知 y2x不是幂函数 答案：A 2下列函数中，定义域为 R 的是()Ayx2 Byx12 Cyx2 Dyx1 解析：A、D 的定义域为x|x0，B 的定义域为0，)，C 的定义域为 R.答案：C 3函数 yx3的图像关于_对称 解析：函数 yx3为奇函数，其图像关于原点对称 答案：原点 授课提示：
4、对应学生用书第 34 页 探究一 幂函数的概念 例 1 函数 f(x)(m2m5)xm1是幂函数，且当 x(0，)时，f(x)是增函数，试求f(x)的解析式 思路点拨 由已知 f(x)(m2m5)xm1是幂函数，且当 x0 时是增函数，可先利用幂函数的定义求 m 的值，再利用单调性确定 m 的值，从而确定 f(x)的解析式 解析 根据幂函数的定义，得 m2m51，解得 m3 或 m2.当 m3 时，f(x)x2在(0，)上是增函数；当 m2 时，f(x)x3在(0，)上是减函数，不符合要求故 m3.f(x)的解析式为 f(x)x2.方法技巧 求 f(x)的解析式，实质上是求参数 m 的值，而参
5、数 m 同时满足两个约束条件，我们先由一个约束条件求出 m 的值，然后考查所求得的 m 值是否满足第二个约束条件，这种解决问题的方法值得重视 跟踪探究 1.(1)已知(2，2)在幂函数 f(x)的图像上，求 f(2)的值；(2)已知函数 f(x)(a23a3)xa25a5(a 为常数)为幂函数，且在(0，)上单调递减，求实数 a 的值 解析：(1)设 f(x)x，(2，2)在 f(x)的图像上，f(2)(2)2，2.故 f(x)x2，f(2)224.(2)f(x)为幂函数，a23a31，得 a1 或 a2.当 a1 时，f(x)x，在(0，)上单调递增，不合题意 当 a2 时，f(x)x1，在
6、(0，)上单调递减，符合题意综上，a 的值为 2.探究二 幂值大小的比较问题 例 2 比较大小 (2)(1.2)3，(1.25)3；(3)5.251,5.261.解析(1)因为函数在(0，)上是增函数，且 1.51.7，所以(2)因为函数 yx3在 R 上是增函数，且1.21.25，所以(1.2)3(1.25)3.(3)因为函数 yx1在(，0)和(0，)是减函数，所以 5.2515.261.方法技巧 比较幂值大小的两种思路(1)若指数相同，底数不同，则考虑幂函数(2)若指数与底数都不同，则考虑插入中间数，使这个数的底数与所比较数的一个底数相同，指数与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较
7、的两数之间，进而比较大小 跟踪探究 2.把按从小到大的顺序排列为_ .探究三 幂函数的图像与性质 例 3 已知幂函数 f(x)x的图像过点 P2，14，试画出 f(x)的图像并指出该函数的定义域与单调区间 解析 因为 f(x)x的图像过点 P2，14，所以 f(2)14，即 214，得 2，即 f(x)x2，f(x)的图像如图所示：定义域为(，0)(0，)，单调减区间为(0，)，单调增区间为(，0)延伸探究 1.(变换条件)本例中的条件“过点 P2，14”若换为过点 P8，14，试写出该函数的定义域、单调区间 解析：因为 f(8)14，所以 814，即 23，故 f(x)13x2，由3x20
8、得 x0，所以 f(x)的定义域为(，0)(0，)，f(x)图像如图所示：则 f(x)的单调减区间是(0，)，增区间为(，0)2(变换条件，改变问法)本例中的条件“过点 P2，14”若换为过点 P4，12，试写出该函数定义域，判断函数的单调性并用定义法证明 解析：f(4)12，412，即 12，f(x)，其定义域为(0，)，120，f(x)在(0，)上为减函数，证明如下：任取 x1，x2(0，)，且 x1x2，则 f(x2)f(x1)1x21x1 x1 x2x1x2x1x2x1x2 x1 x2.因为 x2x10，所以 x1x20，且 x1x2(x1 x2)0，于是 f(x2)f(x1)0，即
9、f(x2)f(x1)，所以 f(x)在区间(0，)内是减函数 3(变换条件，改变问法)本例中条件“过点 P2，14”若换为过点 P16，12且有 f(a1)f(32a)，求实数 a 的取值范围 解析：f(16)12，1612，即 14，f(x)其定义域为(0，)，140，f(x)在(0，)上为减函数 f(a1)f(32a)，有 a10，32a0，a132a.解得23a32.a 的取值范围为23，32.方法技巧 1.幂函数图像的画法(1)确定幂函数在第一象限内的图像：先根据 的取值，确定幂函数 yx在第一象限内的图像(2)确定幂函数在其他象限内的图像：根据幂函数的定义域及对称性确定幂函数在其他象
10、限内的图像 2求幂函数中含参数问题的三个步骤 跟踪探究 3.点(2，2)与点2，12分别在幂函数 f(x)，g(x)的图像上，问当 x 为何值时，有(1)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)；(3)f(x)g(x)?解析：设 f(x)x，g(x)x，则(2)2，(2)12，2，1.f(x)x2，g(x)x1.分别作出它们的图像如图所示，由图像可知，(1)当 x(，0)(1，)时，f(x)g(x)；(2)当 x1 时，f(x)g(x)；(3)当 x(0,1)时，f(x)g(x)授课提示：对应学生用书第 35 页 课后小结 1幂函数 yx(R)，其中 为常数，其本质特征是以幂的底 x 为自变量
11、，指数 为常数，这是判断一个函数是不是幂函数的重要依据和唯一标准 2幂函数 yx的图像与性质由于 的值不同而比较复杂，一般从两个方面考查：(1)0 时，图像过(0,0)，(1,1)在第一象限的图像上升；0 时，图像不过原点，在第一象限的图像下降，反之也成立(2)曲线在第一象限的凹凸性：1 时，曲线下凸；01 时，曲线上凸；0 时，曲线下凸 3在具体应用时，不一定是 yx，1，12，1,2,3 这五个已研究熟的幂函数，这时可根据需要构造幂函数，并针对性地研究某一方面的性质 素养培优 因为幂函数的单调性理解不全面而造成错解 易错案例：若(a1)1(32a)1，求实数 a 的取值范围 易错分析：函数 f(x)x1在(，0)和(0，)上均为减函数，但在(，0)(0，)上不具有单调性本题容易用错函数的单调性而导致错误此类问题的求解必须在各个单调区间内分别进行求解，也可以结合函数的图像来求解考查分类讨论、数形结合的学科素养 自我纠正：幂函数为 f(x)x1，由于该函数在(，0)及(0，)上均为减函数，且在(，0)上有 f(x)0；在(0，)上有 f(x)0，所以由(a1)1(32a)1，得 a10，32a0或 a132a0 或 32aa10，解得a1 或23a32.故实数 a 的取值范围是(，1)23，32.