2020-2021学年北师大版数学1学案：2 实际问题的函数建模.pdf

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1、 2 实际问题的函数建模内 衣标准学科素泰lo会利用已知的数模型解决实际问题.2o能重立函数模型解决实际问题。精确数据分析强化教学运算熟练教学建模课前 自 主 预 习 -掌握基本知识，注重基础训练授 课 提 示：对 应 学 生 用 书 第7 1页Z基础认识知 识 点 一 常 见 函 数 模 型预习教材P 1 2 0.1 3 0,思考并完成以下问题C 1 J斜率左的取值是如何影响一次函数的图像和性质的？在 系 法 数 模 型 的 解 析 式 中,Q的 正 负 如 何 影 响 函 数 的 单 调性？提示:人 0时直线必经过一、三象限，y随无的增大而增大；0,0时，函数的图像在第一象F艮内是上升的，

2、在(0,+8)上为增 的 数；当%0,avO时，函数的图像在第一象F艮内是下降的，在(0,+8)上为减函数、(2)依据散点图选择函数模型时主要依据函数的什2性 质？数 据 拟 合 时，得到的函数为什么需要检验？提 示:主要依据函数的单调性及函数值增长速度的快慢.因为根据已 给 的 数 据，作出散点图，根据散点图选择我们比较 熟 悉 的、最 简 单 的 函 数 进 行 拟 合，但用得到的函数进行估计时，可 能 误 差 较 大 或 不 切 合 客 观 实 际，此时就要再改选其他函教模型.知 识 梳 理 常 见 函 数 模 型常用的教模型 一 次法教模型丫 =kx+b（k,b 为常教 房0）(2)二

3、次函教模型y=加 +陵+。(Q,b,c为 常 数，存0)(3)指教困教模型y=bcf+c（a,b,c 为常数,Z?#0,。0 且。#1）(4)对数函教模型y=租log。+n(mf a,H为常数，相 声0,a0且 存1)知 识 点 二 解 决 法 数 应 用 问 题 的 基 本 步 骤C 5 J第函教模型y=+b（a,6 为 常 教，存0）分 段的教模型y=错 误！知 识 梳 理 利 用 的 教 知 识 和 函 数 观 点 斛 决 实 际 问 题 时，一般 按 以 下 几 个 步 骤 进 行：（一）审题；（二）建 模；（三）求 模；（口）还原.这 些 步 骤 用 柩 图 表 示 如 图：问题解决

4、I实际问题 结论I、联 想、转化转译建立函数模型数学解答数学问题结论 t我 检 测7L今 有 一 组 数 据，如下表所示:X1 2345y356.999.0111下 列 的 数 模 型 中，最 接 近 的 表 示 这 组 数 据 满 足 的 规 律 的 一 个是（）A、指 教 的 教B、反 比 例困数C 一次函数,D、二次函解 析：画出散点图，如 图 所 示：7412.10.8.6.4.2 1 2 3 4 5 6，观察散点图，可见各个点接近于一条直线，所以可用一次函教表 示、答 案：C2、某种细胞分裂时，由1个 分 裂 成2个,2个 分 裂 成4个，.现 有2个 这样的细胞，分 裂x次 后 得

5、 到 细 胞 的 个 数y与x的函数关系是（）A、y=2x B、y=2x-1 C.y=2x D,y=2x+1解 折：分 裂 一 次 后 由2个 变 成2x2=22（个人 分裂两次后变成4x2=23（个），分 裂x次 后 变 成y=2 i个、答 案：D3.票 汽 车 在 一 时 间 段 内 速 度v（km/h）与 耗 油 量。（L）之间有近 仞 的 函 数 关 系：2=0o 002 5V2-0O 175v+4.2 7,则车速为km/h时，汽车的耗油量最少、解 折：2=0.002 5V2-0O 175 v+4o 27=0o 002 5（v2-70vJ+4.27=0.002 5(u-35-352+4

6、.27=0.002 5 3-3 5)2+1。207 5.故v=35 km/h时，耗油量最少.答 案：35该 课 堂 合作探究-洞悉学习方向，把脉核心问题授 课 提 示：对 应 学 生 用 书 第7 1页探究一 一 次 的 教、二次舀教模型Z例U 票 商 场 经 营 一 枇 进 价 是 每 件30元的商品，在市场销 售 中 发 现 此 商 品 的 销 售 单 价x元 与 日 销 售 量y件之间有如下关系：销售单价x(元)30 40 45 50日销售量y(件)60 30 150门)在所给坐标系中，根 据 表 中 提 供 的 数 据 描 出 实 数 对(x.y)对 应 的 点，并 确 定x与y的一个

7、函数关系式j =犬幻；(2)设 经 营 此 商 品 的 目 销 售 利 润 为。元，根据上述关系式写出。关 于x的函数关系式，并 指 出销售单价x为多少时，才能获得最 大 目 销 售 利 润、思路点拨 依 据(x,y)的关系一女1)是 一 次 函 教 一 建 立P的困教关系一利用二次函数的性质求最值、Z斛折7 卖 数 对(x,y)对应的示，由 图 可 知y是x的一次函数.设/(x)=kx+b,y605040302010 O 16 20 30 40 50*点、如 图 所则错误!斛得错误！.f(x)=-3x+150,30S烂5 0,检 验 成 立、(2)P=(x-30)-(-3x+150)=-3x

8、2+240 x-4500,30 x0Z(2)该 班 学 生 买 饮 料 每 年 总 费 用 为51x120=6 120 1元).当 y 二 380 时,380=-40 x+7 2 0,得 x=8.5,该 班 学 生 集 体 饮 用 桶 装 纯 净 水 的 每 年 总 费 用 为380 x8.5+228=3 458 1元入所 以，饮用桶装纯净水的年总费用少，(3)设 该 班 每 年 购 买 纯 净 水 的 费 用 为P元，则P=xy=X-40 x+720J=-40 Cx-9)2+3 240,当 X =9 时，P r n a x=3 2 4 0.要使饮用桶装纯净水的年总费用一定比该班全体学生购买饮

9、料的年总费用少，则5 1 G P ma x+2 2 8,斛 得 位6 8,故。至 少 为6 8元时全班饮用桶装纯净水的年总费用一定比该班全体学生购买饮料的年总费用少,探究二 指数型法教、对教型的教模型 例2J 某 城 市2 0 0 9年 底 人 口 总 数 为1 0 0万人，如果年平均增 长 率 为1.2%,试 解 答 以 下 问 题：（1）写出经过x年后，该 城 市 人 口 总 数y（万人）与 无（年）的函数关系；（2）计 算1 0年 后 该 城 市 人 口 总 数（精 确 到0。1万人）；（3；计算经过多少年以后，该 城 市 人 口 将 达 到1 2 0万人（精确到1年入（参考数据：1。0

10、1291.113,1.012101O 1 2 7,1 g 1。2-0o 0 7 9,l g 2-0 o 30 1 0,1 g 1.0 1 2=0。0 0 5）、解析 （1）2 0 0 9年 底 人 口 总 数 为1 0 0万人，经 过1年,2 0 1 0年 底 人 口 总 数 为1 0 0+1 0 0 x1 o 2%=1 0 0 x f l+1.2%),经 过2年，2 0 1 1年 底 人 口 总 数 为1 0 0 x(1 +1.2%)+1 0 0 x(1 +1.2%)xl.2%=1 0 0 x(1+l o 2%)2,经 过3年，2 0 1 2年 底 人 口 总 数 为1 0 0 x(1 +1

11、.2%；2+1 0 0 x(1+l o 2%)2xlo 2%=1 0 0X(1+1.2%)3,所 以 经 过x年后，该 城 市 人 口 总 数 为1 0 0 x C l +l o 2%产，所以 y=1 0 0 X n+1.2%)xo(2)1 0年 后 该 城 市 人 口 总 数 为1 0 0 x(1 +l o 2%)1 01 1 2 o 7 (万人)，(3J 由题意得 1 0 0 x(1 +1.2%)”1 2 0,两 边 取 常 用 对 数 得l g 1 0 0 x(l +l。2%)x l g 1 2 0,整理得 2+xl g 1.0 1 2 2 +l g 1.2,得 xN 1 6,所 以 大

12、 约1 6年以后，该 城 市 人 口 将 达 到1 2 0万 人、方法技巧 指数型 的 数 模 型：y 二加炉+仅40且 存1,根#0),在实际问题中，有关人口增长、银 行 利 率、细胞分裂等增长率问题 都 可 用 指 数 型 函 数 模 型 来 表 示,对 数 型 及 数 模 型：)二根1 0 g d+c(m 0,。0且#1),对数型函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算求斛、跟踪探究 2.燕子每年秋 天 都 要从北方飞到南方过冬，研究燕 子 的 科 学 彖 发 现，两 岁 燕 子 的 飞 行 速 度 可 以 表 示 为 函 数v=510g2错 误!，单 住 是m/s,其 中。表示燕

13、子的耗氧量.(1)计 算：燕子静止时的耗氧量是多少个单住？(2)当一只燕子的耗氧量是80个 单 住 时，它的飞行速度是多少？斛 折：门)由题意知，当燕子静止时，它 的 速 度 为0,代人题目所 给 公 式 可 得0=51og2错 误!O解 得。二10,即 燕 子 静 止 时 的 耗 氧 量 为10个单核.(2)将 耗 氧 量。=80代 人 公 式 得：v=510g2错 误!=510g28=15(m/sJ,即 当 一 只 燕 子的耗氧量为80个单位时，飞 行 速 度 为15 m/so探 究 三 分 段 函 数 模 型 例3某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商

14、场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的英券：旃费金额(元)的范Mn88,388J(388,588(588,888(888,11887 获得奖券的285888128金额(元)根据上述促销方法，顾蓉 在该商场购物可以获得双重优惠，例如：购 买 标 价 为400元的商品，则 消 费 金 额 为320元，然后还能获 得 对 应的奖 券 金 额 为28元 于是，该 独家获得的优惠领为：400 x0.2+28=108元、设 购 买 商 品 得 到 的 优 惠 率=错误!.试问：门)购 买 一 件 标 价 为1 000元的商品，顾家得到的优惠率是多少？(2)当商品的标价为 100,6 0 0 J元时

15、，试写出顾客得到的优惠 率y关 于 标 价x元之间的函数关系式；C 3J当顾客购买标价不超过600元的商品时，该顾客是否可以 得 到 超 过35%的优惠率？若可以，靖 举 一 例；若不可以,试说明你的理由,思路点拨】结合实例计算(1人当 100,235),235,485,(485,6007,求)与x的关系式；在(2)的基础上计算每一段上的优惠率，分 析 是 否 达 到35%.解析(U由题意，标 价 为1 0 0 0 元 的 商 品 消 费 金 额 为 1000 x0.8=800 元，故优惠额为：1 000 x0.2+88=288元，则优惠率为错误!=28。8%。(2)由题意，当靖费金额为188

16、元时，其 标 价 为235元;当消费金颖 为3 8 8元 时，其 标 价 为4 8 5元;当消费金领为5 8 8元时，其 标 价 为7 3 5元.由此可得，当 商 品 的 标 价 为f l O O,6 00元 时，顾客得到的优惠 率y关 于标价x元之间的函数关系式为：y =错 误！（3）当C O,2 3 5）时，优 惠 率 即 为：2 0%；当x W 2 3 5,4 8 5 7时，优惠、率 为：）=0。2 +错 误!，此 时 的 最 大 优 惠 率 为0.2 +错 误!=0.3 1 9 V 3 5%。当x（4 8 5,6 00时，优 惠 率 为：）=0。2 +错 误!，此 时 的 优 惠 率y

17、 v O。2 +错误!=0。3 2 l),g(x)=错误!(x-4)2(xl),h(x)=30|logu-2|(xl J,其中 x 表 示 月 教，g(x)f h x)分别表示污染度.问 选 用 哪 个 函 数 模 拟 比 较 合 理，并 说 明 理 由、解 析1 用 力 行)模 拟 比 较 合 理、理 由：因为犬2)=4 0/2)=2 6。7,h(2)=303；=20,g(3户6。7,h(3)句2.5。由 此 可 得 G)更接近实际值，所 以 用 G)模 拟 比 较 合 理、方 法 技 巧 对 于 此 类 实 际 应 用 问 题，关键是先建立适当的法教 关 系 式，再 解 决 教 学 问 题

18、，然后验证并结合问题的实际意义作 出 回 答，这 个 过 程 就 是 先 拟 合 函 数 再 利 用 函 数 斛 题、函数拟合 与 预 测的一 般 步 骤 是：(1 J能够根据原始数据、表 格，描出数据点.(2)通 过数据点，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟 合 曲 线、如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，谪“点”不漏,那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况一 般 是 不 会 发 生 的,因 此，使实际点尽可能地均匀分布在直线或曲线两侧，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了.(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函教关系式、(4)利用法教 关 系 灰

19、，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据、跟踪探究 4 o为了估计山上积雪融化后对下游灌流的影响，在 上建立了 一个观察站，测 量 最 大 积 雪 深 度xcm与当年灌溉面 积yhn?。现 有 连 续10年的实测资料，如下表所示.年最大积雪深灌溉面秋序度 x/cmy/hm2115o 228.6210.421o 1321.240 o 5418o 636o 6526.449 o 8623.445 o 0713.529 o 2816.734.1924 o 045.81019.136.9(1)描 点 画 出 灌 流 面 积y(hm 2)随 秋 雪 深 度x(cm)变化的图像；(2；建

20、立 一 个 能 基 本 反 映 灌 溉 面 积 变 化 的 函 数 模 型y=f (x)f并 画 出 图 像；(3)根 据 所 建 立 的 函 教 模 型，求 最 大 积 雪 深 度 为25 cm时，可 以 灌 溉 的 土 地 数 量、斛 折：(1)描 点 作 图 如 图 甲.甲 乙(2)从 图甲中 可 以 看 到，数据点大致落在一条直线附近,由此，我们假设灌溉面秋y和 最 大 秋 雪 深 度x满足线性函数模型y =。尤+b(存0)、取其中的两组数据(1 0.4,2 1.1 J ,C 2 4.0,4 5 o 8),代 人y =4 X+得错误！用 计 算 器 可 算 得 向1.8,Z?2 o 4

21、.这样，我 们得到一个函数模 型y=1。8 x +2 o 4 o作出的数图像如图乙，可 以 发 现，这个函数模型与已知数据的 拟 合 程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面秋的关系.(3)由y=1。8 x 2 5+2 o 4,求 得y =4 7。4,即当最大积雪深度 为 2 5 c m 时，可以灌溉土地 4 7.4 h m2。0 3 讨 论 探 究-总结规律方法，提升核心素养授 课 提 示：对 应 学 生 用 书 第7 4页 课后小结L 的数模型的应用实例主要包括三个方面:(1)利 用给定的函数模型斛决实际问题；(2)建立确定性的函数模型解决实际问题；(3)建立拟合舀教模型解决实际

22、问题、2.在 引 入 自 变 量 建 立 目 标 的 数 斛 决 函 数 应 用 题 时，一是要注意面变量的取值范囹，二是要检验所得结果，必要时运用估算和近仞计算，以使结果符合实际问题的要求、3、在实际问题向教学问题的转化过程中，要充分使用教学语言，如 引 入 字 母，列表，画图等使实际问题教学符号化.4、根据收集到的数据的特点，通 过建立函数模型，解决实际问题的基本过程，如图所示.不符合实际I收集数据I画片点图选择函 数模型,丁 ,求函y模型 合实际I用函数模型解决实际问题I 素养培优7忽唯实际情况对函数定义域的F艮制 致误易错嚎例：如 图 所 示，在 矩 形A B CD中，已知A B =a

23、,B C =b(ba)y 在 AB,AD,C D,C B 上分别截取 AE,A Hf C G,CF,且A E =A H=CG=CF=x.DGC“K/A E B问：当x为何值时，四 边 形E/G”的面积最大？并求出最大面积、易错分折：利 用 后 数 解 决 实 际 问 题 时，要遵循定义域优先的原 则，即必须考虑到自变量 的 实 际 意 义，否则会出现错斛.考杳数据分析、教 学 建 模 等 学 科 素 养、自我纠正：设 8 逆 形EFGH的 圆 积 为S,则S=ab-2错 误！=-2x2+(a+b)x二一 2错 误!2 +错 误！，(0力 _7、因 为0 v b v a,所 以OvZ?v错 误!.若 错 误!即a b时，即。3Z?时，易知的数在(0,b上是增函数，所 以 当x=Z?时，S有最大值次?一尻。综 上 可 得，当a 3b,x=b时，S有 最 大 值。一尻。