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1、高一年级 数学随机模拟 在抛掷硬币试验中，统计正面朝上的次数，算出正面朝上的频率，通过大量重复试验，频率会稳定在概率0.5附近.问题1 抛掷一枚质地均匀的硬币，如何估计正面朝上的概率？抛掷硬币试验实验者掷币次数出现“正面向上”的频数频率德摩根204810610.5181蒲丰404020480.5069德摩根409220480.5005费勒1000049790.4979皮尔逊1200060190.5016皮尔逊24000120120.5005罗曼诺夫斯基80640396990.4923 大量手工试验方法耗时费事，统计量大，效率低，需要提高效率.随机事件在一次试验中是否发生是不确定的，但在大量重复
2、试验中，它的发生呈规律性.有些随机事件不能像古典概型一样直接计算概率，要利用频率来估计概率.我们可以根据不同的随机试验，构建相应的随机数模拟试验，那么如何产生随机数呢？由试验产生的随机数想要产生09之间的整数随机数，像彩票摇奖那样，把10个质地和大小相同的号码球放入摇奖器中，充分搅拌后摇出一个球，这个球上的号码称为随机数.利用计算器或计算机产生的随机数利用计算器或计算机产生随机数是按照确定的算法产生的数，具有周期性，因此我们把利用计算器或计算机产生的随机数称为伪随机数.利用计算器或计算机产生的随机数 为了满足不同需求，人们开发了功能各异的统计软件，有些是专门的统计软件，如R，SAS,SPSS,
3、S-Plus,Stata等；有些是有一定统计功能的软件，如Microsoft Excel,MATLAB,GeoGebra等.在电子表格软件中RANDBETWEEN（1，n）函数表示产生于1n范围内的整数随机数.下面我们以电子表格软件为例,模拟抛掷一枚均匀硬币试验.首先，建立概率模型，用0表示抛掷硬币出现反面朝上，用1表示出现正面朝上.利用电子表格软件的自动填充功能，可以快速生成随机数，相当于不断做抛掷硬币的试验.按照如上方法，我们很快就可以得到100个数据，相当于做了100次试验.统计100次试验中出现“正面朝上”的频数为46，计算出正面朝上的频率为0.46，用频率估计概率的近似值为0.46.
4、小结 随机事件发生的频率，即具有随机性，又具有稳定性.通过大量重复试验，可以看到出现“正面朝上”的频率稳定于概率0.5附近.用随机数进行简单随机抽样问题2 要从11件产品中抽取5件进行质量检验，其中甲产品必须被抽中，如何利用随机数表示抽样过程.用随机数进行简单随机抽样解：（1）将10件产品进行编号，号码为1，2，10；（2）用计算器的函数RAND（1,10）或利用计算机的函数RANDBETWEEN(1,10)产生4个1到10范围内的随机数.（如果有重复，重新产生一个即可）；（3）以上号码就是对应的4件产品，也就是要抽取的对象.用随机模拟估计等可能事件的概率问题3 一个袋子中装有2个红球和3个白
5、球，这些球除颜色不同外没有其他差别.从袋中摸出一个球，出现红球的概率是0.4，如何设计随机模拟试验，验证结论？用随机模拟估计等可能事件的概率1、建立概率模型 对于从袋子中摸出一个球的试验，除了具体试验，我们还可以利用计算器或计算机产生随机数模拟试验.用1，2表示红球，用3，4，5表示白球，不断产生15之间的整数随机数，相当于不断地做从袋中摸球的试验.用随机模拟估计等可能事件的概率2、进行模拟试验 在电子表格软件中利用函数RANDBETWEEN（1,5）产生整数随机数进行模拟试验.0.6 0.35 0.4 0.45 0.44 0.3850.416 0.39 3、统计试验结果n1020501001
6、50200250300nA6720456677104116fn(A)用随机模拟估计等可能事件的概率4、频率估计概率 这种利用随机模拟解决问题的方法称为蒙特卡洛（Monte Carlo）方法.画出频率折线图，从图中可以看出随着试验次数的增加，摸到红球的频率稳定于概率0.4.蒙特卡洛（Monte Carlo）方法 在20世纪40年代美国第二次世界大战期间兴起和发展起来，它的奠基人是研制原子弹“曼哈顿计划”的成员乌拉姆和冯诺伊曼.冯诺伊曼首创该法用于裂变中的中子随机扩散进行模拟，并以驰名世界的赌城摩纳哥的蒙特卡洛来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘的色彩.冯诺伊曼蒙特卡洛（Monte Carlo）方法
7、两大优点：一是简单，省去了反复的数学推导和演算过程，使得一般人也能够理解和掌握；二是快速.这两个优点使得蒙特卡洛方法在金融工程学、宏观经济学、化学、生物、生态学、社会学等领域应用广泛.蒙特卡洛（Monte Carlo）方法 蒙特卡洛方法通过构造符合一定规则的随机数来解决数学上的各种问题.对于那些由于计算过于复杂而难以得到解析解或者根本没有解析解的问题，蒙特卡洛方法是一种有效的求出数值解的方法.建立概率模型进行模拟试验统计试验结果频率估计概率摸球试验计算机产生随机数例 从你所在班级任意选出6名同学，调查他们的出生月份，假设出生在一月，二月，十二月是等可能的.设事件A=“至少有两人出生月份相同”，
8、设计一种试验方法，模拟20次，估计事件A发生的概率.分析解：根据假设，每个人的出生月份在12个月中是等可能的，而且相互之间没有影响，所以观察6个人出生月份可以看成重复试验.建立概率模型方法一:构建有放回摸球试验进行模拟 在袋子中装入编号为1，2，12的12个球，有放回地随机从袋中摸6次球，得到6个数代表6个人的出生月份，这就完成了一次模拟试验.进行模拟试验方法二：利用计算机产生随机数模拟试验 在电子表格软件中，利用函数RANDBETWEEN（1，12）产生6个数，代表6个人的出生月份，即完成一次模拟试验.如此重复20次，相当于做20次重复试验.进行模拟试验统计试验结果 如果一组的6个随机数中至
9、少有2个相同，则表示事件A发生了.统计20次试验的结果，事件A发生了15次.频率估计概率 事件A发生的频率为0.75，可以用它估计事件A发生的概率为0.75.事实上，通过理论计算，事件A的概率约为0.78.建立概率模型进行模拟试验统计试验结果频率估计概率小结 具体试验计算器或计算机产生随机数例 甲、乙两人进行一项比赛，假设每局比赛甲获胜的概率为0.4,乙获胜的概率为0.6，利用计算机模拟试验，估计三局两胜制甲获胜的概率.例 甲、乙两人进行一项比赛，假设每局比赛甲获胜的概率为0.4,乙获胜的概率为0.6，利用计算机模拟试验，估计三局两胜制甲获胜的概率.问题1 如何理解三局两胜制甲获胜？三局两胜制
10、甲获胜赛两局赛三局甲以2：0获胜甲以2：1获胜（前两局赢一局输一局，且第三局甲胜）分析例 甲、乙两人进行一项比赛，假设每局比赛甲获胜的概率为0.4,乙获胜的概率为0.6，利用计算机模拟试验，估计三局两胜制甲获胜的概率.问题2 每局比赛甲获胜的概率为0.4的含义是什么？分析：设事件A=“甲赢得比赛”，用计算机产生09范围内的随机数，当出现1，2，3，4时表示一局比赛甲获胜.例如产生如下随机数：4 4 1 7 1 6 5 8 0 9 7 9 8 3 8 6 1 9 6 2 0 6 7 6 5 0 0 3 1 0 5 5 2 3 6 4 0 5 0 5 2 6 6 2 3 8 2 1 9 7 7 5
11、 8 4 1 6 0 7 4 4 9 9 8 3 1 1 4 6 3 2 2 4 2 0 1 4 8 5 8 8 4 5 1 0 9 3 7 2 8 8 7 1 2 3 4 2 9 7 7 7 7 7 8 1 0 7 4 5 3 2 1 4 0 8 3 2 9 8 9 4 0 7 7 2 9 3 8 5 7 9 1 0 7 5 5 3 3 6 1 9 9 5 5 0 9 2 2 6 1 1 9 6 0 5 6 7 6 3 1 3 8 8 0 2 2 0 2 5 3 5 3 8 6 6 0 4 2 0 4 5 3 3 7 8 5 9 4 3 5 1 2 8 3 3设计概率模型的几种想法（1）若将
12、产生的随机数每三个一组，若统计总组数N及至少有两个数字都为1，2，3或4的组数N1，即 为“采用三局两胜制甲获胜”的概率的近似值；（2）若将产生的随机数每三个一组，若统计总组数N及前两个数字都为1，2，3或4的组数N1，即 为“甲以2：0获胜”的概率的近似值；设计概率模型的几种想法接着再统计该次试验中前两个数字中恰有一个数字为1，2，3或4的组数M及前两个数字中恰有一个数字为1，2，3或4，且第三个数字也为1，2，3或4的组数M1，即 为“甲以2：1获胜”的概率的近似值 所以 即为“采用三局两胜制甲获胜”的概率的近似值设计概率模型的几种想法（3）若将产生的随机数每两个一组，若统计总组数N及两个
13、数字都为1，2，3或4的组数N1，即 为“甲以2：0获胜”的概率的近似值；再将产生的随机数每三个一组，统计该次试验中前两个数字中恰有一个数字为1，2，3或4的组数M及前两个数字中恰有一个数字为1，2，3或4，且第三个数字也为1，2，3或4的组数M1，即 为“甲以2：1获胜”的概率的近似值 所以 即为“采用三局两胜制甲获胜”的概率的近似值问题3 如何估计“甲以2：0获胜”的概率？三局两胜制甲获胜赛两局赛三局甲以2：0获胜甲以2：1获胜（前两局赢一局输一局，且第三局甲胜）若以每两个随机数作为一组样本点，产生97组随机数：44 17 16 58 09 79 83 86 19 62 06 76 50
14、03 10 55 23 64 05 05 26 62 38 21 97 75 84 16 07 44 99 83 11 56 32 24 20 14 85 88 45 10 93 72 88 71 23 42 97 77 77 81 07 45 32 14 08 32 98 94 07 72 93 85 79 10 75 53 36 19 95 50 92 26 11 96 05 67 63 13 88 02 20 25 35 38 66 04 20 45 33 78 59 43 51 28 33相当于做了97次重复试验，其中“甲以2：0获胜”共发生了18次.因此“甲以2：0获胜”的频率为0.
15、186，用频率估计概率的近似值为0.186.若以每三个随机数作为一组样本点，产生64组随机数：441 716 580 979 838 619 620 676 500 310 552 364 050 526 623 821 977 584 160 744 998 311 463 224 201 485 884 510 937 288 712 342 977 777 810 745 321 408 329 894 077 293 857 910 755 336 199 550 922 611 960 567 631 388 022 025 353 866 042 045 337 859 435 1
16、28 相当于做了64次重复试验，其中“甲以2：0获胜”共发生了11次，因此“甲以2：0获胜”的频率为0.172，用频率估计概率的近似值为0.172.事实上，若设事件Ai表示第i（i =1,2,3）局比赛甲获胜，则P(Ai)=0.4，从理论计算得到“甲以2：0获胜”的概率的精确值为 .问题4 如何估计“举行三局比赛甲以2：1获胜”的概率？甲需要在前两局中赢一局输一局，并赢得第三局.以每三个随机数作为一组，观察64组随机数：441 716 580 979 838 619 620 676 500 310 552 364 050 526 623 821 977 584 160 744 998 311
17、463 224 201 485 884 510 937 288 712 342 977 777 810 745 321 408 329 894 077 293 857 910 755 336 199 550 922 611 960 567 631 388 022 025 353 866 042 045 337 859 435 128 相当于做了64次重复试验，其中“甲以2：1获胜”发生了32次.其中第三个数也在1，2，3，4中，表示第三局甲胜，对应的组数分别是：364，623，821，744，463，201，712，293，922，611，631，022，353.相当于做了64次重复实验，其中
18、“甲以2：1获胜”发生了14次，因此“甲以2：1获胜”的频率为0.219，用频率估计概率的近似值为0.219.所以，在三局两胜制下甲获胜的概率的近似值为0.391.解：设事件A=“甲获胜”，事件Ai=“单局比赛甲胜”，则 P(Ai)=0.4（i =1,2,3），用计算机产生15之间的随机数，当出现随机数1，2时，表示一局比赛甲获胜，其概率为0.4.由于要比赛三场，每三个随机数为一组.例如,产生40组随机数：414 544 114 135 522 525 452 213 255 125 442 534 522 242 323 114 224 344 253 245 415 244 124 315
19、 511 524 451 214 254 115 452 533 521 241 423 134 214 544 255 243 相当于做了40次重复试验，其中事件A发生了15次，对应的组数分别为:114，522，213，125，522，242，114，224，124，511，214，115，521，241，214.事件A发生的频率为0.375，用频率估计事件A的概率的近似值为0.375.小结 用随机模拟方法得到是试验中事件A发生的频率，它是概率的近似值.事实上，通过理论计算得到事件A的概率的精确值为0.352.u 随机模拟u 随机模拟估计概率建立概率模型进行模拟试验统计试验结果频率估计概率具体试验计算器或计算机产生随机数小 结作 业1、将一枚质地均匀的硬币连掷2次，设事件A=“出现一正一反”，有人认为事件A的概率为 ，有人认为事件A的概率为 .能否设计随机模拟试验，验证你的猜想？作 业2、盒子中仅有4个白球和5个黑球，从中任意取一个球.(1)“取出的球是黄球”是什么事件？它的概率是多少？(2)“取出的球是白球”是什么事件？它的概率是多少？(3)“取出的球是白球或黑球”是什么事件？它的概率是多少？(4)设计一个用计算器或计算机模拟上面取球的试验，并模拟100次，估计 取出的球是白球的概率？同学们，再见！