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1、生活中的优化问题举例教学案教学目标：知识与技能1 .体会导数在解决实际问题中的作用，能解决利润最大、用料最省、效率最高等优化 问题；2 .形成求解优化问题的思路和方法.过程与方法1 .通过逐步形成用到导数知识分析问题和解决问题，进一步培养学生发散思维能力.2 .提高将实际问题转化为数学问题的能力.情感、态度、价值观培养学生用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题地积极态度.教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题.教学难点：理解导数在解决实际问题时的作用，并利用其解决生活中的一些优化问题.教学过程：1、复习导入【师】问题一：导数在研究函数中有哪些应用？问题二：联系函数在实际生活中的作用，你认
2、为导数对于解决生活中的什么问题有什 么作用呢？问题三：通过预习，我们把导数能解决的这些问题通常称为什么问题呢？【生】学生讨论回答【师】生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为 优化问题.通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大(小)值的有力工具.这一节， 我们利用导数，解决一些生活中的优化问题.2、新知学习问题1：导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主 要有几个方面？(1)与几何有关的最值问题；(2)与利润及其成本有关的最值问题；(3)效率最值问题.【生】学生讨论回答问题2：解决优化问题的方法有哪些？首先是需要分析问题中各个变量之间的
3、关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定 义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系.再通过 研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力 的工具.【生】学生讨论回答问题3：解决优化问题的的步骤是怎样的？【生】学生讨论回答典例探究1海报版面尺寸的设计【例题1】学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图所 示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128加2,上、下两边各空2力小 左、右两边各空 1dm.如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？I:一二一:I【分析】先建立目标函数，然后利用导数求最值.【引申思考】在
4、本题解法中，x = 16是函数S(x)的极小值点，也是最小值点.”为什么？【生】学生讨论回答【师】一个函数在某个区间上若只有一个极值，则该极值即为这个区间上的最值.在实 际问题中，由于 /(%)二 常常只有一个根，因此若能判断该函数的最大(小)值在的变 化区间内部得到，则这个根处的极大(小)值就是所求函数的最大(小)值.【规范解答】【一题多解】对于本题的最值你是否还有别的解法？【探究解答】【反思提高】事实上，可导函数P(x) = 6h =、V(x) - (60-2x)2x 2在各自的定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰，是单峰的， 因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数
5、值饮料瓶大小对饮料公司利润的影响【问题引领】(1)你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？(2)是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？【例题2】【背景知识】某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是0.8乃 分，其中是瓶子的半径，单位是厘米.已知每出售1加L的饮料，制造商可获利02分，且 制造商能制作的瓶子的最大半径为6c2【问题】(1)瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？(2)瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？【分析】先建立目标函数，转化为函数的最值问题，然后利用导数求最值.【规范解答】【新视角解答】我们已经求出利润和瓶子半径之间的关系式:/(r) =
6、0.8 -r2,0 r 6 .I 3)图象如图，能否根据它的图象说出其实际意义？【合作探究】当V (0,2)时，厂)为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2c机时，瓶子的半径越大,利润越小，半径为2c根时，利润最小；当ire (2,6)时，/(厂)为增函数，其实际意义为：瓶子的半径大于2的时，瓶子 的半径越大，利润越大.特别的，当3时， 3) = 0 ，即瓶子的半径为3c加时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等，户3时，利润才为正值.当尸2时，/(2)0,即瓶子的半径为2cm时，饮料的利润最小，饮料利润还不够饮料瓶 子的成本，此时利润是负值.磁盘的最大存储量问题【例题3】【背景知识】计算机把数据
7、存储在磁盘上.磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成 磁道和扇区.磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域. 磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据。或1,这个基本 单元通常被称为比特8万).为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于 2,每比特所占用的磁道长度不得 小于儿为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数.【问题】现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于一与R之间的环形区域.(1)是不是梃小，磁盘的存储量越大？(2)为多少时，磁盘具有最大存储量(最外面的磁道不存储任何信息、)？【规范解答】【提别
8、提醒】由问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这 个极值就是所求最值，不必再与端点值比较.课堂练习1 .某旅行社在暑假期间推出如下旅游团组团办法：达至IJ100人的团体，每人收费1000元. 如果团体的人数超过100人，那么每超过1人，每人平均收费降低5元，但团体人数不能超过 180人，如何组团可使旅行社的收费最多？(不至U100人不组团)【分析】先列出问题的文字模型(标准收费数-降低的收费数)，再转化为数学模型.2 .圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材 料最省？【变式练习】当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取才能使所用材 料最省？课堂小结：1 .导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值得实际问题，主要有 以下几种类型：（1）与几何（长度、面积、体积等）有关的最值问题；（2）与物理学有关的最值问题；（3）与利润及其成本（效益最大、费用最小等）有关的最值问题；（4）效率最值问题.2 .利用导数解决优化问题的基本思路：