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1、生活中的优化问题举例教学案教学目标：1 .使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用;2 .提高将实际问题转化为数学问题的能力.教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题.教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题.教学过程：一.创设情景生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问 题.通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具.这一节，我们利用 导数，解决一些生活中的优化问题.二.新课讲授导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下 几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有
2、关的最值问题；来源:学*科*网Z*X*X*K3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题.解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关 系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当 的函数关系.再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中, 导数是一个有力的工具.利用导数解决优化问题的基本思路:三.典例分析例1.海报版面尺寸的设计学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图L 47所示的竖 向张贴的海报，要求版心面积为128办落 上、下两边各空2力小左、右两边各空ld/n.如何
3、设 计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？128解：设版心的高为x曲，则版心的宽为dm,此时四周空白面积为12812S(x) = (x + 4)(+ 2)-128 = 2% + + 8,x0.XX求导数，得S=2 512令 S(x) = 2 一年x=。，解得工二16（X=一16舍去）.于是宽为世128 7?当 x (0/6) 0寸，S (x)0.因此， = 16是函数S。）的极小值，也是最小值点.所以，当版心高为16dm,宽为8d 时，能使四周空白面积最小.答：当版心高为16面，宽为8办2时，海报四周空白面积最小.例2.饮料瓶大小对饮料公司利润的影响（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品
4、一般比大包装的要贵些？（2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是0.8万严分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米.已知每出售1 辽的饮料，制造商可获利0.2分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm问题：（1）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？（2）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？解：由于瓶子的半径为人 所以每瓶饮料的利润是4的3、y = /（） =0.2x 兀尸-0.8r2= 0.8万r2,0 r 6313/令/=0.甑（产2r） = 0解得 r= 2（ 0舍去）当厂 （0,2）时，fz（r）0.当半径厂2时，/(r
5、)0它表示/()单调递增，即半径越大，利润越高；当半径/2时，/z(r)0它表示/(r)单调递减，即半径越大，利润越低.(1)半径为2。%时，利润最小，这时/(2)0,表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子 的成本，此时利润是负值.(2)半径为6cm时，利润最大.换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？有图像知：当厂=3时、 /(3)= 0,即瓶子的半径为3c加时，饮料的利润与饮料瓶的成 本恰好相等；当厂3时，利润才为正值.当厂0,2)时，/z(r)0；/VXO.R, r2因此厂二一时，磁盘具有最大存储量.此时最大存储量为三三2mn4例4.圆柱形金属饮料罐的容积一定时
6、，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的 材料最省？解：设圆柱的高为/z,底半径为七则表面积5=2 Rh+2 jtR2V由 V二R2人，得 Zz =,则来源:Zxxk. ComV2VS(R)= 2 JiR-+ 2 jtR2=+2叱7TR2R2V令 =+4 jrR=O解得，R= ，从而行 2二 / I V 2 =2胃区V 171即/z = 2R因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值答：当罐的高与底直径相等时，所用材料最省变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时，它的高与底面半径应怎样选取，才能 使所用材料最省？提示：S=2兀Rh + 2兀R? = h=2兀RnV的二S-2兀R-兀R?二 2
7、tiR2)R= SR 成32 成22V(R)=0=s = 6荷 2 =6欣 2 =2欣/7 + 2成2 =h = 2R.四.课堂练习1.用总长为14. 8加的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作的容器的底面的一 边比另一边长0.5加，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积.(高为L 2 m, 最大容积18加3)5.课本练习课本尸104五.回顾总结1 .利用导数解决优化问题的基本思路：建立数学模型优化问题 用函数表示的数学问题解决数学模型i作答 A优化问题的答案 用导数解决数学问题2 .解决优化问题的方法：通过搜集大量的统计数据，建立与其相应的数学模型，再通 过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得到解决.在这个过程中，导数往往是一个 有利的工具.