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1、第一章多项式练习题第一章多项式练习题第一章多项式一.填空题1、当 p(x)是多项式时，由 p(x) |f(x)g(x)可推出 p(x) |f(x)或 p(x) |g(x)o 2、当 f (x) 与 g(x)时，由 f(x) |g(x)h(x)可推出 f(x) |h(x)o3、设f (x)=x3+3x2+ax+b用x+1除余数为3,用x-l除余数为5,那么a=b=o 4、设 f(x) =x4+3x2-kx+2 用 x-l 除余数为 3,则 k二0 5、如果(x2T)2|x4-3x3+6x2+ax+b,则 a=b=。6、f(x)没重根的充份必要条件就是。7、如果f(x)=x3-3x+k于向阳根，那
2、么k=。8.若不可约多项式p(x)是f(x)的k重因式，则p(x)是f(k?l)(x)的因式9、a是f(x) 的根的充分必要条件是。10、以1为二重根，2, 1+i为单根的次数最高的实系数多项式为f(x)=o 11.艾森施 坦因辨别法就是推论多项式在有理数域上不容约的一个条件。答案1、不容约 2、互素 3、a=0,b=14、k=35、a=3, b=-76、(f (x), f* (x)=17 k=28.单 因式 9、x-a|f(x)10, x5-6x4+15x3-20x2+14x-411.充份二.判断并说明理由1、若 f(x) |g(x)+h(x),f(x) |g(x),则 f(x) |h(x)
3、 () 2、若 f(x) |g(x)h(x),则 f(x) |g(x)或 f(x) |h(x)()23.设 f(x)?px,且 f(?l)?f(l)?0,则 x?lf(x).()4、设p(x)就是数域p上不容约多项式，如果p(x)就是f(x)的k轻因式，则p(x)就 是f?(x)的k-1轻因式。()5.任何两个多项式的最小公四式不因数域的不断扩大而发生 改变。6.若一整系数多项式f(x)有有理根，则f(x)在有理数域上可约。7.若f(x)无有理根， 则f(x)在q上不可约。()8.在实数域上所有次数大于或等于3的多项式都就是有理数的.()9、f(x)=x4- 2x3+8x-10在有理数域上不容
4、约。()答案1、 J2、X当f(x)是不可约时才成立3. J4、 45. 76. X次数22时成立7. X8. V9、 V三.选择题1、以下数集不是数域的是0 a、?a?bi|a,b是有理数，i2=-l?b、?a?bi|a,b 就是整数，i2=-l?c、?a?b2|a,b是有理数?d、?全体有理数?2、关于多项式的相乘,以下命题恰当的就是()a、若f(x) |g(x)h(x),且f(x)?|g(x) 则 f(x) |h(x)b、若 g(x) |f(x),h(x) |f(x),M g(x)h(x) |f(x)c、若 f(x) |g(x)+h(x), f(x) Ig(x)-h(x),则 f(x)
5、|g(x)且 f(x) |h(x)d、若 f (x)?|g(x), f (x)?|h(x),则 f (x)?|g(x)h(x)3、关于多项式的最大公因式，以下结论正确的是()a 若 f(x) |g(x)h(x)且 f (x) |g(x),则(f (x),h(x) =1b、若存在 u(x), v(x),使得 f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x),则 d(x)是 f(x)和 g(x)的最 大公因式 c、若 d(x) |f(x),且有 f (x)u(x) +g(x)v(x) =d(x),则 d(x)是 f(x)和 g(x)的最大 公因式 d、若因式)g(x), h(x)=l,则(f (x),
6、 h(x)=l K(g(x),h(x)=l () 4、关于不可约 多项式p(x),以下结论不正确的是()a、若 p(x) f(x)g(x),则 p(x) |f(x)或 p(x) g(x)b、若 q(x)也是不可约多项式,则(p(x),q(x) =1 或 p(x)=cq(x),cWOc、p(x)是任 何数域上的不可约多项式d、p(x)是有理数域上的不可约多项式5、关于多项式的重因式，以下结论恰当的就是0a、若p(x)是f?(x)的k重因式，则p(x)是f(x)的k+1重因式b、若p(x)是f(x)的k 重因式,则p(x)是f(x), f?(x)的公因式c、若p(x)是f?(x)的因式，则p(x)
7、是f(x)的重 因式d、若p(x)就是f(x)的重因式，则p(x)就是f(x)(f(x),f?(x)的单因式26、关于多项式的根，以下结论不正确的是()a、a就是f(x)的根的充份必要条件就是(x- a) |f(x)b、若f(x)没有理根，则f(x) 在有理数域上不容约c、每个次数21的复数系数多项式，在复数域中存有根d、一个三次 的实系数多项式必存有实根7、设f(x)=x3-3x2+tx-l是整系数多项式，当t=()时，f(x)在有理数域上可约。a、lb Oc、Td、3 或-58、设f(x)=x3+tx2+3x-l是整系数多项式，当t=()时，f(x)在有理数域上可约。a、lb、Tc、0d、
8、5 或-39、设f(x)=x5+5x+L以下结论不正确的是()a、f(x)在有理数域上不容约b、f(x)在有理数域上有理数c、f(x)存有一实根d、f(x) 没有理根10. f(x)?anxn?an?lxn?l?确的就是()a. p?an, q?aOb. p?an, q?anc. p?a0, q?and. p?a0, q?a0alxa0zx,若分数P(P,q互素)是f(x)的有理根，则下列结论正q答案：1 、 b2、 c3、 d4.c5、 d6、 b7、 d8、 d9、 biO.c四.计算题1、谋 m, p 的值并使 x2+3x+21 x4-mx2-px+2解：用带余除法求得 r (x) =-
9、 (3m+p+15)x-(2m+12)令 r(x)R 即?求得 nF-6p=32 谋 l,m,并使 f?x?x?lx?5x?2 能够被 g?x?x?mx?l 相乘。322?3m?p?15?0m60数学分析1：因?f?x3, ?g?x2,故商q?x?满足用户q?x?l ,且设 q?x?x?p,则由3可得 x3?lx2?5x?2?x3?m?p?x2?pm?l?x?p, p?2, pm?l?5, p?m?l, f?x?q?x?g?x?,从 而p?2,m?2, l?4o解法2：用带余除法 x2?mx?lx3?lx2?5x?2x?l?mx3?mx2?x?l?m?x2?4x?2?l?m?x2?m?l?m?
10、x?l?m4?m2?lmx?2?m?l于是 f?x?g?x?x?l?m?4?m2?lmx?2?m?l,因g?x?|f?x?,则 4?m2?lm?0,2?m?l?0,从而 l?4,m?2。3.设 f(x)?x4?3x3?x2?4x?3, g(x)?3x3?10x2?2x?3,求(f (x), g(x),并求 u(x), v(x) 使(f (x), g(x) ?u (x) f (x) ?v (x) g(x) o(f(x),g(x)?x?3； u(x)?3122x?l?, v?(x)?x?x5554、判断 f (x) =x4-6x2+8x-3 有无重四式，如果有，求其重数.求解：f? (x) =4x
11、3-12x+8 (f (x), f? (x) = (x-1) 2x-1 就是 f(x)的三重因式备注：谋 f?x? 轻因式的方法：1.谋f?x?；2.求?f?x?, f?xd?x?o 当 d?x?l,则无重因式。当d?x?l,则于向阳四式，且d?x?即为为一些轻因式的乘积，据此，也可以实地考 察f?x?有没有重根。6、谋f(x)=4x4-7x2-5x+l的有理根，并写下f(x)在有理数域上的标 准水解式。解：有理根为？11 (二重)水解式为 f(x)=4(x+)2(x2-x-l)2247、未知i,2-i就是f(x)=2x5-7x4+8x3-2x2+6x+5的两个根，谋f(x)的全部根解：全部根
12、为i,-i,2-i,2+i,?128求以1为二重根,1-i为单根的次数最低的实系 数多项式f(x).求解：f (x) =x4-4x3-x2-6x+29、已知 1-i 是 f(x)=x4-4x3-5x2-2x-2 的根，求 f(x)的全部根。求解：全部根为1+i, 1-i, 1+2, 1-2五.证明题1、试证用x2-l除f(x)税金余式为f (1) ?f(?l)f(l)?f(?l)x?22 证明:设余式为 ax+b,则存有 f (x) = (x2-l)q(x) +ax+bf (1) =a+b, f (-1) =-a+b求得a二f(l)?f(?l)f(l)?f(?l),b?222 证明，(f (x
13、) +g(x), f (x)-g(x) =(f (x), g(x)证明:(f (x), g(x)=d(x)则 d(x) f (x) +g(x)d(x) |f(x)-g(x)设 dl(x)就是f (x)+g(x), f(x)-g(x)的任一公因式则 di (x) |f(x)+g(x)+f(x)-g(x)=zf (x)dl(x) |f (x)+g(x)-f (x)+g(x)=zg(x)故 dl(x) | f (x), dl (x) |g(x),从而dl(x) |d(x)初等矩阵3、设p(x)是次数大于零的多项式,如果对任意多项式f(x), g(x),由p(x|f(x)g(x), 可推出p(x) |
14、f(x)或p(x)|g(x),那么p(x)是不可约多项式证明：假设p(x)就是有理数的,设p(x)=pl(x)p2(x)其 中？(pl(x)(p(x),?(p2(x)?(p(x)似乎p(x) |pl(x)p2(xp(x) |pl(x),p(x) |p2(x)这 与题设矛盾，即p(x)就是不容约的。4 .设p?x?是p?x?中一个次数？1的多项式。如果对于?f?x?, g?x?p?x?,从 p?x?|f?x?g?x?可推出p?x?|f?x?,或p?x?|g?x?,则p?x?就是p?x?中的一个不容约多项式。证明：类似上题，用反证法。若p?x?p?x?可约，则P?x?可分解为p?x?fl?x?f2
15、?x?, ?f l?x?, ?f2?xp?x?,且 P?x?|fl?x?f2?x?,故由题建有p?x?|fl?x?或 p?x?|f2?x?,矛盾。55.设p?x?就是p?x?中一个次数?1的多项式。如果对?f?x?p?x?,都存有p?x?|f?x? 或?p?x?, f?xl,则P?x?是数域p上的不可约多项式。证明：用反证法。如果p?x?在p上有理数，则p?x?可以数集两个次数较低的多项式 的乘积：p?x?fl?x?f2?x?,且可设 fl?x?的首项系数为 1,于是 p?x?|fl?x?, 且?p?x?, fl?xfl?x?l,与题设立矛盾。6、设f (x);anxn+anTxnT+alx+aO是整系数多项式证明，如果aO, an均为奇数， f,f(T)中至少有一个为奇数,那么f(x)无有理根证明：若f(x)存有有理根uu, (u, v 互索)，则 v|anu|aO,知 u, v 均为奇数，由 x- |f(x)得，vx-u | f (x),取 x=lvv有u-v|f(l), u+v|f(-l),故均为偶数，这与题设矛盾，所以f(x)无有 理根。6