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1、第一章一元多项式习题及解答习 题 一A 组 1. 判别是否为数域？解 是2. 设，求，解，3设，求的展开式中各项系数的和解 由于的各项系数的和等于，所以4. 求除以的商与余式(1) ；(2) 解 (1) 用多项式除法得到 所以， (2) 用多项式除法得到所以，5设是两个不相等的常数，证明多项式除以所得余式为证明 依题意可设，则解得故所得余式为6. 问适合什么条件时，能被整除？(1) ，；(2) ，解 (1) 由整除的定义知，要求余式所以先做多项式除法，要求， 所以即时，可以整除(2) 方法同上先做多项式除法，所得余式为，所以，即或时，可以整除7. 求与的最大公因式:(1) ；(2) ；(3)
2、解 (1) 用辗转相除法得到用等式写出来，就是，所以(2) 同样地，所以.(3) 同样用辗转相除法，可得 8. 求使：(1) ：(2) ：(3) 解 (1) 利用辗转相除法，可以得到，因而，并且所以(2) 利用辗转相除法，可以得到，因而，并且所以(3) 利用辗转相除法，可以得到，因而，并且所以9. 设的最大公因式是一个二次多项式，求的值解 利用辗转相除法，可以得到 ， 由题意，与的最大公因式是一个二次多项式，所以解得10. 设，求和解 用去除，得余式，由题意要求知，即解得11. 证明：如果，那么证明 由条件可知，存在和使得，存在和使得用乘以第一式得，代入第二式得，即，所以12. 证明：如果与不
3、全为零，且，那么证明 由于，与不全为零，所以两边同时除以，有，所以13. 证明：如果，且为与的一个组合，那么是与的一个最大公因式证明 由题意知是与的公因式再由条件设 又设为与的任一公因式，即，则由上式有 故而是与的一个最大公因式14. 证明：，其中的首项系数为1证明 显然是与的一个公因式下面来证明它是最大公因式设满足，则由上题结果知，是与的一个最大公因式，又首项系数为1，所以15. 设多项式与不全为零，证明证明 设，则存在多项式，使因为与不全为零，所以上式两边同时除以，有 ，故成立16分别在复数域、实数域和有理数域上分解为不可约因式之积解 在实数域上的分解式为在复数域上的分解式为在有理数域上是
4、不可约多项式否则，若可约，有以下两种可能（1）有一次因式，从而它有有理根，但，所以无有理根（2）无一次因式，设，其中为整数于是，又分两种情况：，又 ，从而由 ，得，矛盾；，则，矛盾综合以上情况，即证17. 求下列多项式的有理根：(1) ；(2) ；(3) 解 (1)由于是首项系数为1的整系数多项式，所以有理根必为整数根，且为的因数的因数有：，计算得到：故是的有理根再由多项式除法可知，是的单根(2) 类似（1）的讨论可知，的可能的有理根为：，计算得到，故是的有理根再由多项式除法可知，是的2重根(3) 类似地，的可能的有理根为：，计算得到故，是的有理根再由多项式除法可知，是的4重根，是的单根18若
5、实系数方程有一根（为实数，），则方程有实根证明 设原方程有三个根不失一般性，令，从而有 ，由根与系数的关系可知，所以，即，故这说明有实根19. 证明：如果，那么证明 因为，所以 因此，令，则有，即20. 下列多项式在有理数域上是否可约？(1) ；(2) ；(3) ；(4) ，p为奇素数；(5) ，k为整数解 （1）的可能的有理根为：，而，所以它在有理数域上不可约（2）由Eisenstein判别法，取素数，则不能整除1，而 ，但是不能整除2，所以该多项式在有理数域上不可约（3）令，代入有取素数，由Eisenstein判别法知，在有理数域上不可约，所以在有理数域上不可约(4) 令，代入，得，取素数
6、，由Eisenstein判别法知，在有理数域上不可约，所以在有理数域上不可约(5) 令，代入，得，取素数，由Eisenstein判别法知，在有理数域上不可约，所以在有理数域上不可约B 组 1设，是实数域上的多项式，(1) 若，则(2) 在复数域上，上述命题是否成立？证明 (1）当时，有，所以，命题成立如果，不全为零，不妨设当时，为奇数；当时，因为，都是实系数多项式，所以与都是首项系数为正实数的奇次多项式，于是也有为奇数而这时均有，且为偶数，矛盾因此有，从而有(2) 在复数域上，上述命题不成立例如，设，其中为自然数，有，但，2. 设，满足,证明. 证明 两式相加得到.由可知.两式相减得到.故，即
7、.3设，证明(1) 若，则；(2) 若，是否有?解 (1) 因为，故存在多项式，使得于是由于，故有，即(2) 否例如取，虽然且，但不能整除4当为何值时，和的最大公因式是一次的？并求出此时的最大公因式 解 显然当时，则当时，则这时5证明：对于任意正整数，都有 证明 由题意可知与不全为零令，则，从而，所以对任意正整数，有，于是有，即 又由，有，因此是与的首项系数为1的最大公因式，从而有6. 设且，证明证明 设，则由于 ，故又设，由上式及，可得， ，从而 ，于是 ，即也是和的最大公因式，即7设，且与不全为零，证明是与的一个最大公因式的充分必要条件是证明 必要性若是与的一个最大公因式，则存在多项式使，
8、 于是由与不全为零知，因此有，即充分性若，则存在多项式，使两边同时乘有由是与的一个公因式知，是与的一个最大公因式8设和是两个多项式，证明当且仅当证明 必要性设，若与不互素，则有不可约公因式，使，所以或不妨设，由可知，因此是和的公因式，与互素矛盾，故与互素充分性设，则存在使，上式说明9. 如果，那么，证明 的两个根为和，所以，因为，所以，故有即解得，从而，10. 若，则的根只能是零或单位根证明 因为，故存在多项式，使设为的任一根，即，则也就是说，当为的一根时，也为的一根依此类推，可知也是的根由于的根的个数有限，故必定存在正整数(不妨设)，使得，于是有即，或者，即为单位根11. 设是一个整系数多项式，且都是奇数，则没有整数根证明 设，假设有整数根，则整除，即，其中商式也是一个整系数多项式事实上，设，代入上式并比较两端同次幂系数，得，因为是一个整系数多项式，所以，也是整数，令分别代入展开式，得由于都是奇数，则及都必须是奇数，这是不可能的，所以，不能有整数根12证明对于任意非负整数，都有 证明 设是的任一根，即 ，由此得，即也是的根又因为无重根，因此13. 假设是两两不同的整数，证明：多项式在有理数域上不可约证明 用反证法假设在有理数域上可约，则有整系数多项式，使得于是，因此，或这样总有，从而由推论2知，所以这与的首项系数为1相矛盾，故在有理数域上不可约15 / 1515