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1、学习必备 欢迎下载 第 1 页 高考数学知识点：函数的极值与导数的关系 高考数学知识点：函数的极值与导数的关系 极值的定义：（1）极大值：一般地，设函数 f（x）在点 x0 附近有定义，如果对 x0 附近的所有的点，都有 f（x）f（x0），就说 f（x0）是函数 f（x）的一个极大值，记作 y 极大值=f（x0），x0 是极大值点；（2）极小值：一般地，设函数 f（x）在 x0 附近有定义，如果对 x0 附近的所有的点，都有 f（x）f（x0），就说 f（x0）是函数 f（x）的一个极小值，记作 y 极小值=f（x0），x0 是极小值点。极值的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值
2、只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。学习必备 欢迎下载 第 2 页 判别 f（x0）是极大、极小值的方法：若 x0 满足，且在 x0 的两侧 f（x）的导数异号，则 x0 是 f（x）的极值点，是极值，并且如果在 x0 两侧满足“左正右负”
3、，则 x0 是 f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果在 x0 两侧满足“左负右正”，则 x0 是 f（x）的极小值点，f（x0）是极小值。求函数 f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数 f（x）；（2）求方程 f（x）=0 的根；（3）用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查 f（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则 f（x）在这个根处无极值。对函数极值概念的理解：极值是一个新的概念，它是研究函数在某一
4、很小区域时给出的一个概念，在理解极值概念时要注意以下几点：按定义，极值点 x0 是区间a，b 内部的点，不会是端点 a，b（因为在端点不可导）如图 极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可要注意极值必须在区间内的连续点取得一个函数在定极大值一般地设函数在点附近有定义如果对附近的所有的点都有就说是函数的一个极大值记作极大值是极大值点极小值一般地设函数在附近有定义如果对附近的所有的点都有就说是函数的一个极小值记作极小值是极小值点极值的性在函数的整个的定义域内最大或最小函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极
5、大值未必大于极小值函数的极值点一定出现在区间的必备欢迎下载判别是极大极小值的方法若满足且在的两侧的导数异号则是的极值点是极值并且如果在两侧满足左正右负则是的极大值点是极大值如果在两侧满足左负右正则是的极小值点是极小值求函数的极值的步骤确定函数的定义学习必备 欢迎下载 第 3 页 义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小，如图 若 fx）在(a，b)内有极值，那么 f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值 若函数 f（x）在a，b 上有极值且连
6、续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数 f（x）在a，b 上连续且有有 限个极值点时，函数 f（x）在a，b 内的极大值点、极小值点是交替出现的，可导函数的极值点必须是导数为 0 的点，但导数为 0 的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点，函数的最大值和最小值：在闭区间a，b 上连续的函数 f（x）在a，b 上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。利用导数求函数的最值步骤：（1）求 f（x）在（a，b）内的极值；（2）将 f（x）的各极值与 f（a）、f（b
7、）比较得出函数 f（x）在a，b 上的最值。极大值一般地设函数在点附近有定义如果对附近的所有的点都有就说是函数的一个极大值记作极大值是极大值点极小值一般地设函数在附近有定义如果对附近的所有的点都有就说是函数的一个极小值记作极小值是极小值点极值的性在函数的整个的定义域内最大或最小函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值函数的极值点一定出现在区间的必备欢迎下载判别是极大极小值的方法若满足且在的两侧的导数异号则是的极值点是极值并且如果在两侧满足左正右负则是的极大值点是极大值如果在两侧满足左负右正则是
8、的极小值点是极小值求函数的极值的步骤确定函数的定义学习必备 欢迎下载 第 4 页 用导数的方法求最值特别提醒：求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数 fx在a，b 内的全部极值，只能在 f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出 f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；当 f（x）为连续函数且在a，b 上
9、单调时，其最大值、最小值在端点处取得。生活中的优化问题：生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，不少优化问题可以化为求函数最值问题导数方法是解这类问题的有效工具 用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：(1)在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题极大值一般地设函数在点附近有定义如果对附近的所有的点都有就说是函数的一个极大值记作极大值是极大值点极小值一般地设函数在附近有定义如果对附近的所有的点都有就说是函数的一个极小值记作极小值是极小值点极值的性在函数的整个的定义
10、域内最大或最小函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值函数的极值点一定出现在区间的必备欢迎下载判别是极大极小值的方法若满足且在的两侧的导数异号则是的极值点是极值并且如果在两侧满足左正右负则是的极大值点是极大值如果在两侧满足左负右正则是的极小值点是极小值求函数的极值的步骤确定函数的定义学习必备 欢迎下载 第 5 页 的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f（x)=0 的情形如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）
11、值；(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间 利用导数解决生活中的优化问题：(1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中(2)利用导数求 f(x)在闭区间a,时间管理，b 上的最大值和最小值的步骤，求函数 y=f(x)在（a，b）上的极值；将函数 y=f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 (3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点
12、，该极值点必为最值点 极大值一般地设函数在点附近有定义如果对附近的所有的点都有就说是函数的一个极大值记作极大值是极大值点极小值一般地设函数在附近有定义如果对附近的所有的点都有就说是函数的一个极小值记作极小值是极小值点极值的性在函数的整个的定义域内最大或最小函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值函数的极值点一定出现在区间的必备欢迎下载判别是极大极小值的方法若满足且在的两侧的导数异号则是的极值点是极值并且如果在两侧满足左正右负则是的极大值点是极大值如果在两侧满足左负右正则是的极小值点是极小值求函数的极值的步骤确定函数的定义