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1、 高三数学专题复习 函数的零点与导数的应用关系 21、（本题满分 14 分）已知函数1()ln,()f xaxaRx其中（1）设()(),h xf xx讨论()h x的单调性。（2）若函数()f x有唯一的零点，求a取值范围。21解：（1）1()lnh xaxxx，定义域为(0,)1 分 22211()1aaxxh xxxx 2 分 令22()1,4g xxaxa 当0，即22a 时()0g x，()0h x 此 时()h x在(0,)上单 调递增。4 分 当0即2a 或2a 时，由()0g x 得2142aax，2242aax 5 分 若2a 则10 x 又1210 x x 所以20 x 故
2、()0h x 在(0,)上恒成立 所以()h x在(0,)单调递增6 分 若2a 则20 x 又1210 x x 所以20 x 此时当1(0,)xx时()0h x；当12(,)xx x时()0h x 当2(,)xx时()0h x 故()h x在1(0,)x，2(,)x 上单调递增，在12(,)x x单调递减7 分 综上，当2a 时()h x在(0,)上单调递增 当2a 时()h x在1(0,)x，2(,)x 单调递增，在12(,)x x单调递减8 分（2）方法 1：问题等价于1lnaxx有唯一实根 显然0a 则关于x的方程1lnxxa有唯一实根10 分 构造函数()lnxxx，则()1lnxx 由0ln1x，得ex1 当ex10时，0)(x，)(x单调递减，当ex1时，)(,0)(xx单调递增，取值范围解定义域为分分令当即时此时在上单调递增分当即或时由得分若则又所以故在上恒成立所以在单调递增分若则又所以此时当时当时当时故在上单调递增在单调递减分综上当时在上单调递增当时在单调递增在单调递减分方法