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1、学习必备 欢迎下载 第 1 页 高考数学知识点汇总函数的奇偶性与周期性 高考数学知识点汇总函数的奇偶性与周期性 知识要点：一、函数的奇偶性 1.定义：对于函数 f(x)，如果对于定义域内任意一个 x，都有 f(-x)=-f(x)，那么 f(x)为奇函数;对于函数 f(x)，如果对于定义域内任意一个 x，都有f(-x)=f(x)，那么 f(x)为偶函数;2.性质：(1)函数依据奇偶性分类可分为：奇函数非偶函数，偶函数非奇函数，既奇且偶函数，非奇非偶函数;(2)f(x),g(x)的定义域为 D;(3)图象特点：奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于原点对称;(4)定义域关于原点对称是函数具有奇
2、偶性的必要不充分条件，奇函数 f(x)在原点处有定义，则有 f(0)=0;(5)任意一个定义域关于原点对称的函数 f(x)总可以表示为一个奇函数与偶函数的和的形式：f(x)=g(x)+h(x)，其中g(x)=-f(x)+f(-x)为偶函数，h(x)=-f(x)-f(-x)为奇函数;(6)奇函数在关于原点对称的区间具有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间具有相反的单调性。学习必备 欢迎下载 第 2 页 3.判断方法：(1)定义法(2)等价形式：f(-x)+f(x)=0，f(x)为奇函数;f(-x)-f(x)=0,f(x)为偶函数。4.拓展延伸：(1)一般地，对于函数 y=f(x)，定义域内每
3、一个自变量 x，都有 f(a+x)=2b-f(a-x)，则 y=f(x)的图象关于点(a,b)成中心对称;(2)一般地，对于函数 y=f(x)，定义域内每一个自变量 x 都有 f(a+x)=f(a-x)，则它的图象关于 x=a 成轴对称。二、周期性：1.定义：对于函数 y=f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当自变量 x 取定义域内的每一个值时，都有 f(x)=f(x+T)成立，那么就称函数 y=f(x)为周期函数。2.图象特点：将函数 y=f(x)的图象向左(右)平移的整数倍个单位，所得的函数图象与函数 y=f(x)的图象重合。3.函数图象的对称性与周期性的关系：(1)若对于函数 y=f
4、(x)定义域内任意一个 x 都有f(a+x)=f(a-x)且 f(b+x)=f(b-x)，(a、b 不相等的常数)则函数为周期函数。(周期为：2|a-b|)(2)若对于函数 y=f(x)定义域内任意一个 x 都有点一函数的奇偶性定义对于函数如果对于定义域内任意一个都有那么为奇函数对于函数如果对于定义域内任意一个都有那么为偶函数性质函数依据奇偶性分类可分为奇函数非偶函数偶函数非奇函数既奇且偶函数非奇非偶函数的定义要不充分条件奇函数在原点处有定义则有任意一个定义域关于原点对称的函数总可以表示为一个奇函数与偶函数的和的形式其中为偶函数为奇函数奇函数在关于原点对称的区间具有相同的单调性偶函数在关于原点
5、对称的区间具有相每一个自变量都有则的图象关于点成中心对称一般地对于函数定义域内每一个自变量都有则它的图象关于成轴对称二周期性定义对于函数如果存在一个非零常数使得当自变量取定义域内的每一个值时都有成立那么就称函数为周期函学习必备 欢迎下载 第 3 页 f(a+x)=-f(a-x)且 f(b+x)=-f(b-x)，(a、b 不相等的常数)则函数为周期函数。(周期为：2|a-b|)(3)若对于函数 y=f(x)定义域内任意一个 x 都有f(a+x)=-f(a-x)且 f(b+x)=f(b-x)，(a、b 不相等的常数)则函数为周期函数。(周期为：4|a-b|)典型例题 例 1：判断下列函数的奇偶性：
6、(1)f(x)=(x-1)解：函数的定义域为 xx|-11 函数 f(x)=(x-1)为 f(x)非奇非偶函数(2)f(x)=loga(-x+-)解：xR f(-x)=loga(x+-=loga-=-loga(-x+-)=-f(x)f(x)为奇函数(3)f(x)=x(-+-)解：xxR|x0 f(-x)-f(x)=-x(-+-)-x(-+-)=-x(-+-+1)=0 f(x)为偶函数(4)f(x)=-点一函数的奇偶性定义对于函数如果对于定义域内任意一个都有那么为奇函数对于函数如果对于定义域内任意一个都有那么为偶函数性质函数依据奇偶性分类可分为奇函数非偶函数偶函数非奇函数既奇且偶函数非奇非偶函数
7、的定义要不充分条件奇函数在原点处有定义则有任意一个定义域关于原点对称的函数总可以表示为一个奇函数与偶函数的和的形式其中为偶函数为奇函数奇函数在关于原点对称的区间具有相同的单调性偶函数在关于原点对称的区间具有相每一个自变量都有则的图象关于点成中心对称一般地对于函数定义域内每一个自变量都有则它的图象关于成轴对称二周期性定义对于函数如果存在一个非零常数使得当自变量取定义域内的每一个值时都有成立那么就称函数为周期函学习必备 欢迎下载 第 4 页 解：1+cosx+sinx0 sin(x+-)-，xx|x2k-且 x2k-，kR 定义域不关于原点对称，f(x)为非奇非偶函数 说明：1.判断函数的奇偶性首
8、先要检验定义域是否关于原点对称。特别应注意，求解定义域时，不能化简解析式后再求解。2.在判断是否有 f(-x)=-f(x)或 f(-x)=f(x)成立时，必要时可使用等价变形形式：f(-x)f(x)=0 例 2：(1)已知：f(x)是奇函数，且 x0 时 f(x)=x|x-2|求 x0 的解析式 解：设 x0,则-x0 说明：1.利用函数的奇偶性求解析式，要将自变量 x 设在所求的范围内。2.转化带入利用定义构造方程。(2)定义在 R上的奇函数 f(x)且满足 f(3+x)=f(3-x)，若x(0,3),f(x)=2x 求：当 x(-6,-3)时，f(x)的解析式。解：x(-6,-3)-x(3
9、,6),6-(-x)(0,3)f(x)=-2x+6 说明：1.合理分解题意是关键。2.此题还可以应用周期性进行求解。例 3：已知：函数 f(x)的定义域为 R，且满足 f(x+2)=-f(x)点一函数的奇偶性定义对于函数如果对于定义域内任意一个都有那么为奇函数对于函数如果对于定义域内任意一个都有那么为偶函数性质函数依据奇偶性分类可分为奇函数非偶函数偶函数非奇函数既奇且偶函数非奇非偶函数的定义要不充分条件奇函数在原点处有定义则有任意一个定义域关于原点对称的函数总可以表示为一个奇函数与偶函数的和的形式其中为偶函数为奇函数奇函数在关于原点对称的区间具有相同的单调性偶函数在关于原点对称的区间具有相每一
10、个自变量都有则的图象关于点成中心对称一般地对于函数定义域内每一个自变量都有则它的图象关于成轴对称二周期性定义对于函数如果存在一个非零常数使得当自变量取定义域内的每一个值时都有成立那么就称函数为周期函学习必备 欢迎下载 第 5 页(1)求证：f(x)为周期函数;(2)若 f(x)为奇函数，且当 01 时，f(x)=-x，求使得 f(x)=-的所有 x。(1)解：-f(x)=f(x+4)f(x)为周期是 4 的周期函数。(2)解：x-1,0,-x0,1 f(x)=-x,x-1,0 f(x)=-x,x-1,1 x(1,3),-1 f(x)=-(x-2),x1,3 x-1,3),f(x)=-,x=-1
11、 x=4n-1,nZ 点一函数的奇偶性定义对于函数如果对于定义域内任意一个都有那么为奇函数对于函数如果对于定义域内任意一个都有那么为偶函数性质函数依据奇偶性分类可分为奇函数非偶函数偶函数非奇函数既奇且偶函数非奇非偶函数的定义要不充分条件奇函数在原点处有定义则有任意一个定义域关于原点对称的函数总可以表示为一个奇函数与偶函数的和的形式其中为偶函数为奇函数奇函数在关于原点对称的区间具有相同的单调性偶函数在关于原点对称的区间具有相每一个自变量都有则的图象关于点成中心对称一般地对于函数定义域内每一个自变量都有则它的图象关于成轴对称二周期性定义对于函数如果存在一个非零常数使得当自变量取定义域内的每一个值时都有成立那么就称函数为周期函