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1、2007年2010年新课标高考数学（理科）试题分类精编 函数 一、选择题 1（2010年全国）设偶函数()f x满足3()8(0)f xxx，则|(2)0 x f x(B)(A)|24x xx 或(B)|04x xx或(C)|06x xx或(D)|22x xx 或 2（2010 年全国）已知函数|lg|,010,()16,10.2xxf xxx 若,a b c互不相等,且()()(),f af bf c则abc的取值范围是(C)(A)(1,10)(B)(5,6)(C)(10,12)(D)(20,24)3.(2010 年陕西).已知函数221,1(),1xxf xxax x，若(0)ff4a，则
2、实数 a(C)（A）12 （B）45 (C)2 (D)9 4(2010 年天津)函数()23xf xx的零点所在的一个区间是(B)（A）（2，1）（B）（1，0）（C）（0，1）（D）（1，2）5（2010年天津）设函数 f（x）212loglogxx 0,0 xx 若 f(a)f(a),则实数 a 的取值范围是(C)（A）（1，0）（0，1）（B）（，1）（1,+）（C）（1，0）（1,+）（D）（，1）（0,1）6.(2010 年福建)函数223,0()ln2,0 xxxf xxx 的零点个数为(C)A.0 B.1 C.2 D.3 7.(2010 年福建)对于具有相同定义域 D 的函数()
3、f x和()g x,若存在函数()h xkxb,(k,b 为常数),对任给的正数 m,存在相应的0 xD,使得当xD且0 xx时,总有 0()()0()()mf xh xmh xg x,则称直线 l:ykxb为曲线()yf x和()yg x的“分渐近线”.给出定义域均为|1Dx x的四组函数如下:2()f xx,()g xx;()102xf x,23()xg xx;21()xf xx,ln1()lnxxg xx;22()1xf xx,()2(1)xg xxe.其中,曲线()yf x和()yg x存在“分渐近线”的是(C)A.B.C.D.8.(2010年湖南)用min,a b表示a,b两数中的最
4、小值,若函数()min|,|f xxxt的图像关于直线 x12对称，则 t 的值为（D）A.2 B.2 C.1 D.1 9.(2010 年广东)若函数 f（x）3x+3x与 g（x）3x3x的定义域均为 R，则（D）Af（x）与 g（x）均为偶函数 B.f（x）为偶函数，g（x）为奇函数 Cf（x）与 g（x）均为奇函数 D.f（x）为奇函数，g（x）为偶函数 10（2010年山东）设 f(x)为定义在 R上的奇函数，当 x0 时，f(x)2x+2x+b(b 为常数)，则 f(1)（D）(A)3 (B)1 (C)1 (D)3【命题意图】本题考查函数的基本性质,熟练函数的基础知识是解答好本题的关
5、键.11.(2010 年山东)函数y2x 2x的图像大致是（A）12.(2010 年安徽)若 f x是 R上周期为 5 的奇函数，且满足 11,22ff，则 34ff（A）A、1 B、1 C、2 D、2 且则的取值范围是年陕西已知函数若则实数年天津函数的零点所在的一个区间是年天津设函数若则实数的取值范围是年福建函数的零点个数为年福建对于具有相同定义域的函数和若存在函数为常数对任给的正数存在相应的使得当且两数中的最小值若函数的图像关于直线对称则的值为年广东若函数与的定义域均为则与均为偶函数为偶函数为奇函数与均为奇函数为奇函数为偶函数年山东设为定义在上的奇函数当时为常数则命题意图本题考查函数的基本
6、性质熟练次函数的图象可能是年浙江设函数则在下列区间中函数不存在零点的是年浙江设函数的集合平面上点的集合则在同一直角坐标系中中函数的图象恰好经过中两个点的函数的个数是年上海若是方程的解则属于区间年陕西定义在上的偶13.(2010 年安徽)设0abc，二次函数 2f xaxbxc 的图象可能是（D）14（2010年浙江）设函数()4sin(21)f xxx，则在下列区间中函数()f x不存在零点 的是（A）（A）4,2 （B）2,0 （C）0,2 （D）2,4 15（2010年浙江）设函数的集合211()log(),0,1;1,0,122Pf xxab ab ,平面上点的集合11(,),0,1;1
7、,0,122Qx y xy ，则在同一直角坐标系中，P中函数()f x的图象恰好经过Q中两个点的函数的个数是（B）（A）4 （B）6 （C）8 （D）10 16.(2010 年上海)若0 x是方程131()2xx的解，则0 x属于区间（C）(A)(23,1)(B)(12,23)(C)(13,12)(D)(0,13)17.(2009 年陕西)定义在 R上的偶函数()f x满足：对任意的1212,(,0()x xxx,有2121()()()0 xxf xf x.则当*nN时,有（C）(A)()(1)(1)fnf nf n (B)(1)()(1)f nfnf n (C)(1)()(1)f nfnf
8、n (D)(1)(1)()f nf nfn 18.（2009 年海南）用 min a,b,c表示 a,b,c 三个数中的最小值（C）设 f（x）min2x,x+2,10 x (x 0),则 f（x）的最大值为（A）4 （B）5 （C）6 （D）7 且则的取值范围是年陕西已知函数若则实数年天津函数的零点所在的一个区间是年天津设函数若则实数的取值范围是年福建函数的零点个数为年福建对于具有相同定义域的函数和若存在函数为常数对任给的正数存在相应的使得当且两数中的最小值若函数的图像关于直线对称则的值为年广东若函数与的定义域均为则与均为偶函数为偶函数为奇函数与均为奇函数为奇函数为偶函数年山东设为定义在上的
9、奇函数当时为常数则命题意图本题考查函数的基本性质熟练次函数的图象可能是年浙江设函数则在下列区间中函数不存在零点的是年浙江设函数的集合平面上点的集合则在同一直角坐标系中中函数的图象恰好经过中两个点的函数的个数是年上海若是方程的解则属于区间年陕西定义在上的偶19.(2009 年山东理 6)函数xxxxeeyee的图像大致为(A)20.(2009 年山东)定义在 R上的函数 f(x)满足 f(x)0),2()1(0),1(log2xxfxfxx,则 f（2009）的值为(C )A.1 B.0 C.1 D.2 21.(2009 年广东)已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶
10、甲车、乙车的速度曲线分别为 v甲和 v乙（如图所示）那么对于图中给定的01tt和，下列判断中一定正确的是(A )A.在1t时刻，甲车在乙车前面 B.1t时刻后，甲车在乙车后面 C.在0t时刻，两车的位置相同 D.0t时刻后，乙车在甲车前面 22.(2009 年天津）已知函数0,40,4)(22xxxxxxxf若2(2)(),faf a则实数a的取值范围是(C )A.(,1)(2,)B.(1,2)C.(2,1)D.(,2)(1,)23.（2009年安徽）设 a b,函数2()()yxaxb的图像可能是(C )O 1x y 1O A xyO11B xyO 1 1 C x y 1 1 D 且则的取值
11、范围是年陕西已知函数若则实数年天津函数的零点所在的一个区间是年天津设函数若则实数的取值范围是年福建函数的零点个数为年福建对于具有相同定义域的函数和若存在函数为常数对任给的正数存在相应的使得当且两数中的最小值若函数的图像关于直线对称则的值为年广东若函数与的定义域均为则与均为偶函数为偶函数为奇函数与均为奇函数为奇函数为偶函数年山东设为定义在上的奇函数当时为常数则命题意图本题考查函数的基本性质熟练次函数的图象可能是年浙江设函数则在下列区间中函数不存在零点的是年浙江设函数的集合平面上点的集合则在同一直角坐标系中中函数的图象恰好经过中两个点的函数的个数是年上海若是方程的解则属于区间年陕西定义在上的偶 2
12、4.(2009 年福建)下列函数()f x中,满足对任意1x,2x（0，）,当1x2x时,都 有1()f x2()f x的是(A )A()f x1x B.()f x2(1)x C.()f xxe D()ln(1)f xx 25.(2009 年福建理)函数2()(0)f xaxbxc a的图象关于直线2bxa 对称,据此可 推测，对任意的非零实数 a,b,c,m,n,p，关于 x 的方程 2()()0m f xnf xp 的解集都不 可能是(D )A.1,2 B 1,4 C 1,2,3,4 D 1,4,16,64 26.（2009年辽宁)已知偶函数()f x在区间0,+)上单调增加，则1(21)
13、()3fxf 的 x 取值范围是(A )1 2()(,)3 3A 1 2(),)3 3B 1 2()(,)2 3C 1 2(),)2 3D 27.（2009年辽宁)若1x满足225xx，2x满足222log(1)5xx，则1x+2x(A)5()2A ()3B 7()2C ()4D 解析：252xx，22log(1)52xx ，即1522xx，25log(1)2xx ，作出152,2xyyx，2log(1)yx的图像（如图），12xy与2log(1)yx的图像关于1yx 对称，它们与52yx 的交点 A、B的中点为52yx 与 1yx 的交点 C，12724Cxxx，1x+2x72.28（200
14、9年浙江）对于正实数，记M为满足下述条件的函数()f x构成的集合：x1,x2 R 2xOy131252yx 12xy2x1x2log(1)yx1yx A3CB且则的取值范围是年陕西已知函数若则实数年天津函数的零点所在的一个区间是年天津设函数若则实数的取值范围是年福建函数的零点个数为年福建对于具有相同定义域的函数和若存在函数为常数对任给的正数存在相应的使得当且两数中的最小值若函数的图像关于直线对称则的值为年广东若函数与的定义域均为则与均为偶函数为偶函数为奇函数与均为奇函数为奇函数为偶函数年山东设为定义在上的奇函数当时为常数则命题意图本题考查函数的基本性质熟练次函数的图象可能是年浙江设函数则在下
15、列区间中函数不存在零点的是年浙江设函数的集合平面上点的集合则在同一直角坐标系中中函数的图象恰好经过中两个点的函数的个数是年上海若是方程的解则属于区间年陕西定义在上的偶 且21xx，有212121()()()()xxf xf xxx下列结论中正确的是(C)A若1()f xM，2()g xM，则12()()f xg xM B若1()f xM，2()g xM，且()0g x，则12()()f xMg x C若1()f xM，2()g xM，则12()()f xg xM D若1()f xM，2()g xM，且12，则12()()f xg xM 【解析】对于212121()()()()xxf xf xx
16、x，即有2121()()f xf xxx，令2121()()f xf xkxx，有k ，不妨设1()f xM，2()g xM，即有11,fk 22gk，因此有1212fgkk ，因此有12()()f xg xM 29.(2009 年山东)函数lncos22yxx 的图象是（A）30.(2009 年山东)设函数()1f xxx a 的图象关于直线1x 对称，则a的值为（A）A3 B2 C1 D1 31.(2007 年山东)设11,1,32，则使函数yx的定义域为 R且为奇函数的 所有值为（A）（A）1,3（B）1,1（C）1,3 （D）1,1,3 32.(2007 年山东)给出下列三个等式()(
17、)()f xyf xf y,()()()f xyf x f y,()()()1()()f xf yf xyf x f y，下列函数中不满足其中任何一个等式的是（B）（A）()3xf x （B）()sinf xx（C）2()logf xx （D）()tanf xx 33（2007年广东）客车从甲地以 60km/h 的速度行驶 1 小时到达乙地,在乙地停留了半小时，然后以 80km/h 的速度行驶 1 小时到达丙地,下列描述客车从甲地出发,经过乙地,最后到达丙地所经过的路程 s 与时间 t 之间的关系图象中,正确的是（C）y x 2 2 O y x 2 2 O y x 2 2 O y x 2 2
18、O A B C D 且则的取值范围是年陕西已知函数若则实数年天津函数的零点所在的一个区间是年天津设函数若则实数的取值范围是年福建函数的零点个数为年福建对于具有相同定义域的函数和若存在函数为常数对任给的正数存在相应的使得当且两数中的最小值若函数的图像关于直线对称则的值为年广东若函数与的定义域均为则与均为偶函数为偶函数为奇函数与均为奇函数为奇函数为偶函数年山东设为定义在上的奇函数当时为常数则命题意图本题考查函数的基本性质熟练次函数的图象可能是年浙江设函数则在下列区间中函数不存在零点的是年浙江设函数的集合平面上点的集合则在同一直角坐标系中中函数的图象恰好经过中两个点的函数的个数是年上海若是方程的解则
19、属于区间年陕西定义在上的偶 二、填空题 1.(2010 年广东)函数()f xlg(x2)的定义域是 .(1,+)2.(2010 年江苏)已知函数21,0()1,0 xxf xx,则满足不等式2(1)(2)fxfx的 x 的 范围是_.(1,21)3(2010 年江苏)将边长为 1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一 块是梯形，记2(S 梯形的周长）梯形的面积,则 S 的最小值是_.32 33 4（2010年天津）函数2()1f xx,3,)2x,2()4()(1)4()xfm f xf xf mm 恒成立，则实数 m 的取值范围是 .33(,)22 5(2010 年福建理
20、)已知定义域为0 （，）的函数()f x满足：对任意0,x,恒有(2)2()fxf x成立；当1,2x时，()2f xx,给出如下结论：对任意mZ，有(2)0mf;函数()f x的值域为0 ，）;存在nZ，使得(21)9nf;“函数()f x在区间(,)a b上单调递减”的充要条件是“存在Zk，使得1(,)(2,2)kka b”其中所有正确结论的序号是 .【解析】10)2(2)2(2)22()2(111ffffmmmm，正确；且则的取值范围是年陕西已知函数若则实数年天津函数的零点所在的一个区间是年天津设函数若则实数的取值范围是年福建函数的零点个数为年福建对于具有相同定义域的函数和若存在函数为常
21、数对任给的正数存在相应的使得当且两数中的最小值若函数的图像关于直线对称则的值为年广东若函数与的定义域均为则与均为偶函数为偶函数为奇函数与均为奇函数为奇函数为偶函数年山东设为定义在上的奇函数当时为常数则命题意图本题考查函数的基本性质熟练次函数的图象可能是年浙江设函数则在下列区间中函数不存在零点的是年浙江设函数的集合平面上点的集合则在同一直角坐标系中中函数的图象恰好经过中两个点的函数的个数是年上海若是方程的解则属于区间年陕西定义在上的偶2 当2,2(1mmx，即 2,1(2mx;从而mmxxf22)2(,xxfxfxfmmm 12)2(2)2(2)(,其中,2,1,0m,从而),0)(xf,正确;
22、3122)12(1nmnf，假设存在n使9)12(nf，即存在.,21tsxx102221xx，又x2变化如下：2,4,8,16,32,显然不存在,所以该命题错误；4 根据前面的分析容易知道该选项正确；综合有正确的序号是124.6(2010 年江苏)设函数 f(x)x(ex+aex)(xR)是偶函数，则实数 a _.1 7(2009 年江苏)已知512a，函数()xf xa，若实数m、n满足()()f mf n，则m、n的大小关系为 .m n 8.(2009 年山东)若函数 f(x)axxa(a0 且 a1)有两个零点，则实数 a 的取值范围 是 .1a 9.(2009 年山东)已知定义在 R
23、上的奇函数)(xf,满足(4)()f xf x ,且在区间0,2 上是增函数,若方程 f(x)m(m0)在区间 8,8上有四个不同的根1234,x xx x,则 1234_.xxxx 8 10（2009年浙江）某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价该地区 的电网销售电价表如下：高峰时间段用电价格表 低谷时间段用电价格表 高峰月用电量（单位：千瓦时）高峰电价（单位：元/千瓦时）低谷月用电量（单位：千瓦时）低谷电价（单位：元/千瓦时）50 及以下的部分 0.568 50 及以下的部分 0.288 超过50至200的部分 0.598 超过 50 至 200 的部分 0.318 超过
24、200 的部分 0.668 超过 200 的部分 0.388 若某家庭 5 月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为 元（用数字作答）148.4 11.(2008 年上海)设函数 f(x)是定义在 R上的奇函数，若当 x(0,+)时，f(x)lgx，则 满足 f(x)0 的 x 的取值范围是 .(1,0)(1,)U 12.(2008 年上海)方程 x2+2x10 的解可视为函数 yx+2的图像与函数 y1x 的图 像交点的横坐标，若 x4+ax40 的各个实根 x1,x2,xk(k4)所对应的点(xi,4xi)（i1,2,k）
25、均在直线 yx 的同侧，则实数 a 的取值范围是 .(,6)(6,)U 且则的取值范围是年陕西已知函数若则实数年天津函数的零点所在的一个区间是年天津设函数若则实数的取值范围是年福建函数的零点个数为年福建对于具有相同定义域的函数和若存在函数为常数对任给的正数存在相应的使得当且两数中的最小值若函数的图像关于直线对称则的值为年广东若函数与的定义域均为则与均为偶函数为偶函数为奇函数与均为奇函数为奇函数为偶函数年山东设为定义在上的奇函数当时为常数则命题意图本题考查函数的基本性质熟练次函数的图象可能是年浙江设函数则在下列区间中函数不存在零点的是年浙江设函数的集合平面上点的集合则在同一直角坐标系中中函数的图
26、象恰好经过中两个点的函数的个数是年上海若是方程的解则属于区间年陕西定义在上的偶13.(2007 年海南)设函数(1)()()xxaf xx为奇函数，则a 1 14.(2007 年山东)函数log(3)1(0,1)ayxaa 的图象恒过定点A,若点A在直线 10mxny 上,其中0mn,则12mn的最小值为_.8 三、解答题 1.(2009 年上海)已知02x,化简：2lg(costan12sin)lg2cos()lg(1sin 2)24xxxxx.解析:原式0 2.(2009 年江苏)设a为实数,函数2()2()|f xxxaxa.(1)若(0)1f,求a的取值范围；(2)求()f x的最小值
27、；(3)设函数()(),(,)h xf x xa,直接写出(不需给出步骤)不等式()1h x 的解集.解析:（1）若(0)1f，则20|111aa aaa （2）当xa时，22()32,f xxaxa22min(),02,0()2(),0,033f a aaaf xaafaa 当xa时,22()2,f xxaxa2min2(),02,0()(),02,0fa aaaf xf a aaa 综上22min2,0()2,03aaf xaa （3）(,)xa时，()1h x 得223210 xaxa，222412(1)128aaa 当6622aa 或时，0,(,)xa；当6622a 时，0,得：223
28、232()()033aaaaxxxa 讨论得：当26(,)22a 时，解集为(,)a;当62(,)22a 时，解集为223232(,)33aaaaa;且则的取值范围是年陕西已知函数若则实数年天津函数的零点所在的一个区间是年天津设函数若则实数的取值范围是年福建函数的零点个数为年福建对于具有相同定义域的函数和若存在函数为常数对任给的正数存在相应的使得当且两数中的最小值若函数的图像关于直线对称则的值为年广东若函数与的定义域均为则与均为偶函数为偶函数为奇函数与均为奇函数为奇函数为偶函数年山东设为定义在上的奇函数当时为常数则命题意图本题考查函数的基本性质熟练次函数的图象可能是年浙江设函数则在下列区间中函
29、数不存在零点的是年浙江设函数的集合平面上点的集合则在同一直角坐标系中中函数的图象恰好经过中两个点的函数的个数是年上海若是方程的解则属于区间年陕西定义在上的偶当22,22a 时，解集为232,)3aa.3.（2009年山东）两县城 A和 B 相距 20km，现计划在两县城外以 AB为直径的半圆弧AB上选择一点 C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城 A和城 B 的总影响度为城 A与城 B 的影响度之和，记 C 点到城 A的距离为 x km，建在 C 处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度为 y,统计调查表明：垃圾处理厂对城 A 的影响度与所选地点到城 A 的
30、距离的平方成反比，比例系数为 4；对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成反比，比例系数为 k,当垃圾处理厂建在AB的中点时，对城 A 和城 B 的总影响度为 0.065.（1）将 y 表示成 x 的函数；（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧AB上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度最小?若存在，求出该点到城 A的距离;若不存在，说明理由.解法一:（1）如图,由题意知 ACBC,22400BCx,224(020)400kyxxx 其中当10 2x 时，y0.065,所以 k9 所以 y 表示成 x 的函数为2249(020)400yxxx （2）
31、2249400yxx,42232232289(2)188(400)(400)(400)xxxyxxxx,令0y 得422188(400)xx,所以2160 x,即4 10 x,当04 10 x 时,422188(400)xx,即0y 所以函数为单调减函数,当4 620 x 时,422188(400)xx,即0y 所以函数为单调增函数.所以当4 10 x 时,即当 C 点到城 A的距离为4 10时,函数 2249(020)400yxxx 有最小值.解法二:（1）同上.（2）设22,400mxnx,则400mn,49ymn,所以494914911()13()(1312)40040040016mnn
32、mymnmnmn 当且仅当 49nmmn即240160nm时取”.下面证明函数49400ymm在(0,160)上为减函数,在(160,400)上为增函数.A B C x 且则的取值范围是年陕西已知函数若则实数年天津函数的零点所在的一个区间是年天津设函数若则实数的取值范围是年福建函数的零点个数为年福建对于具有相同定义域的函数和若存在函数为常数对任给的正数存在相应的使得当且两数中的最小值若函数的图像关于直线对称则的值为年广东若函数与的定义域均为则与均为偶函数为偶函数为奇函数与均为奇函数为奇函数为偶函数年山东设为定义在上的奇函数当时为常数则命题意图本题考查函数的基本性质熟练次函数的图象可能是年浙江设
33、函数则在下列区间中函数不存在零点的是年浙江设函数的集合平面上点的集合则在同一直角坐标系中中函数的图象恰好经过中两个点的函数的个数是年上海若是方程的解则属于区间年陕西定义在上的偶设 0m1m2160,则1211224949()400400yymmmm 12124499()()400400mmmm211212124()9()(400)(400)mmmmm mmm 21121249()(400)(400)mmm mmm12122112124(400)(400)9()(400)(400)mmm mmmm mmm,因为 0m1m2160,所以 412(400)(400)mm4240240,9 m1m29
34、160160,所以121212124(400)(400)90(400)(400)mmm mm mmm,所以12122112124(400)(400)9()0(400)(400)mmm mmmm mmm即12yy,函数49400ymm在(0,160)上为减函数.同理,函数49400ymm在(160,400)上为增函数,设 160m1m2400,则1211224949()400400yymmmm12122112124(400)(400)9()(400)(400)mmm mmmm mmm 因为 160m1m2400,所以 412(400)(400)mm4240240,9m1m29160160,所以1
35、21212124(400)(400)90(400)(400)mmm mm mmm,所以12122112124(400)(400)9()0(400)(400)mmm mmmm mmm即12yy 函数49400ymm在(160,400)上为增函数.所以当 m160 即4 10 x 时取”,函数 y 有最小值,所以弧AB上存在一点，当4 10 x 时使建在此处的垃圾处理厂对城 A和城 B 的总影响度最小.4.(2009 年上海)有时可用函数0.1 15ln,(6)()4.4,(6)4axaxf xxxx;描述学习某学科知识的 且则的取值范围是年陕西已知函数若则实数年天津函数的零点所在的一个区间是年天
36、津设函数若则实数的取值范围是年福建函数的零点个数为年福建对于具有相同定义域的函数和若存在函数为常数对任给的正数存在相应的使得当且两数中的最小值若函数的图像关于直线对称则的值为年广东若函数与的定义域均为则与均为偶函数为偶函数为奇函数与均为奇函数为奇函数为偶函数年山东设为定义在上的奇函数当时为常数则命题意图本题考查函数的基本性质熟练次函数的图象可能是年浙江设函数则在下列区间中函数不存在零点的是年浙江设函数的集合平面上点的集合则在同一直角坐标系中中函数的图象恰好经过中两个点的函数的个数是年上海若是方程的解则属于区间年陕西定义在上的偶O y x(a,f(a)(b,f(b)图 1 掌握程度，其中 x 表
37、示某学科知识的学习次数（*xN），()f x表示对该学科知识的掌握 程度，正实数 a 与学科知识有关.证明：(1)当 x 7 时，掌握程度的增加量 f(x+1)f(x)总是下降；(2)根据经验，学科甲、乙、丙对应的 a 的取值区间分别为(115,121,(121,127,(121,133;当学习某学科知识 6 次时，掌握程度是 85%，请确定相应的学科.5.(2008 年江苏)已知函数11()3x pf x，22()2 3x pfx（12,xR pp为常数）函数()f x定义为：对每个给定的实数x，112212(),()()()(),()()fxfxfxfxfxfxfx若若（1）求1()()f
38、 xf x对所有实数x成立的充分必要条件（用12,pp表示）；（2）设,a b是两个实数，满足ab，且12,(,)p pa b若()()f af b，求证：函数()f x在区间,a b上的单调增区间的长度之和为2ba（闭区间,m n的长度定义为nm）解：（1）由()f x的定义可知，1()()f xf x（对所有实数x）等价于 12fxfx（对所有实数x）这又等价于1232 3xpxp g，即 123log 2332x px p 对所有实数x均成立.（*）由于121212()()()xpxpxpxpppxR 的最大值为12pp，故（*）等价于1232pp，即123log 2pp，这就是所求的充
39、分必要条件（2）分两种情形讨论 （i）当1232pplog时，由（1）知1()()f xf x（对所有实数,xa b）则由 f afb及1apb易知12abp，再由111113,()3,pxxpxpf xxp的单调性可知，函数()f x在区间,a b上的单调增区间的长度 为22abbab（参见示意图 1）（ii）1232pplog时，不妨设12,pp，则213log 2pp，于是 当1xp时，有1212()33()pxpxf xfx，从而1()()f xf x；且则的取值范围是年陕西已知函数若则实数年天津函数的零点所在的一个区间是年天津设函数若则实数的取值范围是年福建函数的零点个数为年福建对于
40、具有相同定义域的函数和若存在函数为常数对任给的正数存在相应的使得当且两数中的最小值若函数的图像关于直线对称则的值为年广东若函数与的定义域均为则与均为偶函数为偶函数为奇函数与均为奇函数为奇函数为偶函数年山东设为定义在上的奇函数当时为常数则命题意图本题考查函数的基本性质熟练次函数的图象可能是年浙江设函数则在下列区间中函数不存在零点的是年浙江设函数的集合平面上点的集合则在同一直角坐标系中中函数的图象恰好经过中两个点的函数的个数是年上海若是方程的解则属于区间年陕西定义在上的偶O y x(a,f(a)(b,f(b)(x0,y0)(p2,2)(p1,1)图 2 当2xp时，有312122122log 21
41、2()333333()xpppxpppxpxpf xfx gg 从而 2()()f xfx；当12pxp 时，11()3xpf x，及22()2 3pxfx，由方程1232 3xppx 解得12()()f xfx与图象交点的横坐标为 12031log 222ppx 显然10221321()log 22pxpppp，这表明0 x在1p与2p之间.由易知 101022(),()(),pxxf xf xxxpfx 综上可知，在区间,a b上，0102(),()(),axxf xf xxxbfx （参见示意图 2）故由函数1()f x及2()fx的单调性可知，()f x在区间,a b上的单调增区间的长
42、度之和为012()()xpbp，由于()()f af b，即1232 3pabp，得 123log 2ppab 故由、得 0121231()()log 222baxpbpbpp 综合（i）（ii）可知，()f x在区间,a b上的单调增区间的长度和为2ab.6.(2008 年上海)已知函数 f(x)2x12|x|若 f(x)2，求 x 的值 若 2tf(2 t)+mf(t)0 对于 t1,2 恒成立，求实数 m 的取值范围【解析】（1）当0 x 时，()0f x；当0 x 时，1()22xxf x 由条件可知1222xx，即222 210 xx g解得 212x 20log(12)xx（2）当
43、1,2t时，22112(2)(2)022tttttm 即24(21)(21)ttm ，2210t，2(21)tm 1,2t，2(21)17,5t 故m的取值范围是 5,)且则的取值范围是年陕西已知函数若则实数年天津函数的零点所在的一个区间是年天津设函数若则实数的取值范围是年福建函数的零点个数为年福建对于具有相同定义域的函数和若存在函数为常数对任给的正数存在相应的使得当且两数中的最小值若函数的图像关于直线对称则的值为年广东若函数与的定义域均为则与均为偶函数为偶函数为奇函数与均为奇函数为奇函数为偶函数年山东设为定义在上的奇函数当时为常数则命题意图本题考查函数的基本性质熟练次函数的图象可能是年浙江设函数则在下列区间中函数不存在零点的是年浙江设函数的集合平面上点的集合则在同一直角坐标系中中函数的图象恰好经过中两个点的函数的个数是年上海若是方程的解则属于区间年陕西定义在上的偶