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1、八年级数学下册复习讲义 第十六章 二次根式 知识点一：二次根式的概念【知识要点】二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中 叫被开方数，只有当 是一个非负数时，才有意义【典型例题】题型一：二次根式的判定【例 1】下列各式 1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153xaaa，其中是二次根式的是_（填序号）题型二：二次根式有意义【例 2】若式子13x有意义，则 x 的取值范围是 题型三：二次根式定义的运用【例 3】若 y=5x+x5+2009，则 x+y=.题型四：二次根式的整数与小数部分 已知 a 是5整数部分，b 是5的小数部分，求12ab的值.知识点二：二次根式的
2、性质【知识要点】1.非负性：a a()0是一个非负数 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到 2.()()aa a20 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：aaa()()20 3.aaa aa a200|()()注意：（1）字母不一定是正数 （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替 （3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外 4.公式aaa aa a200|()()与()()aa a20的区别与联系 （1）a2表示求一个数的平方的算术根，a 的范围是一切实数 （2
3、）()a2表示一个数的算术平方根的平方，a 的范围是非负数 根式其中叫被开方数只有当是一个非负数时才有意义典型例题题型一二次根式的判定例下列各式其中是二次根式的是填序号题型二二次根式有意义例若式子有意义则的取值范围是题型三二次根式定义的运用例若则题型四二次根式的此性质可作公式记住后面根式运算中经常用到注意此性质既可正用也可反用反用的意义在于可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式注意字母不一定是正数能开得尽方的因式移到根号外时必须用它的算术平方根代替的平方的算术根的范围是一切实数表示一个数的算术平方根的平方的范围是非负数和的运算结果都是非负的典型例题题型一二次根式的双重非负性例若则题
4、型二二次根式的性质公式的运用例化简的结果为题型三二次根式的性质公式 （3）a2和()a2的运算结果都是非负的【典型例题】题型一：二次根式的双重非负性【例 4】若 22340abc ，则cba 题型二：二次根式的性质 2 （公式)0()(2 aaa的运用）【例 5】化简：21(3)aa 的结果为（）A、42a B、0 C、2a4 D、4 题型三：二次根式的性质 3 （公式)0a(a)0a(aaa2的应用）【例 6】已知2x,则化简244xx的结果是（）A、2x B、2x C、2x D、2x 知识点三：最简二次根式和同类二次根式【知识要点】1、最简二次根式：（1）最简二次根式的定义：被开方数是整数
5、，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的数或因式 根式其中叫被开方数只有当是一个非负数时才有意义典型例题题型一二次根式的判定例下列各式其中是二次根式的是填序号题型二二次根式有意义例若式子有意义则的取值范围是题型三二次根式定义的运用例若则题型四二次根式的此性质可作公式记住后面根式运算中经常用到注意此性质既可正用也可反用反用的意义在于可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式注意字母不一定是正数能开得尽方的因式移到根号外时必须用它的算术平方根代替的平方的算术根的范围是一切实数表示一个数的算术平方根的平方的范围是非负数和的运算结果都是非负的典型例题题型一二次根式的双重非负性例若则题型二二次根
6、式的性质公式的运用例化简的结果为题型三二次根式的性质公式2、同类二次根式（可合并根式）：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。【典型例题】【例 7】在根式 1)222;2);3);4)275xabxxyabc，最简二次根式是（）A1)2)B3)4)C1)3)D1)4)知识点四：二次根式计算分母有理化【知识要点】1分母有理化 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化.2有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：单项二次根式：利用aaa来确定，如：
7、aa与，abab与，ba 与ba 等分别互为有理化因式。根式其中叫被开方数只有当是一个非负数时才有意义典型例题题型一二次根式的判定例下列各式其中是二次根式的是填序号题型二二次根式有意义例若式子有意义则的取值范围是题型三二次根式定义的运用例若则题型四二次根式的此性质可作公式记住后面根式运算中经常用到注意此性质既可正用也可反用反用的意义在于可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式注意字母不一定是正数能开得尽方的因式移到根号外时必须用它的算术平方根代替的平方的算术根的范围是一切实数表示一个数的算术平方根的平方的范围是非负数和的运算结果都是非负的典型例题题型一二次根式的双重非负性例若则题型二
8、二次根式的性质公式的运用例化简的结果为题型三二次根式的性质公式两项二次根式：利用平方差公式来确定。如ab与ab，abab与，axb yaxb y与分别互为有理化因式。3分母有理化的方法与步骤：先将分子、分母化成最简二次根式；将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；最后结果必须化成最简二次根式或有理式。【典型例题】【例 8】把下列各式分母有理化（1）148 （2）4 33 7 （3）11212 （4）13550【例 9】把下列各式分母有理化（1）328xx y （2）2ab （3）38xx （4）2525abba【例 10】把下列各式分母有理化：（1）221 （2）5353 （3）
9、3 33 22 3 根式其中叫被开方数只有当是一个非负数时才有意义典型例题题型一二次根式的判定例下列各式其中是二次根式的是填序号题型二二次根式有意义例若式子有意义则的取值范围是题型三二次根式定义的运用例若则题型四二次根式的此性质可作公式记住后面根式运算中经常用到注意此性质既可正用也可反用反用的意义在于可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式注意字母不一定是正数能开得尽方的因式移到根号外时必须用它的算术平方根代替的平方的算术根的范围是一切实数表示一个数的算术平方根的平方的范围是非负数和的运算结果都是非负的典型例题题型一二次根式的双重非负性例若则题型二二次根式的性质公式的运用例化简的结果
10、为题型三二次根式的性质公式 小结：一般常见的互为有理化因式有如下几类：与；与；与；与 知识点五：二次根式计算二次根式的乘除【知识要点】1积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。ab=ab（a0，b0）2二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。abab（a0，b0）3商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.ab=ab（a0，b0）4二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数根式其中叫被开方数只有当是一个非负数时才有意义典型例题题型一二次根式的判定例下列各式其中是二次根式的是填序
11、号题型二二次根式有意义例若式子有意义则的取值范围是题型三二次根式定义的运用例若则题型四二次根式的此性质可作公式记住后面根式运算中经常用到注意此性质既可正用也可反用反用的意义在于可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式注意字母不一定是正数能开得尽方的因式移到根号外时必须用它的算术平方根代替的平方的算术根的范围是一切实数表示一个数的算术平方根的平方的范围是非负数和的运算结果都是非负的典型例题题型一二次根式的双重非负性例若则题型二二次根式的性质公式的运用例化简的结果为题型三二次根式的性质公式的商的算术平方根。ab=ab（a0，b0）注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式
12、的右边变形至等式的左边，同时还要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式【典型例题】【例 11】化简 (1)9 16 (2)16 81 (3)1525 【例 12】计算（1）（2）（3）（4）知识点六：二次根式计算二次根式的加减【知识要点】需要先把二次根式化简，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。根式其中叫被开方数只有当是一个非负数时才有意义典型例题题型一二次根式的判定例下列各式其中是二次根式的是填序号题型二二次根式有意义例若式子有意义则的取值范围是题型三二次根式定义的运用例若则题型四二次根式的此性质可作公式记住后面根式运算中经常用到注意此性质既
13、可正用也可反用反用的意义在于可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式注意字母不一定是正数能开得尽方的因式移到根号外时必须用它的算术平方根代替的平方的算术根的范围是一切实数表示一个数的算术平方根的平方的范围是非负数和的运算结果都是非负的典型例题题型一二次根式的双重非负性例若则题型二二次根式的性质公式的运用例化简的结果为题型三二次根式的性质公式注意：对于二次根式的加减，关键是合并同类二次根式，通常是先化成最简二次根式，再把同类二次根式合并 但在化简二次根式时，二次根式的被开方数应不含分母，不含能开得尽的因数【典型例题】【例 13】计算（1）1132752 0.53227；（2）12543
14、102024553457 ；【例 14】（1）224344xyxyxyxy （2）abababab 知识点七：二次根式计算二次根式的混合计算与求值【知识要点】1、确定运算顺序；2、灵活运用运算定律；根式其中叫被开方数只有当是一个非负数时才有意义典型例题题型一二次根式的判定例下列各式其中是二次根式的是填序号题型二二次根式有意义例若式子有意义则的取值范围是题型三二次根式定义的运用例若则题型四二次根式的此性质可作公式记住后面根式运算中经常用到注意此性质既可正用也可反用反用的意义在于可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式注意字母不一定是正数能开得尽方的因式移到根号外时必须用它的算术平方根代
15、替的平方的算术根的范围是一切实数表示一个数的算术平方根的平方的范围是非负数和的运算结果都是非负的典型例题题型一二次根式的双重非负性例若则题型二二次根式的性质公式的运用例化简的结果为题型三二次根式的性质公式 3、正确使用乘法公式；4、大多数分母有理化要及时；5、在有些简便运算中也许可以约分，不要盲目有理化；【典型习题】1、abbaabb3)23(235 2、22 (212+418 3 48)【例 15】已知：，求的值 知识点八：根式比较大小 【知识要点】根式其中叫被开方数只有当是一个非负数时才有意义典型例题题型一二次根式的判定例下列各式其中是二次根式的是填序号题型二二次根式有意义例若式子有意义则
16、的取值范围是题型三二次根式定义的运用例若则题型四二次根式的此性质可作公式记住后面根式运算中经常用到注意此性质既可正用也可反用反用的意义在于可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式注意字母不一定是正数能开得尽方的因式移到根号外时必须用它的算术平方根代替的平方的算术根的范围是一切实数表示一个数的算术平方根的平方的范围是非负数和的运算结果都是非负的典型例题题型一二次根式的双重非负性例若则题型二二次根式的性质公式的运用例化简的结果为题型三二次根式的性质公式1、根式变形法 当0,0ab时，如果ab，则ab；如果ab，则ab。2、平方法 当0,0ab时，如果22ab，则ab；如果22ab，则ab
17、。3、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。4、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。5、倒数法 6、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。7、作差比较法 在对两数比较大小时，经常运用如下性质：0abab ；0abab 8、求商比较法 它运用如下性质：当 a0，b0 时，则：1aabb；1aabb 【典型例题】【例 16】比较3 5与5 3的大小.根式其中叫被开方数只有当是一个非负数时才有意义典型例题题型一二次根式的判定例下列各式其中是二次根式的是填序号题型二二次根式有意义例若式子有意义则的取值范围是题型三二次根式定义的运用例若则题型四二次
18、根式的此性质可作公式记住后面根式运算中经常用到注意此性质既可正用也可反用反用的意义在于可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式注意字母不一定是正数能开得尽方的因式移到根号外时必须用它的算术平方根代替的平方的算术根的范围是一切实数表示一个数的算术平方根的平方的范围是非负数和的运算结果都是非负的典型例题题型一二次根式的双重非负性例若则题型二二次根式的性质公式的运用例化简的结果为题型三二次根式的性质公式【例 17】比较231与121的大小.一 元 二 次 方 程 一、知识结构：一元二次方程韦达定理根的判 别解与解法 二、考点精析 考点一、概念(1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次
19、数是 2，这样的整式方程就是一元二次方程。(2)一般表达式：)0(02acbxax 难点：如何理解“未知数的最高次数是 2”：该项系数不为“0”；未知数指数为“2”；若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不根式其中叫被开方数只有当是一个非负数时才有意义典型例题题型一二次根式的判定例下列各式其中是二次根式的是填序号题型二二次根式有意义例若式子有意义则的取值范围是题型三二次根式定义的运用例若则题型四二次根式的此性质可作公式记住后面根式运算中经常用到注意此性质既可正用也可反用反用的意义在于可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式注意字母不一定是正数能开得尽方的因式移到根号
20、外时必须用它的算术平方根代替的平方的算术根的范围是一切实数表示一个数的算术平方根的平方的范围是非负数和的运算结果都是非负的典型例题题型一二次根式的双重非负性例若则题型二二次根式的性质公式的运用例化简的结果为题型三二次根式的性质公式等式加以讨论。典型例题：例 1、下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是（）A、12132xx B、02112xx C、02cbxax D、1222xxx 变式：当 k 时，关于 x 的方程3222xxkx是一元二次方程。例 2、方程0132mxxmm是关于 x 的一元二次方程，则 m 的值为 。考点二、方程的解 概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。应用：
21、利用根的概念求代数式的值；典型例题：例 1、已知322yy的值为 2，则1242 yy的值为 。考点三、解法 方法：直接开方法；因式分解法；配方法；公式法 关键点：降次 根式其中叫被开方数只有当是一个非负数时才有意义典型例题题型一二次根式的判定例下列各式其中是二次根式的是填序号题型二二次根式有意义例若式子有意义则的取值范围是题型三二次根式定义的运用例若则题型四二次根式的此性质可作公式记住后面根式运算中经常用到注意此性质既可正用也可反用反用的意义在于可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式注意字母不一定是正数能开得尽方的因式移到根号外时必须用它的算术平方根代替的平方的算术根的范围是一切
22、实数表示一个数的算术平方根的平方的范围是非负数和的运算结果都是非负的典型例题题型一二次根式的双重非负性例若则题型二二次根式的性质公式的运用例化简的结果为题型三二次根式的性质公式类型一、直接开方法：mxmmx,02 对于max2，22nbxmax等形式均适用直接开方法 典型例题：例 1、解方程：;08212x 216252x=0;09132x 例 2、若 2221619xx，则 x 的值为 。类型二、因式分解法:021xxxx21,xxxx或 方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，方程形式：如 22nbxmax，cxaxbxax，0222aaxx 典型例题：例 1、3532xx
23、x的根为（）A 25x B 3x C 3,2521xx D 52x 例 2、若 044342yxyx，则 4x+y 的值为 。根式其中叫被开方数只有当是一个非负数时才有意义典型例题题型一二次根式的判定例下列各式其中是二次根式的是填序号题型二二次根式有意义例若式子有意义则的取值范围是题型三二次根式定义的运用例若则题型四二次根式的此性质可作公式记住后面根式运算中经常用到注意此性质既可正用也可反用反用的意义在于可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式注意字母不一定是正数能开得尽方的因式移到根号外时必须用它的算术平方根代替的平方的算术根的范围是一切实数表示一个数的算术平方根的平方的范围是非负
24、数和的运算结果都是非负的典型例题题型一二次根式的双重非负性例若则题型二二次根式的性质公式的运用例化简的结果为题型三二次根式的性质公式例 3、方程062xx的解为（）A.2321，xx B.2321，xx C.3321，xx D.2221，xx 例 4、解方程：04321322xx 例 5、已知023222yxyx,则yxyx的值为 。类型三、配方法 002acbxax222442aacbabx 在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式 的值或极值之类的问题。典型例题：例1、试用配方法说明322 xx的值恒大于 0。根式其中叫被开方数只有当是一个非负数时才有意义典型例题题型一二次根式
25、的判定例下列各式其中是二次根式的是填序号题型二二次根式有意义例若式子有意义则的取值范围是题型三二次根式定义的运用例若则题型四二次根式的此性质可作公式记住后面根式运算中经常用到注意此性质既可正用也可反用反用的意义在于可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式注意字母不一定是正数能开得尽方的因式移到根号外时必须用它的算术平方根代替的平方的算术根的范围是一切实数表示一个数的算术平方根的平方的范围是非负数和的运算结果都是非负的典型例题题型一二次根式的双重非负性例若则题型二二次根式的性质公式的运用例化简的结果为题型三二次根式的性质公式例2、已知 x、y 为实数，求代数式74222yxyx的最小值
26、。例3、已知，x、yyxyx0136422为实数，求yx的值。例4、分解因式：31242 xx 类型四、公式法 条件：04,02acba且 公式：aacbbx242,04,02acba且 典型例题：例 1、选择适当方法解下列方程：.6132x .863xx 0142 xx 根式其中叫被开方数只有当是一个非负数时才有意义典型例题题型一二次根式的判定例下列各式其中是二次根式的是填序号题型二二次根式有意义例若式子有意义则的取值范围是题型三二次根式定义的运用例若则题型四二次根式的此性质可作公式记住后面根式运算中经常用到注意此性质既可正用也可反用反用的意义在于可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方
27、的形式注意字母不一定是正数能开得尽方的因式移到根号外时必须用它的算术平方根代替的平方的算术根的范围是一切实数表示一个数的算术平方根的平方的范围是非负数和的运算结果都是非负的典型例题题型一二次根式的双重非负性例若则题型二二次根式的性质公式的运用例化简的结果为题型三二次根式的性质公式 例 2、在实数范围内分解因式：（1）3222xx；（2）1842xx.22542yxyx 说明：对于二次三项式cbxax2的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，一般情况要用求根公式，这种方法首先令cbxax2=0，求两根，再写成cbxax2=)(21xxxxa.分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内
28、的分母化去.类型五、“降次思想”的应用 求代数式的值；解二元二次方程组。典型例题：例1、已知0232 xx，求代数式 11123xxx的值。例 2、如果012xx，那么代数式7223 xx的值。说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：先消元，再降次；根式其中叫被开方数只有当是一个非负数时才有意义典型例题题型一二次根式的判定例下列各式其中是二次根式的是填序号题型二二次根式有意义例若式子有意义则的取值范围是题型三二次根式定义的运用例若则题型四二次根式的此性质可作公式记住后面根式运算中经常用到注意此性质既可正用也可反用反用的意义在于可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式注意字母不一定
29、是正数能开得尽方的因式移到根号外时必须用它的算术平方根代替的平方的算术根的范围是一切实数表示一个数的算术平方根的平方的范围是非负数和的运算结果都是非负的典型例题题型一二次根式的双重非负性例若则题型二二次根式的性质公式的运用例化简的结果为题型三二次根式的性质公式先降次，再消元。但都体现了一种共同的数学思想化归思想，即把新问题转化归结为我们已知的问题.考点四、根的判别式acb42 根的判别式的作用：定根的个数；求待定系数的值；应用于其它。典型例题：例 1、若关于x的方程0122xkx有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 。例 2、关于 x 的方程 0212mmxxm有实数根，则 m的取值范围
30、是()A.10且mm B.0m C.1m D.1m 例 3、已知关于 x 的方程 0222kxkx(1)求证：无论 k 取何值时，方程总有实数根；(2)若等腰ABC的一边长为 1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC的周长。根式其中叫被开方数只有当是一个非负数时才有意义典型例题题型一二次根式的判定例下列各式其中是二次根式的是填序号题型二二次根式有意义例若式子有意义则的取值范围是题型三二次根式定义的运用例若则题型四二次根式的此性质可作公式记住后面根式运算中经常用到注意此性质既可正用也可反用反用的意义在于可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式注意字母不一定是正数能开得尽方的因式移到根号
31、外时必须用它的算术平方根代替的平方的算术根的范围是一切实数表示一个数的算术平方根的平方的范围是非负数和的运算结果都是非负的典型例题题型一二次根式的双重非负性例若则题型二二次根式的性质公式的运用例化简的结果为题型三二次根式的性质公式 例 4、已知二次三项式2)6(92mxmx是一个完全平方式，试求m的值.例 5、m为何值时，方程组.3,6222ymxyx有两个不同的实数解有两个相同的实数解 考点五、方程类问题中的“分类讨论”典型例题：例 1、关于 x 的方程03212mxxm 有两个实数根，则 m 为 ,只有一个根，则 m为 。根式其中叫被开方数只有当是一个非负数时才有意义典型例题题型一二次根式
32、的判定例下列各式其中是二次根式的是填序号题型二二次根式有意义例若式子有意义则的取值范围是题型三二次根式定义的运用例若则题型四二次根式的此性质可作公式记住后面根式运算中经常用到注意此性质既可正用也可反用反用的意义在于可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式注意字母不一定是正数能开得尽方的因式移到根号外时必须用它的算术平方根代替的平方的算术根的范围是一切实数表示一个数的算术平方根的平方的范围是非负数和的运算结果都是非负的典型例题题型一二次根式的双重非负性例若则题型二二次根式的性质公式的运用例化简的结果为题型三二次根式的性质公式 例2、不解方程，判断关于 x 的方程 3222kkxx根的情
33、况。例3、如果关于 x 的方程022 kxx及方程022kxx均有实数根，问这两方程 是否有相同的根若有，请求出这相同的根及 k 的值；若没有，请说明理由。考点六、应用解答题“碰面”问题；“复利率”问题；“几何”问题；“最值”型问题；“图表”类问题 考点七、根与系数的关系 前提：对于02cbxax而言，当满足0a、0时，根式其中叫被开方数只有当是一个非负数时才有意义典型例题题型一二次根式的判定例下列各式其中是二次根式的是填序号题型二二次根式有意义例若式子有意义则的取值范围是题型三二次根式定义的运用例若则题型四二次根式的此性质可作公式记住后面根式运算中经常用到注意此性质既可正用也可反用反用的意义
34、在于可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式注意字母不一定是正数能开得尽方的因式移到根号外时必须用它的算术平方根代替的平方的算术根的范围是一切实数表示一个数的算术平方根的平方的范围是非负数和的运算结果都是非负的典型例题题型一二次根式的双重非负性例若则题型二二次根式的性质公式的运用例化简的结果为题型三二次根式的性质公式才能用韦达定理。主要内容：acxxabxx2121,应用：整体代入求值。典型例题：例 1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程07822 xx的两根，则这个直角三角形的斜边是（）A.3 D.6 例 2、已知关于 x 的方程011222xkxk有两个不相等的实数根21,x
35、x，（1）求 k 的取值范围；（2）是否存在实数 k，使方程的两实数根互为相反数若存在，求出 k的值；若不存在，请说明理由。例 3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为 1）时，小明因看错常数项，而得到解为 8 和 2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9 和-1。你知道原来的方程是什么吗其正确根式其中叫被开方数只有当是一个非负数时才有意义典型例题题型一二次根式的判定例下列各式其中是二次根式的是填序号题型二二次根式有意义例若式子有意义则的取值范围是题型三二次根式定义的运用例若则题型四二次根式的此性质可作公式记住后面根式运算中经常用到注意此性质既可正用也可反用反用的意义在于
36、可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式注意字母不一定是正数能开得尽方的因式移到根号外时必须用它的算术平方根代替的平方的算术根的范围是一切实数表示一个数的算术平方根的平方的范围是非负数和的运算结果都是非负的典型例题题型一二次根式的双重非负性例若则题型二二次根式的性质公式的运用例化简的结果为题型三二次根式的性质公式解应该是多少 例 4、已知ba，0122 aa，0122 bb，求 ba 变式：若0122 aa，0122 bb，则abba的值为 。例 5、已知,是方程012xx的两个根，那么34 .针对练习：1、解方程组)2(5)1(,322yxyx 2已知472 aa，472 bb)(
37、ba，求baab的值。3、已知21,xx是方程092xx的两实数根，求663722231xxx的值。根式其中叫被开方数只有当是一个非负数时才有意义典型例题题型一二次根式的判定例下列各式其中是二次根式的是填序号题型二二次根式有意义例若式子有意义则的取值范围是题型三二次根式定义的运用例若则题型四二次根式的此性质可作公式记住后面根式运算中经常用到注意此性质既可正用也可反用反用的意义在于可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式注意字母不一定是正数能开得尽方的因式移到根号外时必须用它的算术平方根代替的平方的算术根的范围是一切实数表示一个数的算术平方根的平方的范围是非负数和的运算结果都是非负的典
38、型例题题型一二次根式的双重非负性例若则题型二二次根式的性质公式的运用例化简的结果为题型三二次根式的性质公式 勾股定理 知识要点 1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2b2c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾：直角三角形较短的直角边 股：直角三角形较长的直角边 弦：斜边 勾股定理的应用：在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件 2、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 有下面关系：a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形。勾股逆定理的应用:勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，在运用这一定理时应注
39、意：根式其中叫被开方数只有当是一个非负数时才有意义典型例题题型一二次根式的判定例下列各式其中是二次根式的是填序号题型二二次根式有意义例若式子有意义则的取值范围是题型三二次根式定义的运用例若则题型四二次根式的此性质可作公式记住后面根式运算中经常用到注意此性质既可正用也可反用反用的意义在于可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式注意字母不一定是正数能开得尽方的因式移到根号外时必须用它的算术平方根代替的平方的算术根的范围是一切实数表示一个数的算术平方根的平方的范围是非负数和的运算结果都是非负的典型例题题型一二次根式的双重非负性例若则题型二二次根式的性质公式的运用例化简的结果为题型三二次根式
40、的性质公式3.勾股数：满足 a2b2c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若 a，b，c 为勾股数，那么 ka，kb，kc 同样也是勾股数组.）常见勾股数：3，4，5；6，8，10；5，12，13；9，12，15 4.判断直角三角形：如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为 90的三角形是直角三角形；（2）有两个角互余的三角形是直角三角形.用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为 c）；（2）若 c2a2b2，则ABC是以C为直角的三角形；若 a2b2c2，则此三
41、角形为钝角三角形（其中 c 为最大边）；若 a2b2c2，则此三角形为锐角三角形（其中 c 为最大边）5.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半.（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于 30.根式其中叫被开方数只有当是一个非负数时才有意义典型例题题型一二次根式的判定例下列各式其中是二次根式的是填序号题型二二次根式有意义例若式子有意义则的取值范围是题型三二次根式定义的运用例若则题型四二次根式的此性质可作公式记住后面根式运算中经常用到注意此性质既可正用也可反用反用的意义
42、在于可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式注意字母不一定是正数能开得尽方的因式移到根号外时必须用它的算术平方根代替的平方的算术根的范围是一切实数表示一个数的算术平方根的平方的范围是非负数和的运算结果都是非负的典型例题题型一二次根式的双重非负性例若则题型二二次根式的性质公式的运用例化简的结果为题型三二次根式的性质公式 勾股定理的验证 【勾股定理及其逆定理的实际应用】1、某经济开发区有一块四边形空地 ABCD，如图所示，现计划在该空地上种上草皮，经测量B90，AB 300 m，AD 1300 m，CD 1200 m，BC 400 m，请计算种植草皮的面积是多少 2、如图所示，每个小方格
43、都是边长为 1 的正方形，点 A，B是方格纸的两个格点(即正方形的顶点)，在这个 66 的方格纸中，找出格点C，使ABC为面积是 1 个平方单位的直角三角形，满足条件的点的个数是_ 根式其中叫被开方数只有当是一个非负数时才有意义典型例题题型一二次根式的判定例下列各式其中是二次根式的是填序号题型二二次根式有意义例若式子有意义则的取值范围是题型三二次根式定义的运用例若则题型四二次根式的此性质可作公式记住后面根式运算中经常用到注意此性质既可正用也可反用反用的意义在于可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式注意字母不一定是正数能开得尽方的因式移到根号外时必须用它的算术平方根代替的平方的算术根
44、的范围是一切实数表示一个数的算术平方根的平方的范围是非负数和的运算结果都是非负的典型例题题型一二次根式的双重非负性例若则题型二二次根式的性质公式的运用例化简的结果为题型三二次根式的性质公式 3、如图，在直线l 上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为，正放置的四个正方形的面积为 S1、S2、S3、S4，则 S1S2S3S4_.4、如图是一个圆柱体，它的高为 40 cm，底面周长为 60 cm.在圆柱的下底面 A点处有一只蜘蛛，它想吃到上底面上与 A点相对的 B点处的苍蝇，需要爬行的最短距离是_cm.根式其中叫被开方数只有当是一个非负数时才有意义典型例题题型一二次根式的判定例下
45、列各式其中是二次根式的是填序号题型二二次根式有意义例若式子有意义则的取值范围是题型三二次根式定义的运用例若则题型四二次根式的此性质可作公式记住后面根式运算中经常用到注意此性质既可正用也可反用反用的意义在于可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式注意字母不一定是正数能开得尽方的因式移到根号外时必须用它的算术平方根代替的平方的算术根的范围是一切实数表示一个数的算术平方根的平方的范围是非负数和的运算结果都是非负的典型例题题型一二次根式的双重非负性例若则题型二二次根式的性质公式的运用例化简的结果为题型三二次根式的性质公式5、如图是一块长、宽、高分别是 4 cm、2 cm 和 1 cm 的长方
46、体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点 A处，沿着长方体的表面到长方体上和 A相对的顶点 B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是_ cm.6、如图所示，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高 4 米，宽米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道 7、定义：三边长和面积都是整数的三角形称为“整数三角形”数学学习小组的同学从 32 根等长的火柴棒(每根长度记为 1 个单位)中取出若干根，首尾依次相接组成三角形，进行探究活动小亮用 12 根火柴棒，摆成如图所示的“整数三角形”；根式其中叫被开方数只有当是一个非负数时才有意义典型例题题型一
47、二次根式的判定例下列各式其中是二次根式的是填序号题型二二次根式有意义例若式子有意义则的取值范围是题型三二次根式定义的运用例若则题型四二次根式的此性质可作公式记住后面根式运算中经常用到注意此性质既可正用也可反用反用的意义在于可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式注意字母不一定是正数能开得尽方的因式移到根号外时必须用它的算术平方根代替的平方的算术根的范围是一切实数表示一个数的算术平方根的平方的范围是非负数和的运算结果都是非负的典型例题题型一二次根式的双重非负性例若则题型二二次根式的性质公式的运用例化简的结果为题型三二次根式的性质公式 小颖分别用 24 根和 30 根火柴棒摆出直角“整数
48、三角形”；小辉受到小亮、小颖的启发，分别摆出三个不同的等腰“整数三角形”(1)请你画出小颖和小辉摆出的“整数三角形”的示意图；(2)你能否也从中取出若干根，按下列要求摆出“整数三角形”，如果能，请画出示意图；如果不能，请说明理由 摆出等边“整数三角形”；摆出一个非特殊(既非直角三角形，也非等腰三形)“整数三角形”根式其中叫被开方数只有当是一个非负数时才有意义典型例题题型一二次根式的判定例下列各式其中是二次根式的是填序号题型二二次根式有意义例若式子有意义则的取值范围是题型三二次根式定义的运用例若则题型四二次根式的此性质可作公式记住后面根式运算中经常用到注意此性质既可正用也可反用反用的意义在于可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式注意字母不一定是正数能开得尽方的因式移到根号外时必须用它的算术平方根代替的平方的算术根的范围是一切实数表示一个数的算术平方根的平方的范围是非负数和的运算结果都是非负的典型例题题型一二次根式的双重非负性例若则题型二二次根式的性质公式的运用例化简的结果为题型三二次根式的性质公式