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1、第一章 集合 一、知识结构 二、重点难点 重点：集合的表示方法；子集的概念；集合的交、并运算；难点：集合概念的理解；集合的补集运算；交与并的区别；第一课时 集合的含义【学习导航】知识网络 学习要求 1初步理解集合的含义，常用数集及其记法；2集合中的元素的特性；3理解属于关系和相等的意义；集合的分类；4集合的分类.【课堂互动】自学评价 1集合的含义：构成一个集合(set).注意：（1）集合是数学中原始的、不定义的概念，只作描述.（2）集合是一个“整体.（3）构成集合的对象必须是“确定的”且“不同”的 2集合中的元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素（element）.简称元.集合一般用大写拉丁
2、字母表示，如集合 A,元 素 一 般 用 小 写 拉 丁 字 母 表 示.如a,b,c 等.思考:构成集合的元素是不是只能是数或点？【答】3集合中元素的特性：（1）确定性.设 A 是一个给定的集合，x 是某一元素，则 x 是 A的元素，或者不是 A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.（2）互异性.对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的.（3）无序性.集合与其中元素的排列次序无关.4常用数集及其记法：一般地，自然数集记作_ 正整数集记作_或_ 整数集记作_有理数记作_ 实数集记作_ 5元素与集合的关系：如果 a 是集合 A的元素，就记作_ 读作“_”；如果 a 不是集合 A的元素，就
3、记作_ 或_读作“_”；6集合的分类：按它的元素个数多少来分：（i）_ 叫做有限集；听课随笔 集合 集合定义 确定性 元素的特性 集合的分类 无序性 互异性 集合 定义、性质、运用 交集、并集 集合的定义及其表示 子集、全集、补集 集合中元素的特性 集合的分类 集合的表示法 定义、性质、运用 有限集 无限集 空集（ii）_ 叫做无限集；（iii）_ 叫做空集，记为_【精典范例】一、运用集合中元素的特性来解决问题 例 1下列研究的对象能否构成集合 （1）世界上最高的山峰 （2）高一数学课本中的难题 （3）中国国旗的颜色 （4）充分小的负数的全体 （5）book 中的字母 （6）立方等于本身的实数
4、（7）不等式 2x-813的正整数解【解】（1）能 （2）不能（3）能 （4）不能（5）能 （6）能（7）能 点评:判断一组对象能否组成集合关键是能否找到一个明确的标准，按照这个确定的标准，它要么是这个集合的元素，要么不是这个集合的元素，即元素确 定性.例 2：集合 M 中的元素为 1，x，x2-x，求 x的范围？分析：根据集合中的元素互异性可知：集合里的元素各不相同，联列不等式组.【解】xxxxxx2211 202511xxxx或 所以 x 的范围是：202511|xxxxx或或或 点评:元素的特性（特别是互异性）是解决问题的切入点.例 3：三个元素的集合 1，a，ba，也可表示 为 0，a
5、2，a+b，求 a2005+b2006的值 分析：三个元素的集合也可表示另外一种形 式，说明这两个集合相同，而该题目 从特殊元素 0 入手，可以省去繁琐的 讨论【解】依题意得0ab 则 b=0 所以12a 则1a 由互异性知1a 所以 a2005+b2006=-1 点评:从特殊元素入手，灵活运用集合的三 个特征 二、运用元素与集合的关系来解决一 些问题 例 4：集合 A 中的元素由 x=a+b2(aZ,b Z)组成，判断下列元素与集合 A 的 关系？（1）0 （2）121 （3）132 分析：先把 x 写成 a+b2的形式，再观察 a，b 是否为整数.【解】（1）因为2000，所以A0（2）因
6、为211121，所以A 121（3）因为,213231Z3，所以Z 231 点评:要判断某个元素是否是某个集合的元 素，就是看这个元素是否满足该集合 的特性或具体表达形式.例 5：不包含-1，0，1 的实数集 A 满足条件 a听课随笔 子集全集补集定义性质运用交集并集定义性质运用集合定义元素的特性集合的分类学习要求确定性互异性无序性有限集无限集学习导航知识网络第一课时集合的含义重点集合的表示方法子集的概念集合的交并运算难点集合概念的理合元素一般用小写拉丁字母表示如等思考构成集合的元素是不是只能是数或点答集合中元素的特性确定性设是一个给定的集合是某一元素则是的元素或者不是的元素两种情况必有一种且
7、只有一种成立互异性对于一个给定的集合它的记作或整数集记作有理数记作实数集记作元素与集合的关系如果是集合的元素就记作读作如果不是集合的元素就记作或读作集合的分类按它的元素个数少来分叫做有限集集合的含义一个集合注意集合是数学中原始的不定义的概念只A，则11aaA，如果 2A,求 A 中的元素？分析：该题的集合所满足的特征是由抽象的 语句给出的，把 2 这个具体的元素代入求出 A 的另一个元素，但该题要循环代入，求出其余的元素，同学们可能想不到.【解】2A -3 A -3 A 12A 12A 13A 13A 2A 综上所述，集合 A 中的元素为：2，-3，12，13 追踪训练 1下列研究的对象能否构
8、成集合 某校个子较高的同学；倒数等于本身的实数 所有的无理数 讲台上的一盒白粉笔 中国的直辖市 中国的大城市 2下列写法正确的是_ a Q 当 nN 时，由所有(-1)n的数值组成的集合为无限集 3R -1 Z 由 book 中的字母组成的集合与元素 k，o，b 组成的集合是同一个集合 把正确的序号填在横线上 3用或填空 1_N -3_N 0_N 2_N 1_Z-3_Q 0_Z 2_R 0_N*_R 227_Q cos300_Z 4 由实数-x，|x|，2x，x，33x组成的集合最多含有元素的个数 是_个【选修延伸】例 6：设 S 是满足下列两个条件的实数所构成 的集合：1S，若aS，则11S
9、a，请 解答下列问题：（1）若 2S，则 S 中必有另外两个数，求 出这两个数；（2）求证：若aS，则11Sa （3）在集合 S 中元素能否只有一个？请说明 理由；（4）求证：集合 S 中至少有三个不同的元素.【解】（1），（2）略（3）集合 S 中的元素不能只有一个.证明：假设集合 S 中只有一个元素，则根据 题意知 a=11 a,此方程无解，a11 a 集合 S 中的元素不能只有一个.（4）证明：有（2）知，aS，11Sa，现在 a，11 a，11a三个数互不相等.若 a=11 a,此方程无解，a11 a 若a=11a，此方程无解，a11a 若11 a=11a，此方程无解，11 a11a
10、综上所述，集合 S 中至少有三个不同的元素.点评:（4）证明中需说明三个数互不相等，否则证明欠严谨.数学是一门非常 严谨的科学.听课随笔 子集全集补集定义性质运用交集并集定义性质运用集合定义元素的特性集合的分类学习要求确定性互异性无序性有限集无限集学习导航知识网络第一课时集合的含义重点集合的表示方法子集的概念集合的交并运算难点集合概念的理合元素一般用小写拉丁字母表示如等思考构成集合的元素是不是只能是数或点答集合中元素的特性确定性设是一个给定的集合是某一元素则是的元素或者不是的元素两种情况必有一种且只有一种成立互异性对于一个给定的集合它的记作或整数集记作有理数记作实数集记作元素与集合的关系如果是
11、集合的元素就记作读作如果不是集合的元素就记作或读作集合的分类按它的元素个数少来分叫做有限集集合的含义一个集合注意集合是数学中原始的不定义的概念只【师生互动】学生质疑 教师释疑 子集全集补集定义性质运用交集并集定义性质运用集合定义元素的特性集合的分类学习要求确定性互异性无序性有限集无限集学习导航知识网络第一课时集合的含义重点集合的表示方法子集的概念集合的交并运算难点集合概念的理合元素一般用小写拉丁字母表示如等思考构成集合的元素是不是只能是数或点答集合中元素的特性确定性设是一个给定的集合是某一元素则是的元素或者不是的元素两种情况必有一种且只有一种成立互异性对于一个给定的集合它的记作或整数集记作有理数记作实数集记作元素与集合的关系如果是集合的元素就记作读作如果不是集合的元素就记作或读作集合的分类按它的元素个数少来分叫做有限集集合的含义一个集合注意集合是数学中原始的不定义的概念只