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1、一次函数知识点总结与常见题型 基本概念 1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。例题：在匀速运动公式vts 中,v表示速度,t表示时间,s表示在时间t内所走的路程,则变量是_,常量是_。在圆的周长公式C=2r中，变量是_，常量是_.2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。*判断Y是否为X的函数，只要看X取值确定的时候，Y是否有唯一确定的值与之对应 例题：下列函数（1）y=x (2)y=2x1 (3)y=1x (4)y=
2、213x (5)y=x21 中，是一次函数的有（）（A）4 个 （B）3 个 （C）2 个 （D）1 个 P116 1 P87 2 3、定义域：一般的，一个函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。4、确定函数定义域的方法：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。例题：下列函数中，自变量x的取值范围是x2 的是（）Ay=2x By=12x Cy=24x Dy=2x 2x 函数5y
3、x中自变量x的取值范围是_.已知函数221xy，当11x时，y的取值范围是（）A.2325y B.2523y C.2523y D.2523y 5、函数的图像 一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象例题:P117 5 6、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。7、描点法画函数图形的一般步骤 第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小
4、到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。（画 3 个图像）8、函数的表示方法 列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。9、正比例函数及性质 一般地，形如y=kx(k是常数，k0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数.注：正比例函数一般形式 y=kx(k不为零)k不为零 x指数为 1 b取零(1)解析式：y=kx（k是常数，k0）(2)必过点：（0，0）、（
5、1，k）(3)走向：k0 时，图像经过一、三象限；k0，y随x的增大而增大；k0 b0 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过第一、三象限 图象从左到右上升，y随x的增大而增大 k0，y随x的增大而增大；k0 或ax+b0（a，b为常数，a0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于 0 时，求自变量的取值范围.17、一次函数与二元一次方程组（1）以二元一次方程ax+by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=bcxba的图象相同.（2）二元一次方程组222111cybxacybxa的解可以看作是两个一次函数y=1111bcxba和y=2222bcxba的图象交
6、点.18、一次函数的图像与两坐标轴所围成三角形的面积 一次函数y=kxb的图象与两条坐标轴的交点：与y轴的交点（0，b），与x轴的交点（kb，0）.直线（b0）与两坐标轴围成的三角形面积为s=kbbkb2212 常见题型 一、考察一次函数定义 1、若函数是y关于x的一次函数，则的值为 ；解析式为 .2、要使y=(m2)xn1+n是关于x的一次函数,n,m应满足 ,.二、考查图像性质 1、已知一次函数y=（m2）x+m3 的图像经过第一，第三，第四象限，则m的取值范围是_ 2、已知m是整数，且一次函数(4)2ymxm 的图象不过第二象限，则m为 .3、直线ykxb经过一、二、四象限，则直线ybx
7、k的图象只能是图 4 中的（）化过程中只能取同一数值的量例题在匀速运动公式中表示速度表示时间表示在时间内所走的路程则变量是常量是在圆的周长公式中变量是常量是函数一般的在一个变化过程中如果有两个变量和并且对于的每一个确定的值都有唯一确唯一确定的值与之对应个个个个定义域一般的一个函数的自变量允许取值的范围叫做这个函数的定义域确定函数定义域的方法关系式为整式时函数定义域为全体实数关系式含有分式时分式的分母不等于零关系式含有二次根式时被开有意义例题下列函数中自变量的取值范围是的是中是一次函数的有函数中自变量的取值范围是已知函数当时的取值范围是函数的图像一般来说对于一个函数如果把自变量与函数的每对对应值
8、分别作为点的横纵坐标那么坐标平面内由 4、如图 6，两直线1ykxb和2ybxk在同一坐标系内图象的位置可能是（）5.b为 时，直线2yxb与直线34yx的交点在x轴上.6.要得到y=32x4 的图像，可把直线y=32x（）（A）向左平移 4 个单位（B）向右平移 4 个单位 （C）向上平移 4 个单位（D）向下平移 4 个单位 7、已知一次函数y=kx+5，如果点P1（x1，y1），P2（x2，y2）都在函数的图像上，且当x1x2时，有y1y2 （B）y1=y2 （C）y1 y2 （D）不能比较 三、交点问题 1、若直线y=3x1 与y=xk的交点在第四象限，则k的取值范围是（）（A）k13
9、 （B）13k1 （D）k1或k13 2、若直线yxa 和直线yxb 的交点坐标为(,8)m，则ab .3、一次函数ykxb的图象过点(,1)m和(1,)m两点，且1m，则k ，b的取值范围是 .4、直线ykxb经过点(1,)Am，(,1)B m(1)m，则必有（）A.0,0kb .0,0B kb .0,0C kb .0,0D kb 5、如图所示，已知正比例函数和一次函数，它们的图像都经过点P（a，1），且一次函数图像与y轴交于Q点。（1）求a、b的值；（2）求PQO的面积。四、面积问题 1、若直线y=3x+6 与坐标轴围成的三角形的面积为S，则S等于（）A6 B12 C3 D24 2、若一次
10、函数y=2x+b的图像与坐标轴围成的三角形的面积是 9，则b=_ 3、已知一次函数2yxa与yxb 的图像都经过(2,0)A，且与y轴分别交于点B，c，则ABC的面积为（）A4 B5 C6 D7 4、已知一次函数ykxb的图像经过点（1，5），且与正比例函数1y=x2的图像相交于点（2，a），求（1）a的值；（2）k、b的值；（3）这两个函数图像与x轴所围成的三角形面积。化过程中只能取同一数值的量例题在匀速运动公式中表示速度表示时间表示在时间内所走的路程则变量是常量是在圆的周长公式中变量是常量是函数一般的在一个变化过程中如果有两个变量和并且对于的每一个确定的值都有唯一确唯一确定的值与之对应个个
11、个个定义域一般的一个函数的自变量允许取值的范围叫做这个函数的定义域确定函数定义域的方法关系式为整式时函数定义域为全体实数关系式含有分式时分式的分母不等于零关系式含有二次根式时被开有意义例题下列函数中自变量的取值范围是的是中是一次函数的有函数中自变量的取值范围是已知函数当时的取值范围是函数的图像一般来说对于一个函数如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横纵坐标那么坐标平面内由五、一次函数解析式的求法（1）定义型 例 1.已知函数ymxm()3328是一次函数，求其解析式。（2）点斜型 例 2.已知一次函数ykx 3的图像过点（2，1），求这个函数的解析式。（3）两点型 例 3.已知某个一次函
12、数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是（2，0）、（0，4），则这个函数的解析式为_。（4）图像型 例 4.已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为_。y 2 O 1 x （5）斜截型 例 5.已知直线ykxb与直线yx 2平行，且在y轴上的截距为 2，则直线的解析式为 。（6）平移型 例 6.把直线yx21向下平移 2 个单位得到的图像解析式为 。（7）实际应用型 例 7.某油箱中存油 20 升，油从管道中匀速流出，流速为 0.2 升/分钟，则油箱中剩油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系式为 。（8）面积型 例 8.已知直线ykx 4与两坐标轴所围成的三角形面积等于 4，则直线
13、解析式为 。（9）对称型 例 9.若直线l与直线yx21关于y轴对称，则直线l的解析式为_。知识归纳：若直线l与直线ykxb关于（1）x轴对称，则直线l的解析式为ykxb （2）y轴对称，则直线l的解析式为ykxb （3）直线yx对称，则直线l的解析式为ykxbk1（4）直线yx对称，则直线l的解析式为ykxbk1（5）原点对称，则直线l的解析式为ykxb（10）开放型 例 10.一次函数的图像经过(1,2)且函数y的值随x的增大而增大，请你写出一个符合上述条件的函数关系式 .（11）比例型 例 11.已知y与x+2 成正比例，且x1 时y6求y与x之间的函数关系式 化过程中只能取同一数值的量
14、例题在匀速运动公式中表示速度表示时间表示在时间内所走的路程则变量是常量是在圆的周长公式中变量是常量是函数一般的在一个变化过程中如果有两个变量和并且对于的每一个确定的值都有唯一确唯一确定的值与之对应个个个个定义域一般的一个函数的自变量允许取值的范围叫做这个函数的定义域确定函数定义域的方法关系式为整式时函数定义域为全体实数关系式含有分式时分式的分母不等于零关系式含有二次根式时被开有意义例题下列函数中自变量的取值范围是的是中是一次函数的有函数中自变量的取值范围是已知函数当时的取值范围是函数的图像一般来说对于一个函数如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横纵坐标那么坐标平面内由 练习题：1.已知直
15、线y=3x2,当x=1 时，y=2.已知直线经过点A（2,3），B（1，3），则直线解析式为_ 3.点（1，2）在直线y=2x4 上吗？（填在或不在）4.当m 时，函数y=(m2)+5 是一次函数，此时函数解析式为 。5.已知直线y=3x+b与两坐标轴所围成的三角形的面积为 6，则函数的解析式为 .6.已知变量y和x成正比例，且x=2 时，y=21,则y和x的函数关系式为 。7.点(2,5)关于原点的对称点的坐标为 ；关于x轴对称的点的坐标为 ；关于y轴对称的点的坐标为 。8.直线y=kx2 与x轴交于点（1，0），则k=。9.直线y=2x1 与x轴的交点坐标为 与y轴的交点坐标 。10.若直
16、线y=kxb平行直线y=3x4，且过点（1，2），则k=.11.已知A(1,2),B(1,1),C(5,1),D(2,4),E(2,2),其中在直线y=x+6 上的点有_,在直线y=3x4 上的点有_ 12.某人用充值 50 元的IC卡从A地向B地打长途电话，按通话时间收费，3 分钟内收费元，以后每超过 1 分钟加收1元，若此人第一次通话t分钟（3t45），则IC卡上所余的费用y（元）与t（分）之间的关系式是 .13.某商店出售一种瓜子，其售价y（元）与瓜子质量x（千克）之间的关系如下表 质量x（千克）1 2 3 4 售价y（元）+化过程中只能取同一数值的量例题在匀速运动公式中表示速度表示时间
17、表示在时间内所走的路程则变量是常量是在圆的周长公式中变量是常量是函数一般的在一个变化过程中如果有两个变量和并且对于的每一个确定的值都有唯一确唯一确定的值与之对应个个个个定义域一般的一个函数的自变量允许取值的范围叫做这个函数的定义域确定函数定义域的方法关系式为整式时函数定义域为全体实数关系式含有分式时分式的分母不等于零关系式含有二次根式时被开有意义例题下列函数中自变量的取值范围是的是中是一次函数的有函数中自变量的取值范围是已知函数当时的取值范围是函数的图像一般来说对于一个函数如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横纵坐标那么坐标平面内由由上表得y与x之间的关系式是 14.已知:一次函数的图象
18、与正比例函数Y=32X平行,且通过点(0,4),(1)求一次函数的解析式.(2)若点M(8,m)和N(n,5)在一次函数的图象上,求m,n的值 15.已知一次函数y=kx+b的图象经过点(1,5),且与正比例函数y=12 x的图象相交于点(2,a),求(1)a的值(2)k,b的值(3)这两个函数图象与x轴所围成的三角形面积.16.有两条直线baxy1，ccxy52，学生甲解出它们的交点坐标为（3，2），学生乙因把c抄错了而解出它们的交点坐标为)41,43(，求这两条直线解析式 17.已知正比例函数xky1的图象与一次函数92 xky的图象交于点P（3，6）（1）求21,kk的值。（2）如果一次
19、函数92 xky与x轴交于点A，求A点坐标 18.某种拖拉机的油箱可储油 40L，加满油并开始工作后，油箱中的余油量y（L）与工作时间x（h）之间为一次函数关系，如图所示（1）求y与x的函数解析式（2）一箱油可供拖位机工作几小时？化过程中只能取同一数值的量例题在匀速运动公式中表示速度表示时间表示在时间内所走的路程则变量是常量是在圆的周长公式中变量是常量是函数一般的在一个变化过程中如果有两个变量和并且对于的每一个确定的值都有唯一确唯一确定的值与之对应个个个个定义域一般的一个函数的自变量允许取值的范围叫做这个函数的定义域确定函数定义域的方法关系式为整式时函数定义域为全体实数关系式含有分式时分式的分
20、母不等于零关系式含有二次根式时被开有意义例题下列函数中自变量的取值范围是的是中是一次函数的有函数中自变量的取值范围是已知函数当时的取值范围是函数的图像一般来说对于一个函数如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横纵坐标那么坐标平面内由 一、分段函数 1、某自来水公司为鼓励居民节约用水，采取按月用水量收费办法，若某户居民应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数关系如图所示。（1）写出y与x的函数关系式；（2）若某户该月用水 21 吨，则应交水费多少元？2、果农黄大伯进城卖菠萝，他先按某一价格卖出了一部分菠萝后，把剩下的菠萝全部降价卖完，卖出的菠萝的吨数x和他收入的钱数y（万元）的关系如图所示，结
21、合图象回答下列问题：（1）降价前每千克菠萝的价格是多少元？（2）若降价后每千克菠萝的价格是元，他这次卖菠萝的总收入是 2 万元，问他一共卖了多少吨菠萝？3、某市电力公司为了鼓励居民用电，采用分段计费的方法计算电费：每月不超过 100 度时，按每度元计费；每月用电超过 100 度时，其中的 100 度按原标准收费；超过部分按每度元计费.（1）设用电x度时，应交电费y元，当x100 和x100 时，分别写出y关于x的函数关系式.0 y x 15 20 27 8 2 ()y万元()x吨 化过程中只能取同一数值的量例题在匀速运动公式中表示速度表示时间表示在时间内所走的路程则变量是常量是在圆的周长公式中
22、变量是常量是函数一般的在一个变化过程中如果有两个变量和并且对于的每一个确定的值都有唯一确唯一确定的值与之对应个个个个定义域一般的一个函数的自变量允许取值的范围叫做这个函数的定义域确定函数定义域的方法关系式为整式时函数定义域为全体实数关系式含有分式时分式的分母不等于零关系式含有二次根式时被开有意义例题下列函数中自变量的取值范围是的是中是一次函数的有函数中自变量的取值范围是已知函数当时的取值范围是函数的图像一般来说对于一个函数如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横纵坐标那么坐标平面内由（2）小王家第一季度交纳电费情况如下：月份 一月份 二月份 三月份 合计 交费金额 76 元 63 元 45
23、 元 6 角 184 元 6 角 问小王家第一季度共用电多少度？4、某校需要刻录一批电脑光盘，若电脑公司刻录，每张需要 8 元（含空白光盘费）；若学校自刻，除租用刻录机需 120 元外每张还需成本费 4 元（含空白光盘费），问刻录这批电脑光盘，到电脑公司刻录费用少？还是自刻费用少？说明你的理由 二、一次函数应用 1、甲、乙二人在如图所示的斜坡AB上作往返跑训练 已知：甲上山的速度是a米/分，下山的速度是b米/分，（a0），且所建的两种住房可全部售出，该公司又将如何建房获得利润最大？化过程中只能取同一数值的量例题在匀速运动公式中表示速度表示时间表示在时间内所走的路程则变量是常量是在圆的周长公式中变量是常量是函数一般的在一个变化过程中如果有两个变量和并且对于的每一个确定的值都有唯一确唯一确定的值与之对应个个个个定义域一般的一个函数的自变量允许取值的范围叫做这个函数的定义域确定函数定义域的方法关系式为整式时函数定义域为全体实数关系式含有分式时分式的分母不等于零关系式含有二次根式时被开有意义例题下列函数中自变量的取值范围是的是中是一次函数的有函数中自变量的取值范围是已知函数当时的取值范围是函数的图像一般来说对于一个函数如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横纵坐标那么坐标平面内由