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1、例析立体几何中的排列组合问题 春晖中学过月圆 在数学中，排列、组合无论从内容上还是从思想方法上，都体现了实际应 用的观点。立体几何与排列组合综合问题是高考命题的新趋势，体现了考试大 纲要求的在知识交汇处命题的指导思想，应引起考生的重视。立体几何中的计 数问题也是高考的热点题型，解决这类问题的基本方法是以点带面法，下面列举 立体几何中排列、组合问题的几个例子。1 占 八、1.1 共面的点 例1（1997年全国高考（文）四面体的一个顶点为 A，从其它顶点与棱的中点中取 3个点，使它们和点 A在同 一平面上，不同的取法有（）A.30种 B.33种 C.36种 D.39种 解析：四面体有4个顶点，6条
2、棱有6个中点，每个面上的6个点共面。点A所 在的每个面中含A的4点组合有，个，点A在3个面内，共有 A在6条棱的3条棱上，每条棱上有3个点，这3点与这条棱对棱的中点共面 所以与点A共面的四点组合共有 v个。答案：B 点评：此题主要考查组合的知识和空间相像能力；属 97文科试题中难度最大的选 择题，失误的主要原因是没有把每条棱上的 3点与它对棱上的中点共面的情况计 算在内。1.2 不共面的点 例2（1997年全国高考（理）四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（）A.150种 B.147 种 C.144 种 D.141 种解析：从10个点中任取4个点有（种取法，
3、其中4点共面的情况有三类：第-类，取出的4个点位于四面体的同一个面内，有 种；第二类，取任一条棱上 的3个点及对棱的中点，这4点共面有6种；第三类，由中位线构成的平行四边 形，它的4个顶点共面，有3种。以上三类情况不合要求应减掉，所以不同取法共有：匚；仁一？二厲 种。答案：D o 点评：此题难度很大，是当时高考中得分最低的选择题，对空间想像能力要求高，很好的考察了立体几何中点共面的几种情况；排列、组合中正难则反易的解题技巧 及分类讨论的数学思想。2 直线 例3（2005年全国高考卷1（理）过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（）A.18对 B.24 对 C.30对 D.36对 C
4、1 -Bi 分析：选项数目不大，若不宜用公式直接求解，可考虑用树 图法。解析：法一：一条底面棱有5条直线与其异面。例：与AB异面的直线分别是 B1C、A1C、B1C1、A1C1、CC1。侧面中与底面相交的棱有4条与其异面的直线；例：与BB1异面的直线分别是 AC、AC1、A1C1、A1C,侧面中的对角线有5 条与其异面的直线；应用的观点立体几何与排列组合综合问题是高考命题的新趋势体现了考试大纲要求的在知识交汇处命题的指导思想应引起考生的重视立体几何中的计数问题也是高考的热点题型解决这类问题的基本方法是以点带面法下面列举立体几使它们和点在同一平面上不同的取法有种种种种解析四面体有个顶点条棱有个中
5、点每个面上的个点共面点所在的每个面中含的点组合有个点在个面内共有在条棱的条棱上每条棱上有个点这点与这条棱对棱的中点共面所以与点共面的没有把每条棱上的点与它对棱上的中点共面的情况计算在内不共面的点例年全国高考理四面体的顶点和各棱中点共个点在其中取个不共面的点不同的取法共有种种种种解析从个点中任取个点有种取法其中点共面的情况有三类第类取两遍。共有 5x6+4x3+5x6 =36对 例：与AB1异面的直线分别是BC、BC1、CC1、A1C、A1C1,而每条直线都数 法二：一个四面体中有3对异面直线，在三棱柱的六个顶点中任取四个，可构 成四面体的个数为:仁 八二厶故共有异面直线-1：|:o 答案：D
6、点评：解法一是例举法，把符合要求的所有的情况全列出来，列举时一定要按 一定的次序进行，以防遗漏和重复，这一看似笨拙的方法对数目不太大的情况常给 人以清新，大智若愚之感，在近年高考中，这一方法经常用到；解法二是利用影 射，构造四面体解决的，有较高的技巧，在竞赛中时常出现。3 平面 例4 a B是两个平行平面，在a内取4个点，在B内取5个点，这9个点最多能 确定多少个平面？解析：例5（2002年全国高考）从正方体的六个面中选3个面，其中有两个面不相邻的选法共有（）A.8种 B.12 种 C.16种 D.20 种 解析：4 模型 4.1 平面多边形 例6（2004年高考 湖南卷）从正方体的八个顶点中
7、任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为（）A.56 B.52 C.48 D.40 解析：由于正方体各个顶点的位置一样，故可研究一个顶点，比如 B点。以B为 直角顶点的三角形有：二 故正方体中共有 o 答案：C应用的观点立体几何与排列组合综合问题是高考命题的新趋势体现了考试大纲要求的在知识交汇处命题的指导思想应引起考生的重视立体几何中的计数问题也是高考的热点题型解决这类问题的基本方法是以点带面法下面列举立体几使它们和点在同一平面上不同的取法有种种种种解析四面体有个顶点条棱有个中点每个面上的个点共面点所在的每个面中含的点组合有个点在个面内共有在条棱的条棱上每条棱上有个点这点与这条棱对棱的
8、中点共面所以与点共面的没有把每条棱上的点与它对棱上的中点共面的情况计算在内不共面的点例年全国高考理四面体的顶点和各棱中点共个点在其中取个不共面的点不同的取法共有种种种种解析从个点中任取个点有种取法其中点共面的情况有三类第类取，与每条侧棱点评：在，；中直角顶点只有一个，从直角顶点出发考虑问题可避免重复，正方 体中各顶点位置均等，抓住这一点也是问题解决得关键。4.2 空间多面体 例7从正方体的八个顶点中任取四个点，所取的四个点中能构成四面体的取法共有 5 其它 例8（2005年高考江苏卷）四棱锥的8条棱分别代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱所代表的化工产 品放在同一仓库是危险的，没有公共点的
9、两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是 安全的，现打算用编号为、的 4个仓库存放这8种化工产品，那么安 全存放的不同方法种数为（）A.96 B.48 C.24 D.0 条。例如侧棱SB与CD、AD棱异面。以四条侧棱为代表的化工产品分别放入四个 仓库中，计种。从而安全存放的不同放法种数为（种）答案：B 点评本题用四棱锥的8条棱的关系来处理化工产品的存放种数，应用的观点立体几何与排列组合综合问题是高考命题的新趋势体现了考试大纲要求的在知识交汇处命题的指导思想应引起考生的重视立体几何中的计数问题也是高考的热点题型解决这类问题的基本方法是以点带面法下面列举立体几使它们和点在同一平面上不同的取法有种种种种解析四面体有个顶点条棱有个中点每个面上的个点共面点所在的每个面中含的点组合有个点在个面内共有在条棱的条棱上每条棱上有个点这点与这条棱对棱的中点共面所以与点共面的没有把每条棱上的点与它对棱上的中点共面的情况计算在内不共面的点例年全国高考理四面体的顶点和各棱中点共个点在其中取个不共面的点不同的取法共有种种种种解析从个点中任取个点有种取法其中点共面的情况有三类第类取