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1、名师精编 欢迎下载 1 函数解析式的特殊求法 例 1 已知 f(x)是一次函数,且 ff(x)=4x 1,求 f(x)的解析式 例 2 若xxxf21(）,求 f(x)例 3 已知xxxf2)1(，求)1(xf 例 4 已知：函数)(2xgyxxy与的图象关于点)3,2(对称，求)(xg的解析式 例 5 已知 f(x)满足xxfxf3)1()(2，求)(xf 2 函数值域的特殊求法 例 1.求函数 2,1x,5x2xy2的值域。例 2.求函数22x1xx1y的值域。例 3 求函数 y=(x+1)/(x+2)的值域 例4.求函数1e1eyxx的值域。例 1下列各组中的两个函数是否为相同的函数？3
2、)5)(3(1xxxy52xy 111xxy )1)(1(2xxy 21)52()(xxf 52)(2 xxf 名师精编 欢迎下载 2 若函数)(xf的图象经过)1,0(，那么)4(xf的反函数图象经过点(A)1,4(B)4,1(C)1,4(D)4,1(例 3 已知函数)(xf对任意的abR、满足：()()()6,f abf af b 0,()6af a当时；(2)12f 。（1）求：(2)f的值；（2）求证：()f x是R上的减函数；（3）若(2)(2)3f kfk，求实数k的取值范围。例 4 已知(,)|,Ax yxn yanb nZ，2(,)|,315,Bx yxm ymmZ，22(,)
3、|Cx yxy14，问 是 否 存 在 实 数,a b，使 得(1)AB ，(2)(,)a bC同时成立.证明题 1.已知二次函数2()f xaxbxc对于x1、x2R，且x1x2时 12()()f xf x，求证：方程()f x121()()2f xf x有不等实根，且必有一根属于区间（x1，x2）.于点对称求的解析式例已知满足求函数值域的特殊求法例求函数的值域例求函数的值域例求函数的值域例求函数的值域例下列各组中的两个函数是否为相同的函数若函数的图象经过那么的反函数图象经过点名师精编欢迎下载例已知已知二次函数对于且时求证方程有不等实根且必有一根属于区间名师精编欢迎下载答案解设则或则或换元法
4、已知复合函数的表达式时还可以用换元法求的解析式与配凑法一样要注意所换元的定义域的变化解法一换元法令则代入原式解设为为则解得点在上把代入得整理得例构造方程组法若已知的函数关系较为抽象简约则可以对变量进行置换设法构造方程组通过解方程组求得函数解析式已知名师精编欢迎下载将中换成得得值域求法例解将函数配方得由二次函数名师精编 欢迎下载 答案 1 解：设 f(x)=kx+b 则 k(kx+b)+b=4x 1 则3121)1(42bkbkk 或 12bk 312)(xxf或12)(xxf 2 换元法：已知复合函数()f g x的表达式时，还可以用换元法求()f x的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义
5、域的变化。解法一（换元法）：令 t=1x则 x=t2 1,t 1代入原式有 1)1(2)1()(22ttttf 1)(2xxf （x1）解法二（定义法）：1)1(22xxx 1)1()1(2xxf 1x1 1)(2xxf (x 1)4 代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。解：设),(yxM为)(xgy 上任一点，且),(yxM为),(yxM关于点)3,2(的对称点 则3222yyxx，解得：yyxx64，点),(yxM在)(xgy 上 xxy2 把yyxx64代入得：整理得672xxy 67)(2xxxg 例 5构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对
6、变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。已知xxfxf3)1()(2 ，于点对称求的解析式例已知满足求函数值域的特殊求法例求函数的值域例求函数的值域例求函数的值域例求函数的值域例下列各组中的两个函数是否为相同的函数若函数的图象经过那么的反函数图象经过点名师精编欢迎下载例已知已知二次函数对于且时求证方程有不等实根且必有一根属于区间名师精编欢迎下载答案解设则或则或换元法已知复合函数的表达式时还可以用换元法求的解析式与配凑法一样要注意所换元的定义域的变化解法一换元法令则代入原式解设为为则解得点在上把代入得整理得例构造方程组法若已知的函数关系较为抽象简约则可以对变量进行置换设法构造方
7、程组通过解方程组求得函数解析式已知名师精编欢迎下载将中换成得得值域求法例解将函数配方得由二次函数名师精编 欢迎下载 将中 x 换成x1得xxfxf3)()1(2 ，2-得xxxf36)(3 xxxf12)(.值域求法 例1 解：将函数配方得：4)1x(y2 2,1x 由二次函数的性质可知：当x=1时，4ymi n，当1x时，8yma x 故函数的值域是：4，8 2.判别式法例2.解：原函数化为关于x的一元二次方程 0 x)1y(x)1y(2（1）当1y 时，Rx 0)1y)(1y(4)1(2 解得：23y21（2）当y=1时，0 x，而23,211故函数的值域为23,21 当函数的反函数存在时
8、，则其反函数的定义域就是原函数的值域。例 3 求函数 y=(x+1)/(x+2)的值域。点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。解：显然函数 y=(x+1)/(x+2)的反函数为:x=(12y)/（y1）,其定义域为 y1 的实数,故函数 y的值域为 yy1,y R。点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。练习：求函数 y=(10 x+10-x)/(10 x10-x)的值域。（答案：函数的值域为yy1 5.函数有界性法 直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。例4.求函数1e
9、1eyxx的值域。解：由原函数式可得：1y1yex 0ex 01y1y 解得：1y1 故所求函数的值域为)1,1(例1（定义域不同）（定义域不同）（定义域、值域都不同）例 3 解:（1）()()()6,f abf af b 令0ab，得(0)6f 令2,2ab，得(2)0f （2）证明：设12,x x是R上的任意两个实数，且12xx，即210 xx，从而有21()6f xx，则212111()()()()f xf xfxxxf x2111()()6()f xxf xf x 于点对称求的解析式例已知满足求函数值域的特殊求法例求函数的值域例求函数的值域例求函数的值域例求函数的值域例下列各组中的两个
10、函数是否为相同的函数若函数的图象经过那么的反函数图象经过点名师精编欢迎下载例已知已知二次函数对于且时求证方程有不等实根且必有一根属于区间名师精编欢迎下载答案解设则或则或换元法已知复合函数的表达式时还可以用换元法求的解析式与配凑法一样要注意所换元的定义域的变化解法一换元法令则代入原式解设为为则解得点在上把代入得整理得例构造方程组法若已知的函数关系较为抽象简约则可以对变量进行置换设法构造方程组通过解方程组求得函数解析式已知名师精编欢迎下载将中换成得得值域求法例解将函数配方得由二次函数名师精编 欢迎下载 21()60f xx 21()()f xf x即()f x是R上的减函数 （3）()()()6,
11、f abf af b 令1,1ab，得(1)3f (2)(2)3f kfk (2)3(2)f kfk ，又(1)3f，(2)0f 即有(2)(1)(2)(2)f kffkf (2)(1)6(2)(2)6f kffkf (2)1(2)2fkfk 又()f x是R上的减函数 (2)1(2)2kk 即3k (A)实数k的取值范围是3k 例 4 分析：假设存在,a b使得(1)成立，得到a与b的关系后与22xy14联立，然后讨论联立的不等式组.解：假 设 存 在 实 数,a b，使 得AB ，(,)a bC同 时 成 立，则 集 合(,)|,Ax yxn yanb nZ 与 集 合2(,)|,31 5
12、,BxyxmymmZ 分 别 对 应 集 合1(,)|,Ax yyaxb xZ 与21(,)|315,Bx yyxxZ，1A与1B对应的直线yaxb与抛物线2315yx至少有一个公共点，所以方程组2315yaxbyx有解，即方程2315xaxb必有解.因此212(15)ab20a 12180b，又22ab14 由相加，2b得1236b，即2(6)b0.6b.将6b 代入得2a108，再将6b 代入得2a108，因此6 3a ，将6 3a ，6b 代入方程2315xaxb得236 390 xx，解得3x Z.所以不存在实数,a b，使得(1)，(2)同时成立.证明题 1 1 解：设 F（x）()
13、f x121()()2f xf x，则方程 ()f x121()()2f xf x 与方程 F（x）0 等价 于点对称求的解析式例已知满足求函数值域的特殊求法例求函数的值域例求函数的值域例求函数的值域例求函数的值域例下列各组中的两个函数是否为相同的函数若函数的图象经过那么的反函数图象经过点名师精编欢迎下载例已知已知二次函数对于且时求证方程有不等实根且必有一根属于区间名师精编欢迎下载答案解设则或则或换元法已知复合函数的表达式时还可以用换元法求的解析式与配凑法一样要注意所换元的定义域的变化解法一换元法令则代入原式解设为为则解得点在上把代入得整理得例构造方程组法若已知的函数关系较为抽象简约则可以对变
14、量进行置换设法构造方程组通过解方程组求得函数解析式已知名师精编欢迎下载将中换成得得值域求法例解将函数配方得由二次函数名师精编 欢迎下载 F（x1）1()f x121()()2f xf x121()()2f xf x F（x2）2()f x121()()2f xf x121()()2f xf x F（x1）F（x2）2121()()4f xf x，又12()()f xf x F（x1）F（x2）0 故方程必有一根在区间（x1，x2）内.由于抛物线 yF（x）在x轴上、下方均有分布，所以此抛物线与x轴相交于两个不同的交点，即方程有两个不等的实根，从而方程有两个不等的实根，且必有一根属于区间（x1，
15、x2）.点评：本题由于方程是()f x121()()2f xf x，其中因为有()f x表达式，所以解题中有的学生不理解函数图像与方程的根的联系，误认为证明()f x的图像与x轴相交于两个不同的点，从而证题中着眼于证1()f x2()f x0，使本题没法解决.本题中将问题转化为 F（x）()f x121()()2f xf x的图像与x轴相交于两个不同的两点是解题的关健所在.于点对称求的解析式例已知满足求函数值域的特殊求法例求函数的值域例求函数的值域例求函数的值域例求函数的值域例下列各组中的两个函数是否为相同的函数若函数的图象经过那么的反函数图象经过点名师精编欢迎下载例已知已知二次函数对于且时求证方程有不等实根且必有一根属于区间名师精编欢迎下载答案解设则或则或换元法已知复合函数的表达式时还可以用换元法求的解析式与配凑法一样要注意所换元的定义域的变化解法一换元法令则代入原式解设为为则解得点在上把代入得整理得例构造方程组法若已知的函数关系较为抽象简约则可以对变量进行置换设法构造方程组通过解方程组求得函数解析式已知名师精编欢迎下载将中换成得得值域求法例解将函数配方得由二次函数