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1、学习必备 欢迎下载 高考中有关恒成立问题的解题策略 恒成立问题是历年高考的一个热点.这类问题的解决涉及到一次函数、二次函数、三角函数、指数与对数函数等函数的性质、图象，渗透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用.恒成立问题在解题过程中有以下几种方法和策略.现在我们一起来探讨其中一些典型的问题.方法一、赋特值利用特殊值求解 等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得.例 1（2012江西）在直角三角形 ABC 中，点 D 是斜边 AB 的中点，点 P 为线段 CD 的中点，则 A
2、.2 B.4 C.5 D.10.略解：题目是对所有直角三角形恒成立，故取等腰直角三角形并且直角边长为 2 这样一种特殊的三角形，由此，|PA|，|PB|，|PB|都为定值。易得答案 D.此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想.方法二、一次函数型利用单调性求解 对于一次函数,)(nmxbkxxf有：0)(0)(0)(,0)(0)(0)(nfmfxfnfmfxf恒成立恒成立 例 2若不等式)1(122xmx对满足22m的所有m都成立，求 x 的范围围.分析：在不等式中出现了两个字母：x 及 m,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，我们的原则是谁有范围谁当自变量，显然将 a 视作自变量，则上述问题即
3、可转化为在-2，2内关于 a 的一次函数大于0 恒成立的问题.解析：我们可以用改变主元的办法，将 m视为主变元，即将元不等式化为：0)12()1(2xxm，；令)12()1()(2xxmmf，则22m时，0)(mf恒成立，所以只需0)2(0)2(ff即0)12()1(20)12()1(222xxxx，所以 x 的范围是)231,271(x)此类题本质上是利用了一次函数在区间m,n上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在 x轴上方（或下方）即可.策略三、二次函数型利用判别式,韦达定理及根的分布求解 对于二次函数 f(x)=ax2+bx+c=0(a0)在实数集 R 上恒成立问题可利用判别式直接
4、求解，即 f(x)0 恒成立00a；f(x)0,0)(xxf在上恒成立0)(0)(ff 策略四、变量分离型分离变量，巧妙求解 利用函数的最值（或值域）（1）mxf)(对任意 x 都成立mxfmin)(；（2）mxf)(对任意 x 都成立max)(xfm。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”例 5（07 年山东卷文 15)当(1,2)x时，不等式240 xmx 恒成立，则m的取值范围是 解析:当(1,2)x时，由240 xmx 得24xmx 令244()xf xxxx，则易知()f x在(1,2)上是减函数，所以1,2x时()(1)5maxf xf，则2min4()5xx 所以 5m 利
5、用变量分离解决恒成立问题，主要是要把它转化为函数的最值问题.策略五、数形结合直观求解 例 6(07 安徽理科 3)若对任意xR,不等式|xax恒成立，则实数a的取值范围是 次函数二次函数三角函数指数与对数函数等函数的性质图象渗透着换元化归数形结合函数与方程等思想方法有利于考查学生的综合解题能力在培养思维的灵活性创造性等方面起到了积极的作用恒成立问题在解题过程中有以下几种方法求解特别是对解决填空题选择题能很快求得例江西在直角三角形中点是斜边的中点点为线段的中点则略解题目是对所有直角三角形恒成立故取等腰直角三角形且直角边长为这样一种特殊的三角形由此都为定值易得答案此法体现了足的所有都成立求的范围围
6、分析在不等式中出现了两个字母及关键在于该把哪个字母看成是一个变量我们的原则是谁有范围谁当自变量显然将视作自变量则上述问题即可转化为在内关于的一次函数大于恒成立的问题解析我们可以用学习必备 欢迎下载(A)1a (B)|1a (C)|1a （D）1a 解析：对xR,不等式|xax恒成立，则由一次函数性质及图像知11a，即|1a 上述例子剖析了近年数学高考中恒成立问题的题型及解法，值得一提的是，各种类型各种方法并不是完全孤立的，虽然方法表现的不同，但其实质却都与求函数的最值是等价的，这也正体现了数学中的“统一美”|yx|yxyaxyaxxyO 次函数二次函数三角函数指数与对数函数等函数的性质图象渗透着换元化归数形结合函数与方程等思想方法有利于考查学生的综合解题能力在培养思维的灵活性创造性等方面起到了积极的作用恒成立问题在解题过程中有以下几种方法求解特别是对解决填空题选择题能很快求得例江西在直角三角形中点是斜边的中点点为线段的中点则略解题目是对所有直角三角形恒成立故取等腰直角三角形且直角边长为这样一种特殊的三角形由此都为定值易得答案此法体现了足的所有都成立求的范围围分析在不等式中出现了两个字母及关键在于该把哪个字母看成是一个变量我们的原则是谁有范围谁当自变量显然将视作自变量则上述问题即可转化为在内关于的一次函数大于恒成立的问题解析我们可以用