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1、含参不等式专题（淮阳中学）编写：孙宜俊 当在一个不等式中含有了字母，则称这一不等式为含参数的不等式，那么此 时的参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解，首先是对不等式的类型（即 是那一种不等式）的影响，其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。我们必 须通过分类讨论才可解决上述两个问题，同时还要注意是参数的选取确定了不等 式的解，而不是不等式的解来区分参数的讨论。解参数不等式一直是高考所考查 的重点内容，也是同学们在学习中经常遇到但又难以顺利解决的问题。下面举例 说明，以供同学们学习。解含参的一元二次方程的解法，在具体问题里面，按分类的需要有讨论如下 四种情况：（1）二次项的系数；（2）判别式
2、；（3）不等号方向（4）根的大小。一、含参数的一元二次不等式的解法：1二次项系数为常数（能分解因式先分解因式，不能得先考虑 0）例 1、解关于 x的不等式 x2（a 1）x a 0。解：（x2 a）（x 1）0 令（x a）（x 1）0 x a,x 1 为方程的两个根 因为a与 1的大小关系不知，所以要分类讨论）（1）当 a 1时，不等式的解集为 x|x 1或x a（2）当 a 1时，不等式的解集为 x|x a或 x 1（3）当 a 1时，不等式的解集为 x|x 1 综上所述：（1）当 a 1时，不等式的解集为 x|x 1或x a（2）当 a 1时，不等式的解集为 x|x a或 x 1（3）当
3、 a 1时，不等式的解集为 x|x 1 变题 1、解不等式 x2(a 1)x a 0；2、解不等式 x 2(a2 a)x a3 0。小结：讨论两个根的大小关系，尤其是变题 2 中 2 个根都有参数的要加强讨 论。例 2、解关于 x 的不等式 2x2 kx k 0 分析 此不等式为含参数 k 的不等式，当k 值不同时相应的二次方程的判别 式的值也不同，故应先从讨论判别式入手.解 k 2 8k k(k 8)(1)当 0,既k 8或k 0时,方程 2x2 kx k 0有两个不相等的实根。所以不等式 2x2 kx k 0的解集是：k k(k 8)k k(k 8)xx 44(2)当 0即k 8或k 0时
4、,方程 2x2 kx k 0有两个相等的实根，所以不等式 2x2 kx k 0的解集是 k，即 2，0；4(3)当 0,即 8 k 0时,方程 2x2 kx k 0无实根 所以不等式 2x2 kx k 0的 解集为。说明：一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函数有着密切的联系，要 注意数形结合研究问题。小结：讨论，即讨论方程根的情况。2二次项系数含参数(先对二次项系数讨论，分大于、等于或小于 0，然后能 分解因式先分解因式，不能得先考虑 0)例 3、解关于 x 的不等式：2 ax(a 1)x 1 0.解：若a 0，原不等式 x 10 x 1.若a 0，原不等式(x 1)(x a 1)0 x
5、1 或x 1 a 若a 0，原不等式(x 1)(x 1)0.()a 参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解首先是对不等式的类型即是那一种不等式的影响其次是字母对这个不等式的解的大小的影响我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解而难以顺利解决的问题下面举例说明以供同学们学习解含参的一元二次方程的解法在具体问题里面按分类的需要有讨论如下四种情况二次项的数判别式不等号方向根的大小一含参数的一元二次不等式的解法二次项数为常数能分解因式式的解集为当时不等式的解集为当时不等式的解集为当综上所述当当当时不等式的解集为时不等式的解集为时不等式的解集为或或解不等式解不等
6、式变题小结讨论两个根的大小关系尤其是变题中个根都有参数的要加强讨论例解关于其解的情况应由 1 与 1 的大小关系决定，故 a（1）当a 1时，式（）的解集为；（2）当a 1时，式（）1 x 1；a 1（3）当0 a 1时，式（）1 x 1.a 1 综上所述，当 a 0时，解集为 xx 1 或x 1；a 当 a 0 时，解集为 xx 1；当 0 a 1时，解集为 x1 x 1 ；a 1 当a 1时，解集为；当 a 1时，解集为 x 1 x 1.a 当 4 a 0时，解集为 R；例 4、解关于 x 的不等式：2 ax ax 1 0.解：ax2 ax 1 0.()（1）a 0时，（）1 0 x R.
7、（2）a 0时，则 a2 4a 0 a 0 或a 4，此时两根为 x1 a a2 4a a ，x2 a2 4a 当a 0时，0，当 4 a 0 时，当a 4时，0，当a 4时，0，上，可知当 a 0时，2a R且x a a2 4a a a2 4a或 x 2a a2 4a 2a 2a a a2 4a 2a a2 4a)；2a 2a 2a ()a a2 4a 0，(解集为（参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解首先是对不等式的类型即是那一种不等式的影响其次是字母对这个不等式的解的大小的影响我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解而难以顺利解决的问题下面举例
8、说明以供同学们学习解含参的一元二次方程的解法在具体问题里面按分类的需要有讨论如下四种情况二次项的数判别式不等号方向根的大小一含参数的一元二次不等式的解法二次项数为常数能分解因式式的解集为当时不等式的解集为当时不等式的解集为当综上所述当当当时不等式的解集为时不等式的解集为时不等式的解集为或或解不等式解不等式变题小结讨论两个根的大小关系尤其是变题中个根都有参数的要加强讨论例解关于当a 4时，解集为(,1)(1,);22 当a 4时，解集为(,a a 4a)(a a 4a,).2a 2a 例 5、解关于的 x 不等式(m 1)x2 4x 1 0(m R)分析：当m+1=0时,它是一个关于 x的一元一
9、次不等式；当m+1 1时，还需 对 m+10 及 m+10 来分类讨论，并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论：当 m0，图象开口向下，与 x 轴有两个不同交点，不 等式的解集取两边。当 1m0,图象开口向上，与 x 轴有两个不同交点，不等式的解集取中间。当 m=3 时，=4(3m)=0，图 象开口向上，与 x 轴只有一个公共点，不等式的解为方程 4x2 4x 1 0 的根。当 m3 时，=4(3m)3 时,原不等式的解集为 小结：解含参数的一元二次不等式可先分解因式再讨论求解，若不易分解，也可对判别式分类讨论。利用函数图象必须明确：图象开口方向，判别式 确定解的存在范围，两根大小。二次项的
10、取值(如取 0、取正值、取负值)对不等式实际解的影响。牛刀小试：解关于 x 的不等式 ax2 2(a 1)x 4 0,(a 0)思路点拨：先将左边分解因式，找出两根，然后就两根的大小关系写出解集 具体解答请同学们自己完成。二、含参数的分式不等式的解法：则当 m 1时，原不等式的解集为 当 1 m 3时,原不等式的2 3 m 2 3 m x|x 或 x m 1 m 1 2 3 m 2 3 m x|x m 1 m 1 参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解首先是对不等式的类型即是那一种不等式的影响其次是字母对这个不等式的解的大小的影响我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题同时还要注意是参数的选
11、取确定了不等式的解而难以顺利解决的问题下面举例说明以供同学们学习解含参的一元二次方程的解法在具体问题里面按分类的需要有讨论如下四种情况二次项的数判别式不等号方向根的大小一含参数的一元二次不等式的解法二次项数为常数能分解因式式的解集为当时不等式的解集为当时不等式的解集为当综上所述当当当时不等式的解集为时不等式的解集为时不等式的解集为或或解不等式解不等式变题小结讨论两个根的大小关系尤其是变题中个根都有参数的要加强讨论例解关于例 1：解关于 x 的不等式 2ax 1 0 x2 x 2 分析：解此分式不等式先要等价转化为整式不等式，再对 ax1 中的 a 进行 分类讨论求解，还需用到序轴标根法。解：原
12、不等式等价于(ax 1)(x 2)(x 1)0 当a=0 时，原不等式等价于(x 2)(x 1)0 解得 1 x 2，此时原不等式得解集为 x|1 x 2；1 当a 0 时,原不等式等价于(x 1)(x 2)(x 1)0,a 则：当 a 1时,原不等式的解集为 x|x 1且x 2；2 当 0a 1时,原不等式的解集为 x|x 1 或 1 x 2；2a 当 a 1 时,原不等式的解集为 x|1 x 1 或 x 2；2a 1 当a 1 和 a1 分为两类，再在 a1 的情况下，又要按两根 a 3 1 小结：本题在分类讨论中容易忽略 a=0的情况以及对 1，1和 2的大小 a 进行比较再结合系轴标根
13、法写出各种情况下的解集。解含参数不等式时，一要 考虑参数总的取值范围，二要用同一标准对参数进行划分，做到不重不漏，三要 使划分后的不等式的解集的表达式是确定的。对任何分式不等式都是通过移 项、通分等一系列手段，把不等号一边化为 0，再转化为乘积不等式来解决。3 解关于 x 的不等式：x2(a 2)x a 0.参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解首先是对不等式的类型即是那一种不等式的影响其次是字母对这个不等式的解的大小的影响我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解而难以顺利解决的问题下面举例说明以供同学们学习解含参的一元二次方程的解法在具体问题里面按分
14、类的需要有讨论如下四种情况二次项的数判别式不等号方向根的大小一含参数的一元二次不等式的解法二次项数为常数能分解因式式的解集为当时不等式的解集为当时不等式的解集为当综上所述当当当时不等式的解集为时不等式的解集为时不等式的解集为或或解不等式解不等式变题小结讨论两个根的大小关系尤其是变题中个根都有参数的要加强讨论例解关于与 2 的大小关系分为 a1 a 0,a 0和0 a 1三种情况。有很多同学找不到分类的依据，缺乏分类讨论的 意识，通过练习可能会有所启示。具体解答请同学们自己完成。上述两题分别代表一元二次不等式中多项式可否直接进行因式分解，其共同 点是二次项系数含参数，故需对二次项系数的符号进行讨
15、论.练习：1.解关于 x的不等式(x 2)(ax 2)0 参数可以从以下两个方面来影响不等式的求解首先是对不等式的类型即是那一种不等式的影响其次是字母对这个不等式的解的大小的影响我们必须通过分类讨论才可解决上述两个问题同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解而难以顺利解决的问题下面举例说明以供同学们学习解含参的一元二次方程的解法在具体问题里面按分类的需要有讨论如下四种情况二次项的数判别式不等号方向根的大小一含参数的一元二次不等式的解法二次项数为常数能分解因式式的解集为当时不等式的解集为当时不等式的解集为当综上所述当当当时不等式的解集为时不等式的解集为时不等式的解集为或或解不等式解不等式变题小结讨论两个根的大小关系尤其是变题中个根都有参数的要加强讨论例解关于