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1、学习必备 欢迎下载 二项式定理 1.二项式定理：)*()(011111100NnbaCbaCbaCbaCbannnnnnnnnnn.2.二项式定理的说明：（1）()nab的二项展开式是严格按照 a的降次幂（指数从n逐项减到0）、b的升次幂（数从0逐项减到n）排列的，其顺序不能更改，且各项关于 a、b 的指数之和等于n。所以()nab与()nba的二项展开式是不同的。（3）二项式项数共有(1)n项，是关于a与b的齐次多项式。（4）二项式系数：展开式中各项的系数为1rnC，1,.,3,2,1nr.（5）二项式通项：展开式中的第r项记作rT，）（1,.,3,2,1111nrbaCTrrnrnr，共有
2、(1)n项。（6）正确区分二项式系数与项的系数：二项式系数依次是012,.rnnnnnnCCCCC 项的系数是a与b的系数（包括二项式系数）。如：nnrrnnnnnnnnbCbaCbaCbaCaCba）（）（）（）（）（-nr2221110的 第 2 项的二次项系数为1nC，而第 2 项的系数为1nC.（7）常见二项式：令1,abx)*()1(111100NnxCxCxCxCxnnnnnnnnn；令1,abx)*()1()1(221100NnxCxCxCxCxnnnnnnnn.3.二项式系数的性质：（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等：即knnknnnnnnnCCCCCC,1
3、10.（2）二项式系数和：令1ab，则二项式系数的和为：nnnnnnnCCCC2110，变形有：12321nnnnnnCCCC.（3）15314202nnnnnnnCCCCCC；（4）求奇数项的系数和与偶数项的系数和：已知nnnxaxaxaxaaxa22332102.)(2，则 学习必备 欢迎下载 奇数项的系数和：naaaa2420.=_；偶数项的系数和：12531.naaaa=_；0011222012012001122202121001230123()()1,(1)1,(1)nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaxC a xC axC axC a xaa xa xa xx
4、aC a xC axC a xC a xa xa xa xaxaaaaaaxaaaaaa LLLLLL令则令则024135(1)(1),()2(1)(1),()2nnnnnnaaaaaaaaaaaa LL得奇数项的系数和得偶数项的系数和（5）二项式系数的最大项：如果二项式的指数n是偶数时，则中间项为第）（12n项的二项式系数2nnC取得最大值；如果二项式的指数n是奇数时，则中间项有两项，分别为第21n项和第23n项，对应的二项式系数12nnC，12nnC同时取得最大值。22212nnnnnbaCT，1-2121-221nnnnnbaCT，121-21223nnnnnbaCT.（6）系数的最大、
5、最小项的求法：求()nabx展开式中最大、最小项，一般采用待定系数 法。设展开式中各项系数分别为121,nA AA，设第1r 项系数最大，应有：rrAA 1且21rrAA；如果设第1r 项系数最小，应有211rrrrAAAA且，从而解出r的范围。4.怎么求展开式中含的系数，其中且？解：把视为二项式，先找出含有的项，另一方面在中含有的项为，故在中含的项为：，其系数为.ncba)(rqpcba,Nrqpnrqpnncbacba)()(rCrrnrnCbaC)(rnba)(qbqpqrnqqrnqrnbaCbaCncba)(rqpcbarqpqrnrncbaCCrrqpnpnqrnrnCCCpqrn
6、qrnqrnrnrnCC!)!(!)!()!(!升次幂数从逐项减到排列的其顺序不能更改且各项关于的指数之和等于所以与的二项展开式是不同的二项式项数共有项是关于与的齐次多项式二项式系数展开式中各项的系数为二项式通项展开式中的第项记作共有项正确区分二项式常见二项式令令二项式系数的性质对称性与首末两端等距离的两个二项式系数相等即二项式系数和令则二项式系数的和为变形有求奇数项的系数和与偶数项的系数和已知则学习必备欢迎下载奇数项的系数和偶数项的系数和令则令则数取得最大值如果二项式的指数是奇数时则中间项有两项分别为第项和第项对应的二项式系数同时取得最大值系数的最大最小项的求法求展开式中最大最小项一般采用待
7、定系数法设展开式中各项系数分别为设第项系数最大应有且如学习必备 欢迎下载 5.近似计算的处理方法：当a的绝对值很小（趋近于 0）且n不大时，常用近似公式，因为这时展开式的后面部分nnnnnnnnaCaCaCaC113322很小，可以忽略不计。类似地，有.但使用这两个公式时应注意a的条件，以及对计算精确度的要求。若精确度要求较高，则可以使用更精确的公式：.二项式定理常考题型 题型一：二项式定理的逆用 题型二：求二项展开式的特定项（1）求单个二项式指定幂的系数（2）求多个二项式乘积的展开式指定幂的系数（3）利用通项公式求常数项（4）求有理项（5）求中间项 题型三：求二项式系数或展开式系数最大或最小
8、项（1）一般的系数最大或最小问题（2）特殊的系数最大或最小问题（3）系数绝对值最大的项（4）二项式系数最大的项 题型四：赋值法求值 题型五：整除性 题型六：证明不等式 题型七：利用二项式定理求近似值 例 1.已知 C0n2C1n22C2n2nCnn729，则 C1nC3nC5n的值等于_ 例 2.二项式（3x+32）n（nN*）展开式中只有一项的系数为有理数，则 n 可能取值为（）A.6 B.7 C.8 D.9 例 3.若展开式前三项的二项式系数和等于79，求1(2)2nx的展开式中系数最大的项。naan1)1(naan1)1(22)1(1)1(xnnnxxn升次幂数从逐项减到排列的其顺序不能
9、更改且各项关于的指数之和等于所以与的二项展开式是不同的二项式项数共有项是关于与的齐次多项式二项式系数展开式中各项的系数为二项式通项展开式中的第项记作共有项正确区分二项式常见二项式令令二项式系数的性质对称性与首末两端等距离的两个二项式系数相等即二项式系数和令则二项式系数的和为变形有求奇数项的系数和与偶数项的系数和已知则学习必备欢迎下载奇数项的系数和偶数项的系数和令则令则数取得最大值如果二项式的指数是奇数时则中间项有两项分别为第项和第项对应的二项式系数同时取得最大值系数的最大最小项的求法求展开式中最大最小项一般采用待定系数法设展开式中各项系数分别为设第项系数最大应有且如学习必备 欢迎下载 例 4.
10、已知等式 x4=（x+1）4+b1（x+1）3+b2（x+1）2+b3（x+1）+b4，则 b1，b2，b3，b4的值分别为_ 例 5.若 n 是正整数，则122117777nnnnnnnCCC除以9 的余数是_ 例 6.证明：（1）Nnnnn,322 （2）当Nn且n1，求证：3)11(2nn 例 7.（2002 全国）据 2002 年 3 月 5 日九届人大五次会议政府工作报告：“2001 年国内生产总值达到 95933 亿元，比上年增长 7.3%”，如果“十五”期间（2001 年2005 年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十五”末我国国内年生产总值约为（）A.115000
11、 亿元 B.120000 亿元 C.127000 亿元 D.135000 亿元 变式训练：1.设二项式31(3)nxx的展开式的各项系数的和为p，所有二项式系数的和为s，若 272ps，则n等于_ 2.在（1+x）3+（1+x）4+（1+x）2007的展开式中，x3的系数等于_ 3.把 1+(1+x)+(1+x)2+(1+x)n展开成关于 x 的多项式，其各项系数和为 an，则2312lim2nnna等于_ 4.（2016 浦东新区一模）二项式nxx)21(的展开式前三项系数成等差数列，则_ 5.已知(x1)10a1a2xa3x2a11x10.若数列 a1，a2，a3，ak(1k11，kZ)是
12、一个单调递增数列，则 k的最大值是_ 6.若5.在1x51x3n的展开式中，所有奇数项的系数之和为 1 024，则中间项系数是_ 7.在(x1)(x2)(x3)(x4)(x5)的展开式中，含 x4的项的系数是_ n 12nxx升次幂数从逐项减到排列的其顺序不能更改且各项关于的指数之和等于所以与的二项展开式是不同的二项式项数共有项是关于与的齐次多项式二项式系数展开式中各项的系数为二项式通项展开式中的第项记作共有项正确区分二项式常见二项式令令二项式系数的性质对称性与首末两端等距离的两个二项式系数相等即二项式系数和令则二项式系数的和为变形有求奇数项的系数和与偶数项的系数和已知则学习必备欢迎下载奇数项
13、的系数和偶数项的系数和令则令则数取得最大值如果二项式的指数是奇数时则中间项有两项分别为第项和第项对应的二项式系数同时取得最大值系数的最大最小项的求法求展开式中最大最小项一般采用待定系数法设展开式中各项系数分别为设第项系数最大应有且如学习必备 欢迎下载 8.x2x2n展开式中只有第 6 项的二项式系数最大，则 n 等于_ 9.已知0a，若26(1)(1)xax的展开式中各项系数的和为 1458，则该展开式中2x项的系 数为_ 10.(2011 上海十三校二模)在二项式(x3x)n的展开式中，各项系数之和为 A，各项二项式系数之和为 B，且 AB72，则 n_ 11.（2015 闸北区二模）若二项
14、式展开式中只有第四项的系数最大，则这个展开式中任取一项为有理项的概率是_ 12.（2010 辽宁）261(1)()xxxx 的展开式中的常数项为_ 13.（2000 北京）求的展开式中有理项共有_项。14.（2015 全国）的展开式中，的系数为_ 15.（2x-1）（x+y）5的展开式中，x3y3的系数为_ 16.(1axby)n展开式中不含 x 的项的系数绝对值的和为 243，不含 y 的项的系数绝对值的和为32，则 a，b，n 的值可能为（）A.a2，b1，n5 B.a2，b1，n6 C.a1，b2，n6 D.a1，b2，n5 17.已知，则的值是_ 18.多项式 x10a0a1(x1)a
15、2(x1)2a10(x1)10，则 a8的值为_ 19.若多项式1010221010)1(.)1()1()2(xaxaxaax，则820.aaa的值为（）A.509 B.510 C.511 D.1022 20.设10992210101022101020)1()1()21(xxbxbxbbxaxaxaaxx，则9a_ 1nxx103)1(xx 25()xxy 52x y升次幂数从逐项减到排列的其顺序不能更改且各项关于的指数之和等于所以与的二项展开式是不同的二项式项数共有项是关于与的齐次多项式二项式系数展开式中各项的系数为二项式通项展开式中的第项记作共有项正确区分二项式常见二项式令令二项式系数的性
16、质对称性与首末两端等距离的两个二项式系数相等即二项式系数和令则二项式系数的和为变形有求奇数项的系数和与偶数项的系数和已知则学习必备欢迎下载奇数项的系数和偶数项的系数和令则令则数取得最大值如果二项式的指数是奇数时则中间项有两项分别为第项和第项对应的二项式系数同时取得最大值系数的最大最小项的求法求展开式中最大最小项一般采用待定系数法设展开式中各项系数分别为设第项系数最大应有且如学习必备 欢迎下载 21.已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7，求：（1）a1a2a7；（2）a1a3a5a7；（3）a0a2a4a6；（4）|a0|a1|a2|a7|.21.010110210310710810910
17、1098732CCCCCCCS_ 22.(2012 湖北)设 aZ，且 0 a13，若 512012a 能被 13 整除，则 a_ 23.数10101031032102110909090901CCCC除以 88 的余数是_ 24.求6998.2的近似值（精确到小数后第三位）。升次幂数从逐项减到排列的其顺序不能更改且各项关于的指数之和等于所以与的二项展开式是不同的二项式项数共有项是关于与的齐次多项式二项式系数展开式中各项的系数为二项式通项展开式中的第项记作共有项正确区分二项式常见二项式令令二项式系数的性质对称性与首末两端等距离的两个二项式系数相等即二项式系数和令则二项式系数的和为变形有求奇数项的系数和与偶数项的系数和已知则学习必备欢迎下载奇数项的系数和偶数项的系数和令则令则数取得最大值如果二项式的指数是奇数时则中间项有两项分别为第项和第项对应的二项式系数同时取得最大值系数的最大最小项的求法求展开式中最大最小项一般采用待定系数法设展开式中各项系数分别为设第项系数最大应有且如