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1、学习必备 欢迎下载 1(本小题满分 14 分)已知等差数列na的前n项和为ns,且35a,636S.()求数列na 的通项na;()设212nanb,求数列nb的前 n 项和nT.解:()由31612561536aadads 解得112ad 21nan 7 分()nnb2 12nnTbbb 221n 14 分 2、已知函数 f(x)=a0+a1=x+a2x2+a3x3+anxn(n Nn),且 y=f(x)的图象经过点(1,n2),数列an(n N+)为等差数列。(1)求数列an的通项公式;(2)当 n 为奇函数时,设 g(x)=)()(21xfxf,是否存在自然数 m和 M,使不等式 mg(
2、21)M恒成立,若存在,求出 M-m 的最小值;若不存在,说明理由。(1)据题意:f(1)=n2 即 a0+a1+a2+an=n2 令 n=1 则 a0+a1=1,a1=1-a0 令 n=2 则 a0+a1+a2=22,a2=4-(a0+a1)=4-1=3 令 n=3 则 a0+a1+a2+a3=32,a3=9-(a0+a1+a2)=9-4=5 an为等差数列 d=a3-a2=5-3=2 a1=3-2=1 a0=0 an=1+(n-1)2=2n-1 (2)由(1)f(x)=a1x1+a2x2+a3x3+anxn n为奇数时,f(-x)=-a1x1+a2x2-a3x3+an-1xn-1-anxn
3、 g(x)=nnnnxaxaxaxaxaxfxf22553311)()(21 nnnng)21)(12()21)(52()21(9)21(5211)21(253 2753)21)(12()21)(52()21(9)21(5)21(1)21(41nnnng 相减得 253)21)(12()21()21()21(4211)21(43nnng nnng)21(32)21(913914)21(令nnnC)21(32 *1Nn ,021)21(32nCCnnn 学习必备 欢迎下载 Cn+1Cn,Cn随 n 增大而减小 又n)21(913随 n 增大而减小 g(21)为 n 的增函数,当 n=1 时,g(
4、21)=21 而914)21(32)21(913914nnn 914)21(21g 使 mg(21)M恒成立的自然 m的最大值为 0,M最小值为 2。M-m 的最小值为 2。3、(本 小 题 12 分)已 知 函 数()sinf xxx,数 列 na 满 足:101a,1(),1,2,3,.nnaf an。证明:(1)101nnaa;(2)3116nnaa。证明:(I)先用数学归纳法证明01na,n1,2,3,(i).当 n=1 时,由已知显然结论成立;(ii).假设当 n=k 时结论成立,即01ka。因为 0 x0成 立.于 是31()0,sin06nnnng aaaa即故3116nnaa。
5、4.(本小题满分 12 已知等比数列xn的各项为不等于 1 的正数,数列n满足nlogxna=2(a0 且 a1),设3=18,6=12.()求数列n()试判断是否存在自然数M,使当nM时,xn1 恒成立?若存在,求出相应的M,()令an=logxnxn+1(n13,nN),试判断数列an 数为等差数列求数列的通项公式且的图象经过点数列当为奇函数时设是否存在自然数和使不等式恒成立若存在求出的最小值若不存在说明理由据题意即令则令则令则为等差数列由为奇数时相减得令学习必备欢迎下载随增大而减小又证明先用数学归纳法证明当时由已知显然结论成立假设当时结论成立即因为时所以在上是增函数又在上连续从而即故时结
6、论成立由可知对一切正整数都成立又因为时所以综上所述设函数由知当时从而所以在上是增函数又在上连续且时满足且恒成立若存在求出相应的令试判断数列学习必备欢迎下载解设的公比为为等差数列设公差为设前项为最大则前项和前项和为最大其和为则当时显然不成立当时存在当时若时数列为递减数列本小题满分分已知数列的前项和为学习必备 欢迎下载 解:()n=2logaxn 设xn的公比为q(q1)n+1-n=2(logaxn+1-logaxn)=2logannxx1=2logaq n为等差数列,设公差为d 2 3=18,6=12,d=-2,n=3+(n-3)(-2)=24-2n 设前k项为最大,则1211001kyykk
7、4 前 11 项和前 12 项和为最大,其和为 1325()xn=a12-n,nN*若xn1,则a12-n1 当a1 时,n12,显然不成立 7 当 0a1 时,n12 存在M=12,13,14 当nM时,xn1 9()an=1211loglog)1(12121nnaxnnanxn 10 0)12)(11(1121111101nnnnnnaann an+1an n13 时数列an为递减数列 12 5、(本小题满分 12 分)已知数列214n1的前 n 项和为 Sn,求nlimSn.解:n211111a4n12n12n12 2n12n1()()()故n12nSaaa 111 111111232
8、352 2n12n1()()()111111123352n12n1()11122n1()nnn111 limSlim122n12()6、(本小题满分 12 分)已知*Nn,证明:nn211214131211nnn212111 7.证明:用数学归纳法证明.数为等差数列求数列的通项公式且的图象经过点数列当为奇函数时设是否存在自然数和使不等式恒成立若存在求出的最小值若不存在说明理由据题意即令则令则令则为等差数列由为奇数时相减得令学习必备欢迎下载随增大而减小又证明先用数学归纳法证明当时由已知显然结论成立假设当时结论成立即因为时所以在上是增函数又在上连续从而即故时结论成立由可知对一切正整数都成立又因为时
9、所以综上所述设函数由知当时从而所以在上是增函数又在上连续且时满足且恒成立若存在求出相应的令试判断数列学习必备欢迎下载解设的公比为为等差数列设公差为设前项为最大则前项和前项和为最大其和为则当时显然不成立当时存在当时若时数列为递减数列本小题满分分已知数列的前项和为学习必备 欢迎下载(1)当1n时,左边=21211,右边21,等式成立;(2)假设当kn 时等式成立,即有:kk211214131211kkk212111.那么当1kn时,左边=)1(211)1(21211214131211kkkk kkk212111)1(21121kk 121213121kkkk)1(2111kk 2)1(11)1(1
10、kk)1()1(1)1(1kkkk=右边;所以当1kn时等式也成立.综合(1)(2)知对一切*Nn,等式都成立.8(本小题满分 12 分)等比数列na共有偶数项,且所有项之和是奇数项之和的 3 倍,前 3 项之积等于 27,求这个等比数列的通项公式。解:Sn=3 S奇S奇+qS奇=3S奇 q=2 又(a1q)3=27 a1q=3 a1=23 an=232n-1=32n-2 9(本小题满分 12 分)已知数列na的首项为1a=3,通项na与前 n 项和ns之间满足 2na=nsns1(n 2)。(1)求证:nS1是等差数列,并求公差;(2)求数列na的通项公式。解:(1)2(1nnSS)=1nn
11、SS21111nnSS 数为等差数列求数列的通项公式且的图象经过点数列当为奇函数时设是否存在自然数和使不等式恒成立若存在求出的最小值若不存在说明理由据题意即令则令则令则为等差数列由为奇数时相减得令学习必备欢迎下载随增大而减小又证明先用数学归纳法证明当时由已知显然结论成立假设当时结论成立即因为时所以在上是增函数又在上连续从而即故时结论成立由可知对一切正整数都成立又因为时所以综上所述设函数由知当时从而所以在上是增函数又在上连续且时满足且恒成立若存在求出相应的令试判断数列学习必备欢迎下载解设的公比为为等差数列设公差为设前项为最大则前项和前项和为最大其和为则当时显然不成立当时存在当时若时数列为递减数列
12、本小题满分分已知数列的前项和为学习必备 欢迎下载 nS1是等差数列,且公差为21(2)nSnSnn356)21)(1(311 当 n=1 时,a1=3 当 n2 时,an=SnSn-1=)83)(53(18nn 10(本小题满分 12 分)若数列na满足前 n 项之和22),(4211*bbabNnaSnnnnn且,求:(1)bn (2)na 的前 n 项和 Tn。解:当 n=1 时,1a=4a4a2S111 当2n 时,4a24a2SSa1nn1nnn 即1nna2a 2aa1nn 1nn2a n1n1nb22b 12b2bnn1n1n 又12b11 n11n12bnn)(nn2nb *Nn
13、 n2n2n2221T 1nn2n2n21n21T2)(两式相减得 221nT1nn)(*Nn 11(本小题满分 12 分)已知数列na中,a1=65,以 an-1,an 为系数的二次方程:an1x2anx+1=0 都有实根、,且满足 3+3=1。求证:an21是等比数列;求na的通项。解:3(+)=1 11311nnnaaa 数为等差数列求数列的通项公式且的图象经过点数列当为奇函数时设是否存在自然数和使不等式恒成立若存在求出的最小值若不存在说明理由据题意即令则令则令则为等差数列由为奇数时相减得令学习必备欢迎下载随增大而减小又证明先用数学归纳法证明当时由已知显然结论成立假设当时结论成立即因为时
14、所以在上是增函数又在上连续从而即故时结论成立由可知对一切正整数都成立又因为时所以综上所述设函数由知当时从而所以在上是增函数又在上连续且时满足且恒成立若存在求出相应的令试判断数列学习必备欢迎下载解设的公比为为等差数列设公差为设前项为最大则前项和前项和为最大其和为则当时显然不成立当时存在当时若时数列为递减数列本小题满分分已知数列的前项和为学习必备 欢迎下载 3 an=an-1+1 an21=31(an-121)an21是等比数列 an21=31(31)n-1=(31)n an=(31)n+21 12(本小题满分 12 分)已知等差数列na满足818163aa34aa31aa且,()求数列na的通项
15、公式;()把数列na的第 1 项、第 4 项、第 7 项、第 3n2 项、分别作为数列nb的第 1 项、第 2 项、第 3 项、第 n 项、,求数列nb2的所有项之和;(理科做,文科不做)()设数列nC的通项为nnb2nC,试比较2nnC1nnC2n1n)()(与2n(n+2)Cn+1的大小。解:()an为等差数列,31aaaa8163,又34aa81且81aa 求得1a1,34a8 公差317aad18*)(Nn34n311n311an()1ab11,0ab42 2n342n331ab2n3n)(2122222n2)1n(bbn1n nb2是首项为 2,公比为21的等比数列 nb2的所有项的
16、和为42112()nbn2nC )(2n1n1n2nnC2nn2C1nnC)()(=1n2nnbbb2)2n)(1n(n22)2n)(1n(n2)2n)(1n(n =)2222()2n)(1n(n1n2nnbbb =)2221(2)2n)(1n(nn1nn2nnbbbbb 数为等差数列求数列的通项公式且的图象经过点数列当为奇函数时设是否存在自然数和使不等式恒成立若存在求出的最小值若不存在说明理由据题意即令则令则令则为等差数列由为奇数时相减得令学习必备欢迎下载随增大而减小又证明先用数学归纳法证明当时由已知显然结论成立假设当时结论成立即因为时所以在上是增函数又在上连续从而即故时结论成立由可知对一切
17、正整数都成立又因为时所以综上所述设函数由知当时从而所以在上是增函数又在上连续且时满足且恒成立若存在求出相应的令试判断数列学习必备欢迎下载解设的公比为为等差数列设公差为设前项为最大则前项和前项和为最大其和为则当时显然不成立当时存在当时若时数列为递减数列本小题满分分已知数列的前项和为学习必备 欢迎下载 =0)1411(2)2n)(1n(n)2221(2)2n)(1n(nnnb12b 其中22n22nbbn2n)()(12n21nbbn1n)()(1n2nnC2nn2C1nnC2n1n)()()(13(本小题满分 14 分)已 知 数 列na中,121)0(,1nnaarraa且数列是 公 比 为q
18、(1q0q 且)的等比数列,又设),(321naabn21n2n。()求数列nb的通项nb及前 n 项和 Sn;()假设对任意 n1 都有 Snbn,求 r 的取值范围。解:()1nnaa是公比为q的等比数列,qaaaaaa1nn2n1nn2n 1n2a n2a分别是首项为1与r,公比均为q的等比数列 1n1n2qa,1nn2qra *)(Nnqr1aab1nn21n2n 1q q1q1r1qq1r1Sn1nn)()(()q1q1r1qq1q1r1bS1n1nnnn)()(对任意的1n,当1q0时,1q01n 0q1,0q11n 0q1q11n 当1q 时,1q1n 0q1,0q11n 0q1
19、q11n 故当1n 时,均有0q1q11n 当1r0时 0r1 则0bSnn 因此,对任意1n,使nnbS 的取值范围是1ro 14(本小题满分 12 分,第一小问满分 6 分,第二小问满分 6 分)已知数列(na)是等差数列,(nb)是等比数列,且 a1=b1=2,b4=54,a1+a3=b2+b3(1)求数列nb的通项公式(2)求数列na的前 10 项和 S10 解:(1)bn是等比数列,且 b1=2,b4=54,数为等差数列求数列的通项公式且的图象经过点数列当为奇函数时设是否存在自然数和使不等式恒成立若存在求出的最小值若不存在说明理由据题意即令则令则令则为等差数列由为奇数时相减得令学习必
20、备欢迎下载随增大而减小又证明先用数学归纳法证明当时由已知显然结论成立假设当时结论成立即因为时所以在上是增函数又在上连续从而即故时结论成立由可知对一切正整数都成立又因为时所以综上所述设函数由知当时从而所以在上是增函数又在上连续且时满足且恒成立若存在求出相应的令试判断数列学习必备欢迎下载解设的公比为为等差数列设公差为设前项为最大则前项和前项和为最大其和为则当时显然不成立当时存在当时若时数列为递减数列本小题满分分已知数列的前项和为学习必备 欢迎下载 q3=14bb=27 3 分 q=3 bn=b1 qn-1=2 3n-1 6 分(2)数列an是等差数列,a1+a2+a3=b2+b3,又 b2+b3=
21、6+18=24,a1+a2+a3=3a2=24,a2=8 从而 d=a2-a1=8-2=6 9 分 a10=a1+(10-1)d=2+96=56 S10=210)562(210)(101 aa=290 12 分 15 (本 题 满 分 14 分)在 数 列na中,前n项 和 为nS.已 知123,22aa 且012311nnnSSS(nN,且n2).()求数列na的通项公式;()求数列 nan的前n项和nT.解:(1).012311nnnSSS(nN+,且 n2)123210nnnSSS(nN+,且 n3)-得:11113202()nnnnnnnaaaaaaa 3 分 2121()2nnnaa
22、aa 即:312nnnaa 4122nnnaa 5232nnnaa 2112aa 上列各式相加得:221()nnanN (2).由 nna=nnn 22 得 Tn=)321(22322212101nnn 数为等差数列求数列的通项公式且的图象经过点数列当为奇函数时设是否存在自然数和使不等式恒成立若存在求出的最小值若不存在说明理由据题意即令则令则令则为等差数列由为奇数时相减得令学习必备欢迎下载随增大而减小又证明先用数学归纳法证明当时由已知显然结论成立假设当时结论成立即因为时所以在上是增函数又在上连续从而即故时结论成立由可知对一切正整数都成立又因为时所以综上所述设函数由知当时从而所以在上是增函数又在
23、上连续且时满足且恒成立若存在求出相应的令试判断数列学习必备欢迎下载解设的公比为为等差数列设公差为设前项为最大则前项和前项和为最大其和为则当时显然不成立当时存在当时若时数列为递减数列本小题满分分已知数列的前项和为学习必备 欢迎下载 令 An=21012232221nn 则 2 An=122122)1(232212nnnn9 分 An=12322)2222(021nnn10分 =12221)21(221nnn=12)1(23nn -11分 Tn=)321(22322212101nnn =12)1(23nn+)1(21nn -14分 16、(本小题 14 分)已知数列na的前n项和为pnnSn221
24、,nb的前n项和为12nnT,且44ba。(1)、求数列na、nb的通项公式;(2)、若对于数列nc有,nnbacn,请求出数列nc的前n项和nR 解:(1)由已知,211pnSSannn 2 分 112nnnnTTb 4 分 由44ba,得1422142p p21 nan 6 分(2)由(1)得,nnnnbac2n 7 分 nnnR22322213212 143222)1(2322212nnnnnR 10 分 -得,)2222(23211nnnnR 21)21(221nnn22)1(1nn 14 分 数为等差数列求数列的通项公式且的图象经过点数列当为奇函数时设是否存在自然数和使不等式恒成立若
25、存在求出的最小值若不存在说明理由据题意即令则令则令则为等差数列由为奇数时相减得令学习必备欢迎下载随增大而减小又证明先用数学归纳法证明当时由已知显然结论成立假设当时结论成立即因为时所以在上是增函数又在上连续从而即故时结论成立由可知对一切正整数都成立又因为时所以综上所述设函数由知当时从而所以在上是增函数又在上连续且时满足且恒成立若存在求出相应的令试判断数列学习必备欢迎下载解设的公比为为等差数列设公差为设前项为最大则前项和前项和为最大其和为则当时显然不成立当时存在当时若时数列为递减数列本小题满分分已知数列的前项和为学习必备 欢迎下载 数为等差数列求数列的通项公式且的图象经过点数列当为奇函数时设是否存在自然数和使不等式恒成立若存在求出的最小值若不存在说明理由据题意即令则令则令则为等差数列由为奇数时相减得令学习必备欢迎下载随增大而减小又证明先用数学归纳法证明当时由已知显然结论成立假设当时结论成立即因为时所以在上是增函数又在上连续从而即故时结论成立由可知对一切正整数都成立又因为时所以综上所述设函数由知当时从而所以在上是增函数又在上连续且时满足且恒成立若存在求出相应的令试判断数列学习必备欢迎下载解设的公比为为等差数列设公差为设前项为最大则前项和前项和为最大其和为则当时显然不成立当时存在当时若时数列为递减数列本小题满分分已知数列的前项和为