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1、名师精编 欢迎下载 课题：二项式定理 一、知识要点 1.二项式定理 一般地,对于任意整数n,都有nnnnnnnnbCbaCaCba 110)(,这个公式叫做二项式定理.【注意】等号右边的多项式叫做nba)(的二项展开式;),2,1,0(nrCrn叫做二项式系数,它与展开式中对应项的系数不一定相等,二项式系数rnC一定为正,而项的系数与ba,的系数有关,正负不能确定.公式右边共有1n项,比二项式的次数n大 1.各项的次数都等于二项式的幂指数n;字母a按降幂排列,次数由n递减到 0,字母b按升幂排列,次数由 0 递增到n.二项式定理表示一个恒等式,对于任意的ba,该等式都成立.通过对ba,取不同的
2、特殊值,可给某些问题的解决带来方便.令xba,1,则得到一个比较常用的公式:nnnnnnxCxCxCx2211)1(；若令1,1 ba,则得到一个组合数恒等式:nnnnnnCCCC2102；2.二项展开式的通项 二项展开式的第1r项),2,1,0(1nrbaCTrrnrnr叫做二项展开式的通项.【注意】它表示二项式展开的第1r项,该项的二项式系数是rnC,而不是1rnC;字母b的次数和组合数的上标相同;a与b的次数之和为n;n是常量,nr,2,1,0是变量;公式中第一个量a与第二个量b的位置不能颠倒;整理通项时,一般要将通项中的系数和字母分开整理;它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律
3、,是二项式定理的核心,它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应用.3.二项式系数的性质 一般地,nba)(展开式的二项式系数nnnnnCCCC210,有以下性质 名师精编 欢迎下载 rnnrnCC;rnrnrnCCC11;当21nr时,1rnrnCC;当21nr,rnrnCC 1,即当n为偶数时,二项式系数中,2nnC最大;当n为奇数时,二项式系数中,21nnC和21nnC（两者相等）最大.nnnnnnCCCC2210；131202nnnnnCCCC,即二项式展开式奇数项系数的和等于偶数项系数的和,二、金典题型 题型一:通项公式的应用 求二项式展开式中的有理项,一般是根据通项公式所得
4、到的项,其所有的未知数的指数恰好都是整数的项,解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数,根据具体要求,令其属于整数,再根据整数的整除性求解.若求二项展开式中的整式项,则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数,求解方式与求有理项一致.【例 1】已知在nxx3321的展开式中,第 6 项为常数项.求n;求含2x的项的系数;求展开式中所有的有理项.点评:解此类问题可以分两步完成:第一,根据所给出的条件（待定项）和通项公式,建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件（n,r均为非负整数,rn）;第二,根据所求的指数,再求所求解的项.【例 2】若nxx1展开式的二项式系数之和为
5、 64,则展开式的常数项为（）A.10 B.20 C.30 D.120 名师精编 欢迎下载 题型二:系数最大值问题 在求展开式中系数最大项时,可设第1r项的系数为1rt最大,则利用211rrrrtttt,解不等式组即可得出.【例 3】已知nxx2323展开式各项系数和比它的二项式系数和大 992.求展开式中二项式系数最大项;求展开式中系数最大项.点评:应注意区分项的系数和二项式系数两个概念.在求项的系数和时,常采用赋值法,求项的系数时,用1rT来求,而二项式系数能直接写出.【变式训练】1.nx21的展开式中第 6 项与第 7 项的系数相等,求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.题型三:赋
6、值法的应用 对形如nbax、mcbxax2),(Rcba的式子求其展开式的各项系数之和,常采用赋值法,只需令1x即可;对nbyax),(Rba的式子求其展开式各项系数之和,只需令1yx即可.【例 4】已知772210721xaxaxaax.求721aaa;7531aaaa;6420aaaa;|7210aaaa.名师精编 欢迎下载 【变式训练】2.对于12212xx的展开式,求求各项系数之和;奇数项系数之和;偶数项系数之和.三、基础落实 1.二项式521xx展开式中,x的系数为（）A.5 B.10 C.20 D.40 2.如果nxx2323的展开式中含有非零常数项,则正整数n可能是（）A.6 B
7、.8 C.9 D.10 3.已知nxx1的展开式中只有第四项的二项式系数最大,则展开式中的常数项等于（）A.15 B.-15 C.20 D.-20 4.若nxx13展开式中各项系数之和为 64,则展开式的常数项为（）A.-540 B.-162 C.162 D.540 5.在nxx312的展开式中,只有第 5 项的二项式系数最大,则展开式的常数项为（）A.-7 B.7 C.-28 D.28 6.在nxx2的二项展开式中,若常数项为 60,则n等于（）A.3 B.6 C.9 D12 7.61xmx的展开式中3x的系数为 15.则m的值为 .8.若)(*6271327NnCCnn,则nxx32的展开
8、式中的常数项是 .（用数字作答）9.已知92xxa的展开式中,3x的系数为94,则常数a的值为 .10.6)21(x展开式中,所有项的系数之和为 ;63)21)(1(xx展开式中5x的系数为 .四、课堂小结与作业 1.“各项的二项式系数”是指),2,1,0(niCin,而“某项的系数”是指这一项的所有的系数;只有当字母的系数为1时,某项的二项式系数与某项的系数才是相等的.2.二项式系数之和为nnnnnnCCCC2102;各项系数之和是每项的所有系数之和.3.因为二项式定理中的字母可取任意数或式,所以在解题时根据题意给字母赋值是求解的重要方法之一.名师精编 欢迎下载 4.注意rrnrnrbaCT1表示的是二项式展开式中的第1r项,而非第r项,此式为二次展开式的通项.【作业】见复印件