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1、 一、知识梳理 1数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每个数称为该数列的项.2通项公式：如果数列%的第川项与理之间可以用一个式子表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式，mi an=/(/?).3递推公式：如果已知数列”的第一项(或前几项).且任何一项 与它的前一项色-(或前几项)间的关系可以用一个式 子來表示.即=/(%)或=/(勺1，勺一2)，那么这个式子叫做数列仏的递推公式.如数列仏中，ax=1,=2aH+1.其中厲=2an+1是数列的递推公式.4数列的前”项和与通项的公式 5.数列的表示方法：解析法、图像法、列举法、递推法.6.数列的分类：有穷数列，无穷数列：递増数列
2、，递减数列,摆动数列，常数数列：有界数列.无界数列.递増数列:对于任何HWNI均有“处 atl.递减数列:对于任何n e?7+,均有“卄 an 摆动数列:例如：一1,1,一1,1,一1,常数数列：例如：6,6,6,6,有界数列:存在正数M使p|M 等差数列 1.等差数列的概念 如果一个数列从第二项起，每一项与它前-项的差等于同一个常数 这个数列叫做等差数列，常数称为等差数列的公差.2 通项公式与前“项和公式 通项公式cin=a+(n-)d 9 q为首项，d为公差.3.等差中项 如果匕4成等差数列.那么A叫做与b的等差中项.即：A是a与方的等差中项O2A=d+bU，A.方成等差数列.4.等差数列
3、的判定方法 定义法：dN+，是常数)0仏是等差数列：中项法：2纵=an+%+2 5 已0 ctn是等差数列.5.等差数列 数列“是等差数列，则数列+/(是常数)都是等差数列:在等差数列,中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即为等差数列.公差为/2)等比数列 1 等比数列的概念 如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数q（q H 0），这个数列叫做等比数 列，常数。称为等比数列的公比.2 通项公式与前 项和公式 通项公式：山=%广,为首项，为公比.前n项和公式：肖g=1时.Sn=na 3.等比中项 如果“,G,b成等比数列，那么G叫做。与Z?的等比中项.即：G是a与Z?的等
4、差中项UA,方成等差数列=G2=b 4.等比数列的判定方法 定义法：3=g q 羊0是常数）cin是等比数列：中项法：a,=an-atl2（n e N*）且 HO o 是等比数列.5.等比数列 数列仏是等比数列，则数列pan.j）an（QHO是常数）都是等比数列:在等比数列仏中等距离取出若干项也构成一个等比数列,即为等比数列，公比为/=amq,-m（njneNJ 若m+/?=/?+q（m、n、p、q EN）则am-an=ap 若等比数列an 的前n项和则S2k 一 Sk、S 或一、S4k 一 S3k是等比数列.二、典型例题 1）根据基本量求解（方程的思想）1、已知S”为等差数列“”的前项和,5
5、=9,a9=-6,S”=63,求”：2、等差数列。”中，勺=1且勾 绻，5）成等比数列，求数列心前20项的和S20.3、设仏是公比为正数的等比数列,若绚=1“=16,求数列仏前7项的和.4、已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为37,中间两数之和为36,求这 四个数.2）根据数列的性质求解（整体思想）1、已知S”为等差数列仏的前项和，6=18,则Sn=_:2、设S“、7；分别是等差数列仏、bn的前项和，字=二，则学=T n+3 b2）/1=2,求求数列的通项公式；%H+1 C、构造新数列 1递推关系形如利用待定系数法求解 例、已知数列勺中,务=1卫曲=2陽+3,求
6、数列仏的通项公式.2递推关系形如“，两边同除呵或待泄系数法求解 例、山=1,an+I=2an+3,求数列an的通项公式.3递推已知数列仏中，关系形如“=利用待泄系数法求解 例、已知数列an中,=1卫2=2,a,=3%i-2an,求数列an 的通项公式.列的第川项与理之间可以用一个式子表示那么这个公式叫做这个数列的通项公式递推公式如果已知数列的第一项或前几项且任何一项与它的前一项色或前几项间的关系可以用一个式子來表示即或勺勺一那么这个式子叫做数列仏的递法数列的分类有穷数列无穷数列递増数列递减数列摆动数列常数数列有界数列无界数列递増数列对于任何均有处递减数列对于任何均有卄摆动数列例如一一一常数数列
7、例如有界数列存在正数使无界数列对于任何正数总有项厂使得等称为等差数列的公差通项公式与前项和公式通项公式为首项为公差等差中项如果匕等差数列那么叫做与的等差中项即是与方的等差中项方等差数列等差数列的判定方法定义法是常数仏是等差数列中项法纵已是等差数列等差数列数列4递推关系形Wan-pa,=qananp,qHO),两边同除以一 例.已知数列仏中，=2anann 2),ax=2,求数列仏的通项公式.例2、数列”中，(町一 2,如一 M(n e NJ,求数列仏的通项公式.4+an d、给出关于S.和的关系 例 1、设数列”的前项和为S”，已知q=d,d”+|=S“+3(”wN+),设bn=Sn-3n,求
8、数列化的通项公式.例2、设S”是数列仏的前”项和，,=1,S：=(s”*”n2).求仏的通项：C 设叽=石齐，求数列h 的前项和几列的第川项与理之间可以用一个式子表示那么这个公式叫做这个数列的通项公式递推公式如果已知数列的第一项或前几项且任何一项与它的前一项色或前几项间的关系可以用一个式子來表示即或勺勺一那么这个式子叫做数列仏的递法数列的分类有穷数列无穷数列递増数列递减数列摆动数列常数数列有界数列无界数列递増数列对于任何均有处递减数列对于任何均有卄摆动数列例如一一一常数数列例如有界数列存在正数使无界数列对于任何正数总有项厂使得等称为等差数列的公差通项公式与前项和公式通项公式为首项为公差等差中项
9、如果匕等差数列那么叫做与的等差中项即是与方的等差中项方等差数列等差数列的判定方法定义法是常数仏是等差数列中项法纵已是等差数列等差数列数列C、证明数列是等差或等比数列 1)证明数列等差 例1、已知S”为等差数列的前”项和，仇丄求证：数列是等差数列.n 例2、已知数列”)的前项和为S,”且满足血+2S”S”1=0(心2),1=：.求证:2)证明数列等比 例1、设如是等差数列，价=(，求证：数列九是等比数列：例2、设S”为数列仏的前”项和，已知bail-T=(b-)Slt 证明：当b=2时，厲“七心是等比数列：求的通项公式 例3、已知数列an满足=1,偽=3,%2=3爲+|-2a“(neN).证明：
10、数列all+-a是等比数列；求数列的通项公式：若数列仇满足=(%+1)仪(n e M),证明bt是等差数列.D、求数列的前 n 项和 基本方法：1)公式法，2)拆解求和法.例1、求数列2*1+2n-3的前n项和S”.例2、求数列1丄,2丄,3丄,(“+丄),的前项和S”.2 4 8 2 例 3、求和：2X5+3X6+4X7+-+n(n+3)2)裂项相消法，数列的常见拆项有：一1一=-(-一)；1_=后1_眉;n(n+k)k n n+k JH+JH+I 例 1、求和：5=1+!+一!+-!-1+2 1+2+3 1+2+3+例 2.求和：一+厂 +,_ +一 x/2+1 V5+V4+J 3 Jn+
11、1+n 3)倒序相加法，x2 例、设 f(x)=求：1+A/(|)+/(|)+/(I)+/(2)+/(3)+/(4):/(血)+/(磊)+/(+/(+)+/+/(2009)+/(2010).4)错位相减法，例、若数列”的通项a”=(2_l).3”,求此数列的前“项和S”.5)对于数列等差和等比混合数列分组求和 例、已知数列的前n项和Sa=12n-n求数列的前力项和=E、数列单调性最值问题 例1、数列仏中,=2/2-49,当数列an 的前”项和Sn取得最小值时，n=_.例2、已知S”为等差数列“”的前项和，q=25,佝=16.当“为何值时，S”取得最大值；例3、数列仏中，=32-28H+1,求心
12、取最小值时的值.例4、数列a 中,an=n-yin2+2,求数列an的最大项和最小项.丄是等差数列:列的第川项与理之间可以用一个式子表示那么这个公式叫做这个数列的通项公式递推公式如果已知数列的第一项或前几项且任何一项与它的前一项色或前几项间的关系可以用一个式子來表示即或勺勺一那么这个式子叫做数列仏的递法数列的分类有穷数列无穷数列递増数列递减数列摆动数列常数数列有界数列无界数列递増数列对于任何均有处递减数列对于任何均有卄摆动数列例如一一一常数数列例如有界数列存在正数使无界数列对于任何正数总有项厂使得等称为等差数列的公差通项公式与前项和公式通项公式为首项为公差等差中项如果匕等差数列那么叫做与的等差
13、中项即是与方的等差中项方等差数列等差数列的判定方法定义法是常数仏是等差数列中项法纵已是等差数列等差数列数列例5、设数列%的前“项和为S”.已知q=a,%|=S”+3”，“N.(I)设bn=Sn-r,求数列仇的通项公式;(II)若务+0%,求a的取值围.例6、已知S”为数列%的前项和,q=3,=2a(n2).求数列仏的通项公式：数列”中是否存在正整数使得不等式 叶对任意不小于的正整数都成立？若存在，求最小的正整 数若不存在，说明理由.例7、非等比数列中，前”项和S”=-扣“-1尸，(1)求数列“”的通项公式：(2)设化=川二)gN*),T“=bZ?+,是否存在最大的整数加，使得对任意的”均有人善
14、总成 立？若存在，求出用；若不存在，请说明理由。列的第川项与理之间可以用一个式子表示那么这个公式叫做这个数列的通项公式递推公式如果已知数列的第一项或前几项且任何一项与它的前一项色或前几项间的关系可以用一个式子來表示即或勺勺一那么这个式子叫做数列仏的递法数列的分类有穷数列无穷数列递増数列递减数列摆动数列常数数列有界数列无界数列递増数列对于任何均有处递减数列对于任何均有卄摆动数列例如一一一常数数列例如有界数列存在正数使无界数列对于任何正数总有项厂使得等称为等差数列的公差通项公式与前项和公式通项公式为首项为公差等差中项如果匕等差数列那么叫做与的等差中项即是与方的等差中项方等差数列等差数列的判定方法定义法是常数仏是等差数列中项法纵已是等差数列等差数列数列