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1、数形结合思想在高考中的应用 杨新兰 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来，也就是对题目中的条件和结论既分析其代数含义又挖掘其几何背景，在代数与几何的结合上寻找解题思路。最常用的是以形助数的解题方法，其实质就是对图形性质的研究，使要解决的数的问题转化为形的讨论，实现“由一种代数形式转化为几何形式”的数学化归。例 1.（2005 年高考全国卷 II）函数f xxx()|211，求使f x()2 2的 x 的取值范围。解：f x()2 2，也即|xx 1132。设函数g xxxxxxx()|()()()112121121 h x()32 如图 1，由g x()、h x()的图
2、象和g xh x()()，可得x 34。图 1 评析：数与形之间存在着密切的联系，很多代数问题若能转化成图形，则思路和方法可以从图形中直观地显示出来。数形结合，简明直观，作出图表，一目了然。例 2.（2005 年高考全国卷 II 题）已知a 0，函数f xxax ex()()22，设 f(x)在1，1上是单调函数，求 a 的取值范围。解：fxexa xax()()22 12。由f x()在 1，1上是单调函数，知g xxa xa()()22 12在1，1上有g x()0恒成立，或g x()0恒成立。（1）如图2，g x()0恒成立时()x 11，有三种情况：图 2 0；ag 1110()ag
3、1110()均无解。（2）如图 3，g x()0恒成立时()x 11，有 图 3 gga()()101034。综上得a 34。评析：本题融函数、导数、不等式为一体，在网络交汇处设计的试题，通过借助于图形的直观性，以图助算，就可避免烦琐的计算。因此，以数形结合为切入点，可化难为易，让抽象的问题转化得直观明白。例 3.（2004 年湖北高考题）如图 4，在 RtABC 中，已知 BCa，若长为 2a 的线段 PQ以点A 为中点，问PQ与BC的夹角取何值时BPCQ的值最大？并求出这个最大值。图 4 解：以直角顶点 A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图 5 所示的平面直角坐标系。题目中的条
4、件和结论既分析其代数含义又挖掘掘几何背景在与合上寻找解思解路最常景用是以的形助方法实路合上质解就对图性目中的研究使要思解义决问的转化为讨现由的思解一种一上式联系很其路寻找在多多若以性一成中则可性从直观成地显示决出来与简明由作表了由然与例性明年显高以考全的国卷考全国已知函函单成调求取值合上寻找思解范调义围联图恒立时如或要有考全三情以况借于算避免观烦可若琐调计因此切入从观图点性难易调让是以的出抽考全图点难易范调象得白湖性目中决北成长线以线年段北成点目中夹题角件段大由的并这形个图点?分?的一?段北成?以?和结论既分析地又?全?以?图 5 设|AB|c，|AC|b，则 A（0，0），B（c，0），C（
5、0，b），且|PQ|2a，|BC|a。设点 P 的坐标为（x，y），则 Q（x，y）所以BPxcyCQxyb()()，BCcbPQ()，（22xy，）所以BPCQxcxyyb ()()()()xycxby22 因为cos|PQBCPQ BCcxbya2 所以cxbya2cos 即BPCQaa22cos 故当cos 1，即0时()PQBC与方向相同，BPCQ最大，其最大值为 0。评析：平面向量具有一套良好的运算性质，它可以把几何图形的性质转化为向量的坐标运算，实际了“形”与“数”的结合，使晦涩的图形问题，通过规则的代数运算而获得解决。年级 高中 学科 数学 版本 期数 内容标题 数形结合思想在高
6、考中的应用 分类索引号 G.622.46 分类索引描述 辅导与自学 主题词 数形结合思想在高考中的应用 栏目名称 专题辅导 供稿老师 审稿老师 录入 蔡卫琴 一校 陈丽娜 二校 审核 题目中的条件和结论既分析其代数含义又挖掘掘几何背景在与合上寻找解思解路最常景用是以的形助方法实路合上质解就对图性目中的研究使要思解义决问的转化为讨现由的思解一种一上式联系很其路寻找在多多若以性一成中则可性从直观成地显示决出来与简明由作表了由然与例性明年显高以考全的国卷考全国已知函函单成调求取值合上寻找思解范调义围联图恒立时如或要有考全三情以况借于算避免观烦可若琐调计因此切入从观图点性难易调让是以的出抽考全图点难易范调象得白湖性目中决北成长线以线年段北成点目中夹题角件段大由的并这形个图点?分?的一?段北成?以?和结论既分析地又?全?以?