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1、学习必备 欢迎下载 数形结合思想在解题中的应用 教学目标：1利用图形来处理方程及函数问题和不等式问题，求函数的值域，最值等问题时能运用数形结合思想，避免复杂的计算与推理，在解题时能提高效率.2增养学生问题转化的意识.重点：“以形助数”，培养学生在解题过程中运用数形结合的意识.难点：由数到形的转化.数形结合作为一种重要的数学思想，历年来一直是高考考查的重点之一.这种思想体现在解题中，就是指在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图象有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐复合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决.数形结合思想常常
2、利用到的数学模型有：（1）函数的图象，（2）斜率公式，截距（3）两点间距离公式，（4）点到直线的距离，（5）单位圆，韦恩图，数轴.题型一：利用数形结合的方法解决有关方程问题：【例题分析】例 1.若关于x的方程x kx k22 3 0 的两根分布在0 x的两侧，求k的取值范围.解：由y f x()k kx x 3 22 的图象可知，要使两根在0 x的两侧 只需0)0(f解得0 k，故)0,(k 说明：f x x kx k()22 3，其图象与x轴交点的横坐标就是方程f x()0的根，根据函数图象的性质可以得出对应的方程情况。例 2.已知0 1 a，则方程a xxa|log|的实根个数为（）A.1
3、 个 B.2 个 C.3 个 D.1 个或 2 个或 3 个 解：判断方程的根的个数就是判断y a y xxa|log|与图象的交点个数，画出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有 2 个实根，选 B.学习必备 欢迎下载 变式 1：方程)1 0(22 a a x ax且的解的个数为 _.题型二：利用数形结合法解决不等式问题 例 3不等式x x 2的解集是 _.解：令21 x y，x y 2，则不等式x x 2的解就对应于：函数21 x y的图象在x y 2上方的图象的部分在x轴上的射影.如图，不等式的解集为 2 2 x x.变式:对一切实数,x不等式m x x 2 1恒成立，求实数m的
4、取值范围.题型三：利用数形结合法解决有关最大值和最小值问题 例 4.如果实数x y，满足()x y 2 32 2，则yx的最大值为（）A.12 B.33 C.32 D.3 解：等式()x y 2 32 2有明显的几何意义，它表示坐标平面上的一个圆，圆心为()2 0，半径r 3，（如图），而yxyx00则表示圆上的点()x y，与坐标原点（0，0）的连线的斜率，如此一来，该问题可转化为如下几何问题：动点A在以（2，0）为圆以3 为半径的圆上移动，求直线OA的斜率的 最大值，由图可见，当点A在第一象限，且与圆相切时，OA的斜率最大，经简单计算，得最大值为3 60 tan.值域最值等问题时能运用数形
5、结合思想避免复杂的计算与推理在解题时能提高效率增养学生问题转化的意识重点以形助数培养学生在解题过程中运用数形结合的意识难点由数到形的转化数形结合作为一种重要的数学思想历年来一直 有机结合起来思索促使抽象思维和形象思维的和谐复合通过对规范图形或示意图形的观察分析化抽象为直观化直观为精确从而使问题得到简解决数形结合思想常常利用到的数学模型有函数的图象斜率公式截距两点间距离公式点到直 的两侧求的取值范围解得的图象可知要使两根在的两侧故解由只需说明其图象与轴交点的横坐标就是方程函数图象的性质可以得出对应的方程情况例已知的实根个数为个则方程个或个或个个个的根根据解判断方程的根的个数就是判学习必备 欢迎下
6、载 变式 1.求函数yxxsincos22的值域.变式 2.已知x y、满足x yy x2 216 251 3，求的最大值与最小值.说明：数形结合法解决数学问题的关键是要找到数学量的几何意义或者几何图形的性质，然后根据题意构造几何图形，实现代数和几何的相互联系.课堂小结：本节课学习了一个思想，即数形结合思想 三种题型中的应用 数形结合思想在求最值中的应用 数形结合思想在不等式的应用 数形结合思想在方程中 实现数形结合，常常涉及以下内容：1.实数与数轴上的点的对应关系；2.函数与图象的对应关系；3.曲线与方程的对应关系；4.以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如向量、三角函数等；5.所给的
7、等式或代数式的结构含有明显的几何意义.数形结合思想是解答数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解决选择、填空题时发挥着奇特功效，复习中要以熟练技能、方法为目标，加强这方面的训练，以提高解题能力和速度.作业：1.若集合M x yxy()|cossin()，330，集合 N x y y x b()|，且M N，则b的取值范围为 _。2.点M是椭圆x y2 225 161 上一点，它到其中一个焦点F1的距离为 2，N为MF1的中点，O表示原点，则|ON（）A.32 B.2 C.4 D.8 3.双曲线 C 的两个焦点是 F1、F2，双曲线上任意一点 P，过 F2作 F1PF2的平分线的垂线平分线交于
8、M，则 M 的轨迹是（）A.圆 B.直线 C.双曲线 D.抛物线 值域最值等问题时能运用数形结合思想避免复杂的计算与推理在解题时能提高效率增养学生问题转化的意识重点以形助数培养学生在解题过程中运用数形结合的意识难点由数到形的转化数形结合作为一种重要的数学思想历年来一直 有机结合起来思索促使抽象思维和形象思维的和谐复合通过对规范图形或示意图形的观察分析化抽象为直观化直观为精确从而使问题得到简解决数形结合思想常常利用到的数学模型有函数的图象斜率公式截距两点间距离公式点到直 的两侧求的取值范围解得的图象可知要使两根在的两侧故解由只需说明其图象与轴交点的横坐标就是方程函数图象的性质可以得出对应的方程情
9、况例已知的实根个数为个则方程个或个或个个个的根根据解判断方程的根的个数就是判学习必备 欢迎下载【针对训练】一.选择题：1.方程lg sin x x 的实根的个数为（）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2.函数y a x y x a|与的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是（）A.()1，B.()1 1，C.()，1 1 D.()()，1 1 3.设命题甲：0 3 x，命题乙：|x 1 4，则甲是乙成立的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.不充分也不必要条件 4.若不等式x a x a()0的解集为 x m x n|，且|m n a 2，则a的值为（）
10、A.1 B.2 C.3 D.4 5.若x()1 2，时，不等式()log x xa 12恒成立，则a的取值范围为（）A.()0 1，B.()1 2，C.(1 2，D.1 2，6.定义在R上的函数y f x()在()，2上为增函数，且函数y f x()2的图象的对称轴为x 0，则（）A.f f()()1 3 B.f f()()0 3 C.f f()()1 3 D.f f()()2 3 二.填空题：7.若f x x bx c()2对任意实数t，都有f t f t()()2 2，则f f()()1 3，f()4由小到大依次为 _.8.若关于x的方程x x m24 5|有四个不相等的实根，则实数m的取
11、值范围为_.9.函数y x x x x 2 22 2 6 13的最小值为 _.10.若直线y x m 与曲线y x 12有两个不同的交点，则实数m的取值范围是_.三.解答题：11.若方程lg()lg()x x m x23 3在 0 3，上有唯一解，求m的取值范围.12.若不等式4 12x x a x()的解集为A，且 A x x|0 2，求a的取值范围.13.设a a 0 1 且，试求下述方程有解时k的取值范围：log()log()aax ak x a 22 2 值域最值等问题时能运用数形结合思想避免复杂的计算与推理在解题时能提高效率增养学生问题转化的意识重点以形助数培养学生在解题过程中运用数
12、形结合的意识难点由数到形的转化数形结合作为一种重要的数学思想历年来一直 有机结合起来思索促使抽象思维和形象思维的和谐复合通过对规范图形或示意图形的观察分析化抽象为直观化直观为精确从而使问题得到简解决数形结合思想常常利用到的数学模型有函数的图象斜率公式截距两点间距离公式点到直 的两侧求的取值范围解得的图象可知要使两根在的两侧故解由只需说明其图象与轴交点的横坐标就是方程函数图象的性质可以得出对应的方程情况例已知的实根个数为个则方程个或个或个个个的根根据解判断方程的根的个数就是判学习必备 欢迎下载【试题答案】一.选择题：1.C 解：画出y x y x sin lg，在同一坐标系中的图象即可。确定 l
13、gx=1 的解为 x=10，y=lgx 在(0，+)内递增，5sin sin 12 2，所以x sin y 和x lg y 的图象应该有三个交点。xyO1-1234y=sinxy=lgx 2.D 解：画出y a x y x a|与的图象.xy0k=1(a0)xy0k=-1y=a|x|(a0)y=x+a 情形 1：aaa 011 情形 2：aaa 011 3.A 解：命题甲：0 3 x，命题乙：-3，由甲可以得出乙，反之不成立 4.B 解：画 出y x a y x，的 图 象，依 题 意，m a n a，从 而a a a a 0 2 或，由a a 0 2，取 xy0ny=x+ay=x-am 5.
14、C 解：令y x y xa 1221()log，若a 1，两函数图象如下图（一）所示，显然当x()1 2，时，要使y y1 2，只需使log()a2 2 12，即a 2。综上可知，当1 2 a时，不等式()log x xa 12对x()1 2，恒成立 值域最值等问题时能运用数形结合思想避免复杂的计算与推理在解题时能提高效率增养学生问题转化的意识重点以形助数培养学生在解题过程中运用数形结合的意识难点由数到形的转化数形结合作为一种重要的数学思想历年来一直 有机结合起来思索促使抽象思维和形象思维的和谐复合通过对规范图形或示意图形的观察分析化抽象为直观化直观为精确从而使问题得到简解决数形结合思想常常利
15、用到的数学模型有函数的图象斜率公式截距两点间距离公式点到直 的两侧求的取值范围解得的图象可知要使两根在的两侧故解由只需说明其图象与轴交点的横坐标就是方程函数图象的性质可以得出对应的方程情况例已知的实根个数为个则方程个或个或个个个的根根据解判断方程的根的个数就是判学习必备 欢迎下载 若 0 1 a，两 函 数 图 象 如 右 图（二）所 示，显 然 当 x()1 2，时，不 等 式()log x xa 12恒不成立。6.A 解：的图象是由f x()的图象向左平移 2 个单位而得到的，又知f x()2的图象关于直线x 0（即y轴）对称，故可推知，f x()的图象关于直线x 2对称，由f x()在(
16、)，2上为增函数，可知f x()在()2，上为减函数，依此易比较函数值的大小。二.填空题：7.解：f f f()()()1 4 3 由f t f t()()2 2 知，f x()的图象关于直线x 2对称，又f x x bx c()2为二次函数，其图象是开口向上的抛物线，由f x()的图象，易知f f f()()()1 3 4，的大小。8.解：m()1 5，设y x x y m1224 5|，画出两函数图象示意图，要使方程x x m24 5|有四个不相等实根，只需使1 5 m 值域最值等问题时能运用数形结合思想避免复杂的计算与推理在解题时能提高效率增养学生问题转化的意识重点以形助数培养学生在解题
17、过程中运用数形结合的意识难点由数到形的转化数形结合作为一种重要的数学思想历年来一直 有机结合起来思索促使抽象思维和形象思维的和谐复合通过对规范图形或示意图形的观察分析化抽象为直观化直观为精确从而使问题得到简解决数形结合思想常常利用到的数学模型有函数的图象斜率公式截距两点间距离公式点到直 的两侧求的取值范围解得的图象可知要使两根在的两侧故解由只需说明其图象与轴交点的横坐标就是方程函数图象的性质可以得出对应的方程情况例已知的实根个数为个则方程个或个或个个个的根根据解判断方程的根的个数就是判学习必备 欢迎下载 9.解：最小值为13 对x x x x2 2 2 22 2 1 1 1 1 0()()()
18、，联想到两点的距离公式，它表示点()x，1到（1，0）的距离；x x x2 2 26 13 3 1 3()()表示点()x，1到点（3，3）的距离，于是y x x x x 2 22 2 6 13表示动点()x，1到两个定点（1，0），（3，3）的距离之和，结合图形，易得ymin 13。10.解：m(2 1，y x m 表示倾角为45，纵截距为 m的直线族，而y x 12则表示以（0，0）为圆心，以 1 为半径的圆在x轴上方的部分（包括圆与x轴的交点）如下图所示，显然，欲使直线与半圆有两个不同交点，只需直线的纵截距 m)1 2，即m(2 1，值域最值等问题时能运用数形结合思想避免复杂的计算与推理
19、在解题时能提高效率增养学生问题转化的意识重点以形助数培养学生在解题过程中运用数形结合的意识难点由数到形的转化数形结合作为一种重要的数学思想历年来一直 有机结合起来思索促使抽象思维和形象思维的和谐复合通过对规范图形或示意图形的观察分析化抽象为直观化直观为精确从而使问题得到简解决数形结合思想常常利用到的数学模型有函数的图象斜率公式截距两点间距离公式点到直 的两侧求的取值范围解得的图象可知要使两根在的两侧故解由只需说明其图象与轴交点的横坐标就是方程函数图象的性质可以得出对应的方程情况例已知的实根个数为个则方程个或个或个个个的根根据解判断方程的根的个数就是判学习必备 欢迎下载 三.解答题：11.解：原
20、方程等价于 x x mxxx x m xx x mxx x m22223 03 00 33 33 00 34 3 则上述不等式组在0 3)，上只有一个解。令y x x y m1224 3，在同一坐标系内，画出它们的图象。其中注意0 3 x，当且仅当两函数的图象在 0，3）上有唯一公共点时，原方程有唯一解，由下图可见，当m 1或 3 0 m时，原方程有唯一解，因此m的取值范围为 3 0 1，说明：一般地，研究方程时，需先将其作等价变形，使之简化，再利用函数图象的直观性研究方程的解的情况。12.解：令y x x y a x1224 1，()，其中y x x124 表示以（2，0）为圆心，以 2 为
21、半径的圆在x轴的上方的部分（包括圆与x轴的交点），如下图所示，y a x21()表示过原点的直线系，不等式4 12x x a x()的解即是两函数图象中半圆在直线上方的部分所对应的x值，由于不等式解集 A x x|0 2，因此只需要a 1 1 a 2 a的取值范围为()2，13.解：将原方程化为log()loga ax ak x a 2 2 x ak x a2 2，且x ak x a 0 02 2，值域最值等问题时能运用数形结合思想避免复杂的计算与推理在解题时能提高效率增养学生问题转化的意识重点以形助数培养学生在解题过程中运用数形结合的意识难点由数到形的转化数形结合作为一种重要的数学思想历年来
22、一直 有机结合起来思索促使抽象思维和形象思维的和谐复合通过对规范图形或示意图形的观察分析化抽象为直观化直观为精确从而使问题得到简解决数形结合思想常常利用到的数学模型有函数的图象斜率公式截距两点间距离公式点到直 的两侧求的取值范围解得的图象可知要使两根在的两侧故解由只需说明其图象与轴交点的横坐标就是方程函数图象的性质可以得出对应的方程情况例已知的实根个数为个则方程个或个或个个个的根根据解判断方程的根的个数就是判学习必备 欢迎下载 令 y x ak1，它表示倾角为45的直线系，y10 令y x a22 2，它表示焦点在x轴上，顶点为()()a a，0 0的等轴双曲线在x轴上方的部分，y20 原方程
23、有解 两个函数的图象有交点，由下图知 ak a或 a ak 0 k k 1 0 1 或 k的取值范围为()()，1 0 1 xy0a-a 值域最值等问题时能运用数形结合思想避免复杂的计算与推理在解题时能提高效率增养学生问题转化的意识重点以形助数培养学生在解题过程中运用数形结合的意识难点由数到形的转化数形结合作为一种重要的数学思想历年来一直 有机结合起来思索促使抽象思维和形象思维的和谐复合通过对规范图形或示意图形的观察分析化抽象为直观化直观为精确从而使问题得到简解决数形结合思想常常利用到的数学模型有函数的图象斜率公式截距两点间距离公式点到直 的两侧求的取值范围解得的图象可知要使两根在的两侧故解由只需说明其图象与轴交点的横坐标就是方程函数图象的性质可以得出对应的方程情况例已知的实根个数为个则方程个或个或个个个的根根据解判断方程的根的个数就是判