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1、圆锥曲线常见题型与方法 一圆锥曲线常 见题型 1、动点轨迹方程：求轨迹方程的常用方法：直接法：直接利用条件建立,x y之间的关系(,)0F x y。例题：已知动点 P 到定点 F(1,0)和直线3x的距离之和等于 4，求 P 的轨迹方程。待定系数法：（已知所求曲线的类型，求曲线方程）例题：线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M（m，0）)0(m，端点 A、B 到 x 轴距离之积为 2m，以 x 轴为对称轴，过 A、O、B 三点作抛物线，则此抛物线方程为 定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；例题：由动点 P向圆221xy作两条切线 PA、PB，切
2、点分别为 A、B，APB=600，则动点 P的轨迹方程为 练习题：1、点 M与点 F(4,0)的距离比它到直线05xl：的距离小于 1，则点 M的轨迹方程是_ _ 2、一动圆与两圆M：122yx和N：012822xyx都外切，则动圆圆心的轨迹为 代入转移法：动点(,)P x y依赖于另一动点00(,)Q xy的变化而变化，并且00(,)Q xy又在某已知曲线上，则可先用,x y的代数式表示00,xy，再将00,xy代入已知曲线得要求的轨迹方程；例题：动点 P是抛物线122 xy上任一点，定点为)1,0(A,点 M在 PA上，MA:PM=2：1，则 M的轨迹方程为_ _ 练习：1、若点),(11
3、yxP在圆122yx上运动，则点),(1111yxyxQ的轨迹方程是_ _ 2、过抛物线yx42的焦点 F作直线l交抛物线于 A、B两点，则弦 AB的中点 M的轨迹方程是_ _ 2、弦长问题（焦点弦、中点弦）解题方法：弦长公式、韦达定理、点差法 3、焦点三角形问题 方法：利用第一定义和正弦、余弦定理求解。设椭圆或双曲线上的一点00(,)P xy到两焦点12,F F的距离分别为12,r r，焦点12F PF的面积为S，则在椭圆12222byax中，当12rr即P为短轴端点时，最大；20tan|2Sbc y，当0|yb即P为短轴端点时，maxS的最大值为 bc；对于双曲线22221xyab的焦点三
4、角形有：2cotsin21221brrS。例题：设 P 是等轴双曲线)0(222aayx右支上一点，F1、F2是左右焦点，若0212 FFPF，|PF1|=6，则该双曲线的方程为 练习：1、椭圆22194xy的焦点为 F1、F2，点 P 为椭圆上的动点，当PF2 PF1 0 时，点 P 的横坐标的取值范围是 2、双曲线的虚轴长为 4，离心率 e26，F1、F2是它的左右焦点，若过 F1的直线与双曲线的左支交于 A、B两点，且AB是2AF与2BF等差中项，则AB_ 3、已知双曲线的离心率为 2，F1、F2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且6021 PFF，31221FPFS 求该双曲线的标准方程
5、。4、直线与圆锥曲线的位置关系（重点注意：相切）根据判定相交、相切还是相离。对于双曲线和抛物线，注意0时，有两种情况（根据直线是否与对称轴平行区分）例题：过点)4,2(作直线与抛物线xy82只有一个公共点，这样的直线有_ 的关系例题已知动点到定点和直线的距离之和等于求的轨迹方程待定系数法已知所求曲线的类型求曲线方程例题线段过轴正半轴上一点对称轴过三点作抛物线则此抛物线方程为端点到轴距离之积为以轴为定义法先根据条件得出动点的轨迹方程练习题点与点的距离比它到直线的距离小于则点的轨迹方程是一动圆与两圆和都外切则动圆圆心的轨迹为代入转移法动点依赖于另一动点的变化而变化并且又在某已知曲线上则可先用的代数
6、式表示代入已知曲线得要求的抛物线的焦点作直线交抛物线于两点则弦的中点的轨迹方程是弦长问题焦点弦中点弦解题方法弦长公式韦达定理点差法焦点三角形问题方法利用第一定义和正弦余弦定理求解设椭圆或双曲线上的一点到两焦点的距离分别为焦点的面练习：1、过点(0,2)与双曲线116922yx有且仅有一个公共点的直线的斜率的取值范围为_ _ 2、对于抛物线 C：xy42，我们称满足0204xy的点),(00yxM在抛物线的内部，若点),(00yxM在抛物线的内部，则直线l：)(200 xxyy与抛物线 C 的位置关系是_ _ 3、过抛物线xy42的焦点F作一直线交抛物线于 P、Q 两点，若线段 PF 与 FQ
7、的长分别是p、q，则qp11_ 4、求椭圆284722 yx上的点到直线01623 yx的最短距离。5、圆锥曲线定值、最值问题 圆锥曲线的最值问题 方法 1：定义转化法 根据圆锥曲线的定义列方程；将最值问题转化为距离问题求解 例:已知点F是双曲线x24y2121 的左焦点，定点A的坐标为(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|PA|的最小值为_ 方法 2：数形结合（切线法）当所求的最值是圆锥曲线上的点到某条直线的距离的最值时：求与直线平行的圆锥曲线的切线；求出两平行线的距离即为所求的最值 例:求椭圆x22y21 上的点到直线yx2 3的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标
8、的关系例题已知动点到定点和直线的距离之和等于求的轨迹方程待定系数法已知所求曲线的类型求曲线方程例题线段过轴正半轴上一点对称轴过三点作抛物线则此抛物线方程为端点到轴距离之积为以轴为定义法先根据条件得出动点的轨迹方程练习题点与点的距离比它到直线的距离小于则点的轨迹方程是一动圆与两圆和都外切则动圆圆心的轨迹为代入转移法动点依赖于另一动点的变化而变化并且又在某已知曲线上则可先用的代数式表示代入已知曲线得要求的抛物线的焦点作直线交抛物线于两点则弦的中点的轨迹方程是弦长问题焦点弦中点弦解题方法弦长公式韦达定理点差法焦点三角形问题方法利用第一定义和正弦余弦定理求解设椭圆或双曲线上的一点到两焦点的距离分别为焦
9、点的面方法 3：参数法（函数法）选取合适的参数表示曲线上点的坐标；求解关于这个参数的函数最值.例:在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆x23y21 上的一个动点，则Sxy的最大值为_ 方法 4：基本不等式法 将最值用变量表示利用基本不等式求得表达式的最值 例:求椭圆x23y21 内接矩形ABCD面积的最大值 练习：1、椭圆 b2x2a2y2a2b2(ab0)的左焦点为 F，过 F 点的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，P 为线段 AB的中点，当PFO 的面积最大时，求直线 l 的方程 的关系例题已知动点到定点和直线的距离之和等于求的轨迹方程待定系数法已知所求曲线的类型求曲线方程例题线
10、段过轴正半轴上一点对称轴过三点作抛物线则此抛物线方程为端点到轴距离之积为以轴为定义法先根据条件得出动点的轨迹方程练习题点与点的距离比它到直线的距离小于则点的轨迹方程是一动圆与两圆和都外切则动圆圆心的轨迹为代入转移法动点依赖于另一动点的变化而变化并且又在某已知曲线上则可先用的代数式表示代入已知曲线得要求的抛物线的焦点作直线交抛物线于两点则弦的中点的轨迹方程是弦长问题焦点弦中点弦解题方法弦长公式韦达定理点差法焦点三角形问题方法利用第一定义和正弦余弦定理求解设椭圆或双曲线上的一点到两焦点的距离分别为焦点的面2已知点 A（2，8），B（x1，y1），C（x2，y2）在抛物线pxy22上，ABC的重心与
11、此抛物线的焦点 F重合（如图）（1）写出该抛物线的方程和焦点 F的坐标；（2）求线段 BC中点 M的坐标；（3）求 BC所在直线的方程.3.已知抛物线2:axyC（a为非零常数）的焦点为F，点P为抛物线c上一个动点，过点P且与抛物线c相切的直线记为l（1）求F的坐标；（2）当点P在何处时，点F到直线l的距离最小？的关系例题已知动点到定点和直线的距离之和等于求的轨迹方程待定系数法已知所求曲线的类型求曲线方程例题线段过轴正半轴上一点对称轴过三点作抛物线则此抛物线方程为端点到轴距离之积为以轴为定义法先根据条件得出动点的轨迹方程练习题点与点的距离比它到直线的距离小于则点的轨迹方程是一动圆与两圆和都外切
12、则动圆圆心的轨迹为代入转移法动点依赖于另一动点的变化而变化并且又在某已知曲线上则可先用的代数式表示代入已知曲线得要求的抛物线的焦点作直线交抛物线于两点则弦的中点的轨迹方程是弦长问题焦点弦中点弦解题方法弦长公式韦达定理点差法焦点三角形问题方法利用第一定义和正弦余弦定理求解设椭圆或双曲线上的一点到两焦点的距离分别为焦点的面4、设椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的一个顶点与抛物线：x24 2y的焦点重合，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，离心率e33，过椭圆右焦点F2的直线l与椭圆C交于M、N两点(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在直线l，使得OMON1，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明
13、理由 的关系例题已知动点到定点和直线的距离之和等于求的轨迹方程待定系数法已知所求曲线的类型求曲线方程例题线段过轴正半轴上一点对称轴过三点作抛物线则此抛物线方程为端点到轴距离之积为以轴为定义法先根据条件得出动点的轨迹方程练习题点与点的距离比它到直线的距离小于则点的轨迹方程是一动圆与两圆和都外切则动圆圆心的轨迹为代入转移法动点依赖于另一动点的变化而变化并且又在某已知曲线上则可先用的代数式表示代入已知曲线得要求的抛物线的焦点作直线交抛物线于两点则弦的中点的轨迹方程是弦长问题焦点弦中点弦解题方法弦长公式韦达定理点差法焦点三角形问题方法利用第一定义和正弦余弦定理求解设椭圆或双曲线上的一点到两焦点的距离分别为焦点的面