《高中数学必修二直线与圆的综合问题高中中学教育高中教育_中学教育-高中教育.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学必修二直线与圆的综合问题高中中学教育高中教育_中学教育-高中教育.pdf（14页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、学习必备 欢迎下载 直线与圆 一解答题（共 10小题）1已知直线 xy+3=0 与圆心为（3，4）的圆 C相交，截得的弦长为 2（1）求圆 C的方程；（2）设 Q 点的坐标为（2，3），且动点 M 到圆 C的切线长与|MQ|的比值为常数 k（k0）若动点 M 的轨迹是一条直线，试确定相应的 k 值，并求出该直线的方程 2已知直线 l：y=x+2 被圆 C：（x3）2+（y2）2=r2（r0）截得的弦 AB的长等于该圆的半径（1）求圆 C的方程；（2）已知直线 m：y=x+n 被圆 C：（x3）2+（y2）2=r2（r0）截得的弦与圆心构成三角形 CDE 若CDE的面积有最大值，求出直线m：y=
2、x+n 的方程；若CDE的面积没有最大值，说明理由 3已知 M（4，0），N（1，0），曲线 C上的任意一点 P 满足：=6|（）求点 P 的轨迹方程；（）过点 N（1，0）的直线与曲线 C交于 A，B两点，交 y 轴于 H点，设=1，=2，试问 1+2是否为定值？如果是定值，请求出这个定值；如果不是定值，请说明理由 4已知动圆 P 与圆 F1：（x+2）2+y2=49 相切，且与圆 F2：（x2）2+y2=1 相内切，记圆心 P 的轨迹为曲线 C（）求曲线 C的方程；（）设 Q 为曲线 C上的一个不在 x 轴上的动点，O 为坐标原点，过点 F2作 OQ 的平行线交曲线 C于 M，N 两个不同
3、的点，求QMN 面积的最大值 学习必备 欢迎下载 5已知动圆 P 过定点且与圆 N：相切，记动圆圆心 P 的轨迹为曲线C（）求曲线 C的方程；（）过点 D（3，0）且斜率不为零的直线交曲线 C 于 A，B 两点，在 x 轴上是否存在定点 Q，使得直线AQ，BQ的斜率之积为非零常数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由 6如图所示，在ABC中，AB的中点为 O，且 OA=1，点 D在 AB的延长线上，且固定边 AB，在平面内移动顶点 C，使得圆 M 与边 BC，边 AC的延长线相切，并始终与 AB的延长线相切于点 D，记顶点C的轨迹为曲线 以 AB所在直线为 x 轴，O 为坐标原点如图所
4、示建立平面直角坐标系（）求曲线 的方程；（）设动直线 l 交曲线 于 E、F两点，且以 EF为直径的圆经过点 O，求OEF面积的取值范围 7已知ABC的顶点 A（1，0），点 B在 x 轴上移动，|AB|=|AC|，且 BC的中点在 y 轴上（）求 C点的轨迹 的方程；（）已知过 P（0，2）的直线 l 交轨迹 于不同两点 M，N，求证：Q（1，2）与 M，N 两点连线 QM，QN 的斜率之积为定值 动点到圆的切线长与的比值为常数若动点的轨迹是一条直线试确定相应的值并求出该直线的方程已知直线被圆截得的弦的长等于该圆的半径求圆的方程已知直线被圆截得的弦与圆心构成三角形若的面积有最大值求出直线的方
5、程若的为定值如果是定值请求出这个定值如果不是定值请说明理由试问已知动圆与圆相切且与圆相内切记圆心的轨迹为曲线求曲线的方程设为曲线上的一个不在轴上的动点为坐标原点过点两个不同的点求面积的最大值作的平行线交曲线于曲线于两点在轴上是否存在定点使得直线的斜率之积为非零常数若存在求出定点的坐标若不存在请说明理由如图所示在中的中点为且点在的延长线上且固定边在平面内移动顶点使得圆与边边的延长线相切并始终与的延长线相切于点学习必备 欢迎下载 8已知圆 M：x2+y2+2y7=0 和点 N（0，1），动圆 P 经过点 N 且与圆 M 相切，圆心 P 的轨迹为曲线 E（1）求曲线 E的方程；（2）点 A是曲线 E
6、与 x 轴正半轴的交点，点 B、C在曲线 E上，若直线 AB、AC的斜率 k1，k2，满足 k1k2=4，求ABC面积的最大值 9已知过点 A（0，1）且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：（x2）2+（y3）2=1 交于点 M，N 两点（1）求 k 的取值范围；（2）请问是否存在实数 k 使得（其中 O 为坐标原点），如果存在请求出 k 的值，并求|MN|；如果不存在，请说明理由 10已知 O 为坐标原点，抛物线 C：y2=nx（n0）在第一象限内的点 P（2，t）到焦点的距离为，C 在点 P 处的切线交 x 轴于点 Q，直线 l1经过点 Q 且垂直于 x 轴（1）求线段 OQ 的长；（2）设
7、不经过点 P 和 Q 的动直线 l2：x=my+b 交 C交点 A和 B，交 l1于点 E，若直线 PA，PB的斜率依次成等差数列，试问：l2是否过定点？请说明理由 动点到圆的切线长与的比值为常数若动点的轨迹是一条直线试确定相应的值并求出该直线的方程已知直线被圆截得的弦的长等于该圆的半径求圆的方程已知直线被圆截得的弦与圆心构成三角形若的面积有最大值求出直线的方程若的为定值如果是定值请求出这个定值如果不是定值请说明理由试问已知动圆与圆相切且与圆相内切记圆心的轨迹为曲线求曲线的方程设为曲线上的一个不在轴上的动点为坐标原点过点两个不同的点求面积的最大值作的平行线交曲线于曲线于两点在轴上是否存在定点使
8、得直线的斜率之积为非零常数若存在求出定点的坐标若不存在请说明理由如图所示在中的中点为且点在的延长线上且固定边在平面内移动顶点使得圆与边边的延长线相切并始终与的延长线相切于点学习必备 欢迎下载 直线与圆 参考答案与试题解析 一解答题（共 10小题）1已知直线 xy+3=0 与圆心为（3，4）的圆 C相交，截得的弦长为 2（1）求圆 C的方程；（2）设 Q 点的坐标为（2，3），且动点 M 到圆 C的切线长与|MQ|的比值为常数 k（k0）若动点 M 的轨迹是一条直线，试确定相应的 k 值，并求出该直线的方程【分析】（1）求出圆心 C到直线 l 的距离，利用截得的弦长为 2求得半径的值，可得圆 C
9、的方程；（2）设动点 M（x，y），则由题意可得=k，即=k，化简可得（k21）x2+（k21）y2+（64k2）x+（86k2）y+13k29=0，若动点 M 的轨迹方程是直线，则 k21=0，即可得出结论【解答】解：（1）圆心 C到直线 l 的距离为=，截得的弦长为 2，半径为 2，圆 C：（x3）2+（y4）2=4；（2）设动点 M（x，y），则由题意可得=k，即=k，化简可得（k21）x2+（k21）y2+（64k2）x+（86k2）y+13k221=0，若动点 M 的轨迹方程是直线，则 k21=0，k=1，直线的方程为 x+y4=0【点评】本小题主要考查直线与圆的位置关系，弦长公式的
10、应用，圆的一般式方程，属于中档题 2已知直线 l：y=x+2 被圆 C：（x3）2+（y2）2=r2（r0）截得的弦 AB的长等于该圆的半径（1）求圆 C的方程；（2）已知直线 m：y=x+n 被圆 C：（x3）2+（y2）2=r2（r0）截得的弦与圆心构成三角形 CDE 若CDE的面积有最大值，求出直线m：y=x+n 的方程；若CDE的面积没有最大值，说明理由 【分析】（1）根据直线和圆相交得到的弦长公式求出圆的半径即可求圆 C的方程；（2）根据直线和圆相交的位置关系，结合CDE的面积公式即可得到结论【解答】解：（1）设直线 l 与圆 C交于 A，B两点 直线 l：y=x+2 被圆 C：（x
11、3）2+（y2）2=r2（r0）截得的弦长等于该圆的半径，CAB为正三角形，动点到圆的切线长与的比值为常数若动点的轨迹是一条直线试确定相应的值并求出该直线的方程已知直线被圆截得的弦的长等于该圆的半径求圆的方程已知直线被圆截得的弦与圆心构成三角形若的面积有最大值求出直线的方程若的为定值如果是定值请求出这个定值如果不是定值请说明理由试问已知动圆与圆相切且与圆相内切记圆心的轨迹为曲线求曲线的方程设为曲线上的一个不在轴上的动点为坐标原点过点两个不同的点求面积的最大值作的平行线交曲线于曲线于两点在轴上是否存在定点使得直线的斜率之积为非零常数若存在求出定点的坐标若不存在请说明理由如图所示在中的中点为且点在
12、的延长线上且固定边在平面内移动顶点使得圆与边边的延长线相切并始终与的延长线相切于点学习必备 欢迎下载 三角形的高等于边长的，圆心 C到直线 l 的距离等于边长的 直线方程为 xy+2=0，圆心的坐标为（3，2），圆心到直线的距离 d=，r=，圆 C的方程为：（x3）2+（y2）2=6（2）设圆心 C到直线 m 的距离为 h，H为 DE的中点，连结 CD，CH，CE 在CDE中，DE=，=，当且仅当 h2=6h2，即 h2=3，解得 h=时，CDE的面积最大 CH=，|n+1|=，n=，存在 n 的值，使得CDE的面积最大值为 3，此时直线 m 的方程为 y=x【点评】本题主要考查直线和圆的位置
13、关系的应用，根据弦长公式是解决本题的关键 3已知 M（4，0），N（1，0），曲线 C上的任意一点 P 满足：=6|（）求点 P 的轨迹方程；（）过点 N（1，0）的直线与曲线 C交于 A，B两点，交 y 轴于 H点，设=1，=2，试问 1+2是否为定值？如果是定值，请求出这个定值；如果不是定值，请说明理由【分析】（）求出向量的坐标，利用条件化简，即可求点 P 的轨迹方程；（）分类讨论，利用=1，=2，结合韦达定理，即可得出结论【解答】解：（）设 P（x，y），则=（3，0），=（x4，y），=（1x，y）=6|，3（x4）+0y=6，化简得=1 为所求点 P 的轨迹方程.4 分（）设 A（x
14、1，y1），B（x2，y2）当直线 l 与 x 轴不重合时，设直线 l 的方程为 x=my+1（m0），则 H（0，）动点到圆的切线长与的比值为常数若动点的轨迹是一条直线试确定相应的值并求出该直线的方程已知直线被圆截得的弦的长等于该圆的半径求圆的方程已知直线被圆截得的弦与圆心构成三角形若的面积有最大值求出直线的方程若的为定值如果是定值请求出这个定值如果不是定值请说明理由试问已知动圆与圆相切且与圆相内切记圆心的轨迹为曲线求曲线的方程设为曲线上的一个不在轴上的动点为坐标原点过点两个不同的点求面积的最大值作的平行线交曲线于曲线于两点在轴上是否存在定点使得直线的斜率之积为非零常数若存在求出定点的坐标若
15、不存在请说明理由如图所示在中的中点为且点在的延长线上且固定边在平面内移动顶点使得圆与边边的延长线相切并始终与的延长线相切于点学习必备 欢迎下载 从而=（x1，y1+），=（1x1，y1），由=1得（x1，y1+）=1（1x1，y1），1=1+同理由得2=1+，（1+2）=2+由直线与椭圆方程联立，可得（4+3m2）y2+6my9=0，y1+y2=，y1y2=代入得（1+2）=2+=，1+2=当直线 l 与 x 轴重合时，A（2，0），B（2，0），H（0，0），1=2=2，1+2=11 分 综上，1+2为定值.12 分【点评】本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查直线与椭圆位置关系的运用，
16、考查分类讨论的数学思想，属于中档题 4已知动圆 P 与圆 F1：（x+2）2+y2=49 相切，且与圆 F2：（x2）2+y2=1 相内切，记圆心 P 的轨迹为曲线 C（）求曲线 C的方程；（）设 Q 为曲线 C上的一个不在 x 轴上的动点，O 为坐标原点，过点 F2作 OQ 的平行线交曲线 C于 M，N 两个不同的点，求QMN 面积的最大值【分析】（I）由已知条件推导出|PF1|+|PF2|=8|F1F2|=6，从而得到圆心 P 的轨迹为以 F1，F2为焦点的椭圆，由此能求出圆心 P 的轨迹 C的方程（II）由 MNOQ，知QMN 的面积=OMN 的面积，由此能求出QMN 的面积的最大值【解
17、答】解：（）设圆 P 的半径为 R，圆心 P 的坐标为（x，y），由于动圆 P 与圆 F1：（x+2）2+y2=49 相切，且与圆 F2：（x2）2+y2=1 相内切，所以动圆 P 与圆 F1只能内切（1 分）所以|PF1|+|PF2|=7R+R1=6|F1F2|=4（3 分）所以圆心圆心 P 的轨迹为以 F1，F2为焦点的椭圆，其中 2a=6，2c=4，a=3，c=2，b2=a2c2=5 所以曲线 C的方程为=1（4 分）动点到圆的切线长与的比值为常数若动点的轨迹是一条直线试确定相应的值并求出该直线的方程已知直线被圆截得的弦的长等于该圆的半径求圆的方程已知直线被圆截得的弦与圆心构成三角形若的
18、面积有最大值求出直线的方程若的为定值如果是定值请求出这个定值如果不是定值请说明理由试问已知动圆与圆相切且与圆相内切记圆心的轨迹为曲线求曲线的方程设为曲线上的一个不在轴上的动点为坐标原点过点两个不同的点求面积的最大值作的平行线交曲线于曲线于两点在轴上是否存在定点使得直线的斜率之积为非零常数若存在求出定点的坐标若不存在请说明理由如图所示在中的中点为且点在的延长线上且固定边在平面内移动顶点使得圆与边边的延长线相切并始终与的延长线相切于点学习必备 欢迎下载（）设 M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x3，y3），直线 MN 的方程为 x=my+2，由可得：（5m2+9）y2+20my25=0，则
19、y1+y2=，y1y2=（5 分）所以|MN|=（7 分）因为 MNOQ，QMN 的面积=OMN 的面积，O 到直线 MN：x=my+2 的距离 d=（9 分）所以QMN 的面积（10 分）令=t，则 m2=t21（t0），S=设，则 因为 t1，所以 所以，在 1，+）上单调递增 所以当 t=1 时，f（t）取得最小值，其值为 9（11 分）所以QMN 的面积的最大值为（12 分）【点评】本题考查椭圆的标准方程、直线、圆、与椭圆等椭圆知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等 5已知动圆 P 过定点且与圆 N：相切，记动圆圆心 P 的轨迹为曲线C
20、（）求曲线 C的方程；（）过点 D（3，0）且斜率不为零的直线交曲线 C 于 A，B 两点，在 x 轴上是否存在定点 Q，使得直线AQ，BQ的斜率之积为非零常数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由【分析】（）由题意可知丨 PM 丨+丨 PN丨=4丨 MN 丨=2，则 P 的轨迹 C是以 M，N 为焦点，长轴长为 4 的椭圆，则 a=4，c=，b2=a2c2=1，即可求得椭圆方程；动点到圆的切线长与的比值为常数若动点的轨迹是一条直线试确定相应的值并求出该直线的方程已知直线被圆截得的弦的长等于该圆的半径求圆的方程已知直线被圆截得的弦与圆心构成三角形若的面积有最大值求出直线的方程若的为定值
21、如果是定值请求出这个定值如果不是定值请说明理由试问已知动圆与圆相切且与圆相内切记圆心的轨迹为曲线求曲线的方程设为曲线上的一个不在轴上的动点为坐标原点过点两个不同的点求面积的最大值作的平行线交曲线于曲线于两点在轴上是否存在定点使得直线的斜率之积为非零常数若存在求出定点的坐标若不存在请说明理由如图所示在中的中点为且点在的延长线上且固定边在平面内移动顶点使得圆与边边的延长线相切并始终与的延长线相切于点学习必备 欢迎下载（）将直线方程代入椭圆方程，考查韦达定理，直线的斜率公式，当且仅当，解得 t=2，代入即可求得，定点的坐标【解答】解：（）设动圆 P 的半径为 r，由 N：及，知点 M 在圆 N内，则
22、有，从而丨 PM 丨+丨 PN丨=4丨 MN 丨=2，P 的轨迹 C是以 M，N 为焦点，长轴长为 4 的椭圆，设曲线 C的方程为：（ab0），则 2a=4，a=4，c=，b2=a2c2=1 故曲线 C的轨迹方程为；（）依题意可设直线 AB的方程为 x=my+3，A（x1，y1），B（x2，y2），由，整理得：（4+m2）y2+6my+5=0，则=36m245（4+m2）0，即 m24，解得：m2 或 m2，由 y1+y2=，y1y2=，x1+x2=m（y1+y2）+6=，x1x2=（my1+3）（my2+3）=m2y1y2+m（y1+y2）+9=，假设存在定点 Q（t，0），使得直线 AQ，
23、BQ的斜率之积为非零常数，则（x1t）（x2t）=x1x2t（x1+x2）+t2=t+t2=，kAQkBQ=，要使 kAQkBQ为非零常数，当且仅当，解得 t=2，当 t=2 时，常数为=，当 t=2 时，常数为=，动点到圆的切线长与的比值为常数若动点的轨迹是一条直线试确定相应的值并求出该直线的方程已知直线被圆截得的弦的长等于该圆的半径求圆的方程已知直线被圆截得的弦与圆心构成三角形若的面积有最大值求出直线的方程若的为定值如果是定值请求出这个定值如果不是定值请说明理由试问已知动圆与圆相切且与圆相内切记圆心的轨迹为曲线求曲线的方程设为曲线上的一个不在轴上的动点为坐标原点过点两个不同的点求面积的最大
24、值作的平行线交曲线于曲线于两点在轴上是否存在定点使得直线的斜率之积为非零常数若存在求出定点的坐标若不存在请说明理由如图所示在中的中点为且点在的延长线上且固定边在平面内移动顶点使得圆与边边的延长线相切并始终与的延长线相切于点学习必备 欢迎下载 存在两个定点 Q1（2，0）和 Q2（2，0），使直线 AQ，BQ 的斜率之积为常数，当定点为 Q1（2，0）时，常数为；当定点为 Q2（2，0）时，常数为【点评】本题考查椭圆标准方程及简单几何性质，椭圆的定义，考查直线与椭圆的位置关系，韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题 6如图所示，在ABC中，AB的中点为 O，且 OA=1，点 D在 A
25、B的延长线上，且固定边 AB，在平面内移动顶点 C，使得圆 M 与边 BC，边 AC的延长线相切，并始终与 AB的延长线相切于点 D，记顶点C的轨迹为曲线 以 AB所在直线为 x 轴，O 为坐标原点如图所示建立平面直角坐标系（）求曲线 的方程；（）设动直线 l 交曲线 于 E、F两点，且以 EF为直径的圆经过点 O，求OEF面积的取值范围 【分析】（）确定点 C轨迹 是以 A，B为焦点，长轴长为 4 的椭圆，且挖去长轴的两个顶点，即可求曲线 的方程；（）可设直线，进而表示面积，即可求OEF面积的取值范围【解答】解：（）依题意得 AB=2，BD=1，设动圆 M 与边 AC的延长线相切于 T1，与
26、边 BC相切于 T2，则AD=AT1，BD=BT2，CT1=CT2 所以 AD+BD=AT1+BT2=AC+CT1+BT2=AC+CT1+CT2=AC+BC=AB+2BD=4AB=2（2 分）所以点 C 轨迹 是以 A，B 为焦点，长轴长为 4 的椭圆，且挖去长轴的两个顶点则曲线 的方程为（4 分）（）由于曲线 要挖去长轴两个顶点，所以直线 OE，OF 斜率存在且不为 0，所以可设直线（5 分）由得，同理可得：，；动点到圆的切线长与的比值为常数若动点的轨迹是一条直线试确定相应的值并求出该直线的方程已知直线被圆截得的弦的长等于该圆的半径求圆的方程已知直线被圆截得的弦与圆心构成三角形若的面积有最大
27、值求出直线的方程若的为定值如果是定值请求出这个定值如果不是定值请说明理由试问已知动圆与圆相切且与圆相内切记圆心的轨迹为曲线求曲线的方程设为曲线上的一个不在轴上的动点为坐标原点过点两个不同的点求面积的最大值作的平行线交曲线于曲线于两点在轴上是否存在定点使得直线的斜率之积为非零常数若存在求出定点的坐标若不存在请说明理由如图所示在中的中点为且点在的延长线上且固定边在平面内移动顶点使得圆与边边的延长线相切并始终与的延长线相切于点学习必备 欢迎下载 所以，又 OEOF，所以（8 分）令t=k2+1，则t1且k2=t1，所以=（10 分）又，所以，所以，所以，所以，所以OEF面积的取值范围为（12 分）【
28、点评】本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆位置关系的运用，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 7已知ABC的顶点 A（1，0），点 B在 x 轴上移动，|AB|=|AC|，且 BC的中点在 y 轴上（）求 C点的轨迹 的方程；（）已知过 P（0，2）的直线 l 交轨迹 于不同两点 M，N，求证：Q（1，2）与 M，N 两点连线 QM，QN 的斜率之积为定值【分析】（）利用直接法，求 C点的轨迹 的方程；（）设直线 l 的方程为 y=kx2，与抛物线方程联立，求出斜率，即可证明结论【解答】解：（）设 C（x，y）（y0），因为 B在 x 轴上且 BC中点在 y 轴上，所以
29、B（x，0），由|AB|=|AC|，得（x+1）2=（x1）2+y2，化简得 y2=4x，所以 C点的轨迹 的方程为 y2=4x（y0）（）直线 l 的斜率显然存在且不为 0，设直线 l 的方程为 y=kx2，M（x1，y1），N（x2，y2），由得 ky24y8=0，动点到圆的切线长与的比值为常数若动点的轨迹是一条直线试确定相应的值并求出该直线的方程已知直线被圆截得的弦的长等于该圆的半径求圆的方程已知直线被圆截得的弦与圆心构成三角形若的面积有最大值求出直线的方程若的为定值如果是定值请求出这个定值如果不是定值请说明理由试问已知动圆与圆相切且与圆相内切记圆心的轨迹为曲线求曲线的方程设为曲线上的一
30、个不在轴上的动点为坐标原点过点两个不同的点求面积的最大值作的平行线交曲线于曲线于两点在轴上是否存在定点使得直线的斜率之积为非零常数若存在求出定点的坐标若不存在请说明理由如图所示在中的中点为且点在的延长线上且固定边在平面内移动顶点使得圆与边边的延长线相切并始终与的延长线相切于点学习必备 欢迎下载 所 以，同 理，所以 Q（1，2）与 M，N 两点连线的斜率之积为定值 4【点评】本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线位置关系的运用，考查学生的计算能力，属于中档题 8已知圆 M：x2+y2+2y7=0 和点 N（0，1），动圆 P 经过点 N 且与圆 M 相切，圆心 P 的轨迹为曲线 E（1）求曲线 E
31、的方程；（2）点 A是曲线 E与 x 轴正半轴的交点，点 B、C在曲线 E上，若直线 AB、AC的斜率 k1，k2，满足 k1k2=4，求ABC面积的最大值【分析】（1）利用圆与圆的位置关系，得出曲线 E是 M，N 为焦点，长轴长为的椭圆，即可求曲线 E的方程；（2）联立方程组得（1+2t2）y2+4mty+2m22=0，利用韦达定理，结合 k1k2=4，得出直线BC过定点（3，0），表示出面积，即可求ABC面积的最大值【解答】解：（1）圆 M：x2+y2+2y7=0 的圆心为 M（0，1），半径为 点 N（0，1）在圆 M 内，因为动圆 P 经过点 N 且与圆 M 相切，所以动圆 P 与圆
32、M 内切设动圆 P 半径为 r，则r=|PM|因为动圆 P 经过点 N，所以 r=|PN|，|MN|，所以曲线 E是 M，N 为焦点，长轴长为的椭圆 由，得 b2=21=1，所以曲线 E的方程为（4 分）（）直线 BC斜率为 0 时，不合题意 设 B（x1，y1），C（x2，y2），直线 BC：x=ty+m，联立方程组得（1+2t2）y2+4mty+2m22=0，又 k1k2=4，知 y1y2=4（x11）（x21）=4（ty1+m1）（ty2+m1）=代入得 又 m1，化简得（m+1）（14t2）=2（4mt2）+2（m1）（1+2t2），动点到圆的切线长与的比值为常数若动点的轨迹是一条直线
33、试确定相应的值并求出该直线的方程已知直线被圆截得的弦的长等于该圆的半径求圆的方程已知直线被圆截得的弦与圆心构成三角形若的面积有最大值求出直线的方程若的为定值如果是定值请求出这个定值如果不是定值请说明理由试问已知动圆与圆相切且与圆相内切记圆心的轨迹为曲线求曲线的方程设为曲线上的一个不在轴上的动点为坐标原点过点两个不同的点求面积的最大值作的平行线交曲线于曲线于两点在轴上是否存在定点使得直线的斜率之积为非零常数若存在求出定点的坐标若不存在请说明理由如图所示在中的中点为且点在的延长线上且固定边在平面内移动顶点使得圆与边边的延长线相切并始终与的延长线相切于点学习必备 欢迎下载 解得 m=3，故直线 BC
34、过定点（3，0）（8 分）由0，解得t24，=（当且仅当时取等号）综上，ABC面积的最大值为（12 分）【点评】本题考查圆与圆的位置关系，考查椭圆的定义与方程，考查直线与椭圆位置关系的运用，考查韦达定理，属于中档题 9已知过点 A（0，1）且斜率为 k 的直线 l 与圆 C：（x2）2+（y3）2=1 交于点 M，N 两点（1）求 k 的取值范围；（2）请问是否存在实数 k 使得（其中 O 为坐标原点），如果存在请求出 k 的值，并求|MN|；如果不存在，请说明理由【分析】（1）设出直线方程，利用直线与圆的位置关系，列出不等式求解即可（2）设出 M，N 的坐标，利用直线与圆的方程联立，通过韦达
35、定理，结合向量的数量积，求出直线的斜率，然后判断直线与圆的位置关系求解|MN|即可【解答】解：（1）由题设，可知直线 l 的方程为 y=kx+1，因为直线 l 与圆 C交于两点，由已知可得圆 C的圆心 C的坐标（2，3），半径 R=1 故由1，解得：k 所以 k 的取值范围为得（，）（2）设 M（x1，y1），N（x2，y2）将 y=kx+1 代入方程：（x2）2+（y3）2=1，整理得（1+k2）x24（1+k）x+7=0 所以 x1+x2=，x1x2=，=x1x2+y1y2=（1+k2）（x1x2）+k（x1+x2）+1=12，解得 k=1，所以直线 l 的方程为 y=x+1 故圆心 C在
36、直线 l 上，所以|MN|=2【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，以及直线和圆相交的弦长公式的计算，考查学生的计算能力，是中档题 10已知 O 为坐标原点，抛物线 C：y2=nx（n0）在第一象限内的点 P（2，t）到焦点的距离为，C 在点 P 处的切线交 x 轴于点 Q，直线 l1经过点 Q 且垂直于 x 轴（1）求线段 OQ 的长；动点到圆的切线长与的比值为常数若动点的轨迹是一条直线试确定相应的值并求出该直线的方程已知直线被圆截得的弦的长等于该圆的半径求圆的方程已知直线被圆截得的弦与圆心构成三角形若的面积有最大值求出直线的方程若的为定值如果是定值请求出这个定值如果不是定值请说明理
37、由试问已知动圆与圆相切且与圆相内切记圆心的轨迹为曲线求曲线的方程设为曲线上的一个不在轴上的动点为坐标原点过点两个不同的点求面积的最大值作的平行线交曲线于曲线于两点在轴上是否存在定点使得直线的斜率之积为非零常数若存在求出定点的坐标若不存在请说明理由如图所示在中的中点为且点在的延长线上且固定边在平面内移动顶点使得圆与边边的延长线相切并始终与的延长线相切于点学习必备 欢迎下载（2）设不经过点 P 和 Q 的动直线 l2：x=my+b 交 C交点 A和 B，交 l1于点 E，若直线 PA，PB的斜率依次成等差数列，试问：l2是否过定点？请说明理由【分析】（1）先求出 p 的值，然后求出在第一象限的函数
38、，结合函数的导数的几何意义求出 N 的坐标即可求线段 OQ 的长；（2）联立直线和抛物线方程进行消元，转化为关于 y 的一元二次方程，根据根与系数之间的关系结合直线斜率的关系建立方程进行求解即可【解答】解：（）由抛物线 y2=nx（n0）在第一象限内的点 P（2，t）到焦点的距离为，得 2+=，n=2，抛物线 C的方程为 y2=2x，P（2，2）（2 分）C在第一象限的图象对应的函数解析式为 y=，则 y=，故 C在点 P 处的切线斜率为，切线的方程为 y2=（x2），令 y=0 得 x=2，所以点 Q 的坐标为（2，0）故线段 OQ 的长为 2 （5 分）（）l2恒过定点（2，0），理由如下
39、：由题意可知 l1的方程为 x=2，因为 l2与 l1相交，故 m0 由 l2：x=my+b，令 x=2，得 y=，故 E（2，）设 A（x1，y1），B（x2，y2）由消去 x 得：y22my2b=0 则 y1+y2=2m，y1y2=2b （7 分）直线 PA的斜率为，同理直线 PB的斜率为，直线 PE的斜率为 因为直线 PA，PE，PB的斜率依次成等差数列，所以+=2 （10 分）整理得：=，因为 l2不经过点 Q，所以 b2，所以 2mb+2=2m，即 b=2 故 l2的方程为 x=my+2，即 l2恒过定点（2，0）（12 分）【点评】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，利用直线和抛物
40、线方程，转化为一元二次方程，结合韦达定理，利用设而不求的思想是解决本题的关键 动点到圆的切线长与的比值为常数若动点的轨迹是一条直线试确定相应的值并求出该直线的方程已知直线被圆截得的弦的长等于该圆的半径求圆的方程已知直线被圆截得的弦与圆心构成三角形若的面积有最大值求出直线的方程若的为定值如果是定值请求出这个定值如果不是定值请说明理由试问已知动圆与圆相切且与圆相内切记圆心的轨迹为曲线求曲线的方程设为曲线上的一个不在轴上的动点为坐标原点过点两个不同的点求面积的最大值作的平行线交曲线于曲线于两点在轴上是否存在定点使得直线的斜率之积为非零常数若存在求出定点的坐标若不存在请说明理由如图所示在中的中点为且点
41、在的延长线上且固定边在平面内移动顶点使得圆与边边的延长线相切并始终与的延长线相切于点学习必备 欢迎下载 动点到圆的切线长与的比值为常数若动点的轨迹是一条直线试确定相应的值并求出该直线的方程已知直线被圆截得的弦的长等于该圆的半径求圆的方程已知直线被圆截得的弦与圆心构成三角形若的面积有最大值求出直线的方程若的为定值如果是定值请求出这个定值如果不是定值请说明理由试问已知动圆与圆相切且与圆相内切记圆心的轨迹为曲线求曲线的方程设为曲线上的一个不在轴上的动点为坐标原点过点两个不同的点求面积的最大值作的平行线交曲线于曲线于两点在轴上是否存在定点使得直线的斜率之积为非零常数若存在求出定点的坐标若不存在请说明理由如图所示在中的中点为且点在的延长线上且固定边在平面内移动顶点使得圆与边边的延长线相切并始终与的延长线相切于点