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1、学习必备 欢迎下载 高 三 数 学 复 习 提 纲（文科）排列、组合、二项式定理 一基础知识:1.分类计数原理（加法原理）12nNmmm.2.分步计数原理（乘法原理）12nNmmm.3.排列数公式 mnA=)1()1(mnnn=！)(mnn.(n，mN*，且mn)注:规定1!0.4.排列恒等式 (1）1(1)mmnnAnmA;（2）1mmnnnAAnm;（3）11mmnnAnA;（4）11nnnnnnnAAA;（5）11mmmnnnAAmA.(6)1!2 2!3 3!(1)!1n nn .5.组合数公式 mnC=mnmmAA=mmnnn21)1()1(=！)(mnmn(nN*，mN，且mn).
2、6.组合数的两个性质(1)mnC=mnnC;(2)mnC+1mnC=mnC1.注:规定10nC.7.组合恒等式（1）11mmnnnmCCm;（2）1mmnnnCCnm;（3）11mmnnnCCm;（4）nrrnC0=n2;（5）1121rnrnrrrrrrCCCCC.(6)nnnrnnnnCCCCC2210.(7)14205312nnnnnnnCCCCCC.(8)1321232nnnnnnnnCCCC.(9)rnmrnrmnrmnrmCCCCCCC0110.(10)nnnnnnnCCCCC22222120)()()()(.8.排列数与组合数的关系mmnnAm C！.9单条件排列 以下各条的大前
3、提是从n个元素中取m个元素的排列.（1）“在位”与“不在位”某（特）元必在某位有11mnA种；某（特）元不在某位有11mnmnAA（补集思想）1111mnnAA（着眼位置）11111mnmmnAAA（着眼元素）种.（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）定位紧贴：)(nmkk个元在固定位的排列有kmknkkAA种.浮动紧贴：n个元素的全排列把 k 个元排在一起的排法有kkknknAA11种.注：此类问题常用捆绑法；插空：两组元素分别有 k、h 个（1 hk），把它们合在一起来作全排列，k 个的一组互不能挨近的所有排列数有khhhAA1种.（3）两组元素各相同的插空 m个大球n个小球排成一列，小球必分
4、开，问有多少种排法？当1mn时，无解；当1 mn时，有nmnnnmCAA11种排法.（4）两组相同元素的排列：两组元素有 m 个和 n 个，各组元素分别相同的排列数为nnmC.9分配问题（1）(平均分组有归属问题)将相异的m、n个物件等分给m个人，各得n件，其分配方法数共有mnnnnnnmnnnmnnmnnmnCCCCCN)!()!(22.（2）(平均分组无归属问题)将相异的mn个物体等分为无记号或无顺序的m堆，其分配方法数共有 mnnnnnnmnnnmnnmnnmmnmCCCCCN)!(!)!(!.22.（3）(非平均分组有归属问题)将相异的)12mP(P=n+n+n个物体分给m个人，物件必
5、须被分完，分别得到1n，2n，mn件，且1n，2n，mn这m个数彼此不相等，则其分配方法数共有!.!.21211mnnnnpnpnnnmpmCCCNmm.（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的)12mP(P=n+n+n个物体分给m个人，物件必须被分完，分别得到1n，2n，mn件，且1n，2n，mn这m个数中分别有 a、b、c、个相等，则其分配方法数有!.!.211cbamCCCNmmnnnnpnp 12!.!(!.)mp mn nna b c.（5）(非平均分组无归属问题)将相异的)12mP(P=n+n+n个物体分为任意的1n，2n，mn件无记号的m堆，且1n，2n，mn这m个数彼此不相等
6、，则其分配方法数有!.!21mnnnpN.（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的)12mP(P=n+n+n个物体分为任意的1n，2n，mn件无记号的m堆，且1n，2n，mn这m个数中分别有 a、b、c、个相等，则其分配方法数有!.)!(!.!21cbannnpNm.（7）(限定分组有归属问题)将相异的p（2mpnnn1+）个物体分给甲、乙、丙，等m个人，物体必须被分完，如果指定甲得1n件，乙得2n件，丙得3n件，时，则无论1n，2n，mn等m个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有!.!.21211mnnnnpnpnnnpCCCNmm.10.二项式定理 nnnrrnrnnnnnnnnbCb
7、aCbaCbaCaCba222110)(;二项展开式的通项公式rrnrnrbaCT1)210(nr，.二项式系数具有下列性质：(1)与首末两端等距离的二项式系数相等；(2)若 n 为偶数，中间一项（第2n1 项）的二项式系数最大；若 n 为奇数，中间两项（第21n和21n1 项）的二项式系数最大；（3）;2;213120210nnnnnnnnnnnCCCCCCCC 11.F(x)=(ax+b)n展开式的各项系数和为 f(1);奇数项系数和为)1()1(21ff；偶数项的系数和为)1()1(21ff；学习必备 欢迎下载 概率 一基础知识:1.等可能性事件的概率()mP An.2.互斥事件 A，B
8、分别发生的概率的和 P(AB)=P(A)P(B)164.n个互斥事件分别发生的概率的和 P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An)3.独立事件 A，B同时发生的概率 P(AB)=P(A)P(B).4.n 个独立事件同时发生的概率 P(A1 A2 An)=P(A1)P(A2)P(An)5.n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率()(1).kkn knnP kC PP 6.如果事件 A、B 互斥，那么事件 A 与B、A与B及事件A与B也都是互斥事件；7.如果事件 A、B 相互独立，那么事件 A、B 至少有一个不发生的概率是 1P（AB）1P(A)P(B)；8.如果事件 A、B 相
9、互独立，那么事件 A、B 至少有一个发生的概率是 1P（AB）1P(A)P(B)；概率与统计 一基础知识:1.离散型随机变量的分布列的两个性质（1）0(1,2,)iPi;（2）121PP.2.数学期望 1 122nnEx Px Px P 170.数学期望的性质（1）()()E abaEb.（2）若(,)B n p,则Enp.(3)若服从几何分布,且1()(,)kPkg k pqp，则1Ep.4.方差 2221122nnDxEpxEpxEp 5.标准差=D.6.方差的性质(1)2D aba D；(2）若(,)B n p，则(1)Dnpp.(3)若服从几何分布,且1()(,)kPkg k pqp，
10、则2qDp.7.方差与期望的关系 22DEE.8.正态分布密度函数 22261,2 6xf xex ，式中的实数，（0）是参数，分别表示个体的平均数与标准差.9.标准正态分布密度函数 221,2 6xf xex .10.对于2(,)N，取值小于 x 的概率 xF x.12201xxPxxPxxxP 21F xF x 21xx .二基本方法和数学思想 1.理解随机变量，离散型随机变量的定义，能够写出离散型随机变量的分布列,由概率的性质可知，任意离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：（1）pi0,i=1,2,;(2)p1+p2+=1;2.二项分布：记作B（n,p）,其中 n,p 为参数，,)(
11、knkknqpCkP并记),;(pnkbqpCknkkn；3.记住以下重要公式和结论：x1 X2 xn P P1 P2 Pn （1）期望值 E x1p1+x2p2+xnpn+;（2）方差 DnnpExpExpEx2222121)()()(;（3）标准差DabaDbaEbaED2)(;)(;；（4）若B（n,p）,则 Enp,Dnpq,这里 q=1-p;4.掌握抽样的三种方法：（1）简单随机抽样（包括抽签法和随机数表法）；（2）系统抽样，也叫等距离抽样；（3）分层抽样，常用于某个总体由差异明显的几部分组成的情形；5.总体分布的估计：用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法，一般地，样本容
12、量越大，这种估计就越精确，要求能画出频率分布表和频率分布直方图；6.正态总体的概率密度函数：,21)(222)(Rxexfx式中,是参数，分别表示总体的平均数与标准差；7.正态曲线的性质：（1）曲线在 x 时处于最高点，由这一点向左、向右两边延伸时，曲线逐渐降低；（2）曲线的对称轴位置由确定；曲线的形状由确定，越大，曲线越矮胖；反过来曲线越高瘦；（3）曲线在 x 轴上方，并且关于直线 x=对称；8.利用标准正态分布的分布函数数值表计算一般正态分布),(2N的概率 P（x1x2）,可由变换tx而得)()(xxF，于是有 P（x1x2）)()(12xx；9.假设检验的基本思想：（1）提出统计假设，
13、确定随机变量服从正态分布),(2N；（2）确定一次试验中的取值 a是否落入范围)3,3(；（3）作出推断：如果a)3,3(，接受统计假设；如果a)3,3(,由于这是小概率事件，就拒绝假设；法原理排列数公式且注规定排列恒等式组合数公式且组合数的两个性质注规定组合恒等式排列数与组合数的关系单条件排列以下各条的大前提是从个元素中取个元素的排列在位与不在位种某特元不在某位有某特元必在某位有补集思个元排在一起的排法有种注此类问题常用捆绑法插空两组元素分别有个把它们合在一起来作全排列个的一组互不能挨近的所有排列数有种两组元素各相同的插空个大球个小球排一列小球必分开问有多少种排法当时无解当时有种排法件等分给
14、个人各得件其分配方法数共有平均分组无归属问题将相异的个物体等分为无记号或无顺序的堆其分配方法数共有非平均分组有归属问题将相异的个物体分给个人物件必须被分完分别得到件且这个数彼此不相等则其分配方法学习必备 欢迎下载 导数 一基础知识:1.)(xf在0 x处的导数（或变化率或微商）000000()()()limlimx xxxf xxf xyfxyxx .2.瞬时速度 00()()()limlimttss tts ts ttt .3.瞬时加速度 00()()()limlimttvv ttv tav ttt .4.)(xf在),(ba的导数()dydffxydxdx 00()()limlimxxyf
15、 xxf xxx .5.函数)(xfy 在点0 x处的导数的几何意义 函数)(xfy 在点0 x处的导数是曲线)(xfy 在)(,(00 xfxP处的切线的斜率)(0 xf，相应的切线方程是)(000 xxxfyy.6.几种常见函数的导数(1)0C（C为常数）.(2)1()()nnxnxnQ.(3)xxcos)(sin.(4)xxsin)(cos.(5)xx1)(ln；eaxxalog1)(log.(6)xxee)(;aaaxxln)(.7.导数的运算法则（1）()uvuv.（2）()uvu vuv.（3）2()(0)uuvuvvvv.8.复合函数的求导法则 设函数()ux在点x处有导数()x
16、ux，函数)(ufy 在点x处的对应点 U处有导数()uyfu，则复合函数()yfx在点x处有导数，且xuxyyu，或写作()()()xfxfux.10.判别)(0 xf是极大（小）值的方法当函数)(xf在点0 x处连续时，（1）如果在0 x附近的左侧0)(xf，右侧0)(xf，则)(0 xf是极大值；（2）如果在0 x附近的左侧0)(xf，右侧0)(xf，则)(0 xf是极小值.二基本方法和数学思想 1.导数的定义：f(x)在点 x0处的导数记作xxfxxfxfyxxx)()(lim)(00000；2.根据导数的定义，求函数的导数步骤为：（1）求函数的增量（2）);()(xfxxfy(2)求
17、平均变化率xxfxxfxy)()(;（3）取极限,得导数xyxfx0lim)(;3.可导与连续的关系：如果函数 y=f(x)在点 x0处可导，那么函数 y=f(x)在点 x0处连续；但是 y=f(x)在点 x0处连续却不一定可导；4.导数的几何意义：曲线 yf（x）在点 P（x0,f(x0)）处的切线的斜率是).(0 xf 相应地，切线方程是);)(000 xxxfyy 5.导数的应用：（1）利用导数判断函数的单调性：设函数 yf（x）在某个区间内可导，如果,0)(xf那么 f(x)为增函数；如果,0)(xf那么 f(x)为减函数；如果在某个区间内恒有,0)(xf那么 f(x)为常数；（2）求
18、可导函数极值的步骤：求导数)(xf；求方程0)(xf的根；检验)(xf 在方程0)(xf根的左右的符号，如果左正右负，那么函数 y=f(x)在这个根处取得最大值；如果左负右正，那么函数 y=f(x)在这个根处取得最小值；（3）求可导函数最大值与最小值的步骤：求 y=f(x)在(a,b)内的极值；将 y=f(x)在各极值点的极值与 f（a）、f（b）比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个是最小值 6 导数与函数的单调性的关系 0)(xf与)(xf为增函数的关系。0)(xf能推出)(xf为增函数，但反之不一定。如函数3)(xxf在),(上单调递增，但0)(xf，0)(xf是)(xf为增函数的充分
19、不必要条件。0)(xf时，0)(xf与)(xf为增函数的关系。若将0)(xf的根作为分界点，因为规定0)(xf，即抠去了分界点，此时)(xf为增函数，就一定有0)(xf。当0)(xf时，0)(xf是)(xf为增函数的充分必要条件。0)(xf与)(xf为增函数的关系。)(xf为增函数，一定可以推出0)(xf，但反之不一定，因为0)(xf，即为0)(xf或0)(xf。当函数在某个区间内恒有0)(xf，则)(xf为常数，函数不具有单调性。0)(xf是)(xf为增函数的必要不充分条件。函数的单调性是函数一条重要性质，也是高中阶段研究的重点，我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性。因此新
20、教材为解决单调区间的端点问题，都一律用开区间作为单调区间，避免讨论以上问题，也简化了问题。但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理。法原理排列数公式且注规定排列恒等式组合数公式且组合数的两个性质注规定组合恒等式排列数与组合数的关系单条件排列以下各条的大前提是从个元素中取个元素的排列在位与不在位种某特元不在某位有某特元必在某位有补集思个元排在一起的排法有种注此类问题常用捆绑法插空两组元素分别有个把它们合在一起来作全排列个的一组互不能挨近的所有排列数有种两组元素各相同的插空个大球个小球排一列小球必分开问有多少种排法当时无解当时有种排法件等分给个人各得件其分配方法数共有平均分组无归属问题将相异的个物体等分为无记号或无顺序的堆其分配方法数共有非平均分组有归属问题将相异的个物体分给个人物件必须被分完分别得到件且这个数彼此不相等则其分配方法