第02讲物体的平衡问题.docx

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1、2020年强基计划物理专题讲解（核心素养提升）第2讲物体的平衡问题目录知识精讲1 .常见的力12 .力的合成与分解33 .共点力作用下物体的平衡44 .固定转动轴物体的平衡45 .一般物体的平衡5典型例题5题型一质心的求解5题型二摩擦自锁问题6题型三动态平衡问题7题型四力矩平衡8题型五共点力作用下物体的平衡9题型六一般物体的平衡10知识精讲1.常见的力（-）重力物体的重心与质心重心：从效果上看，我们可以认为物体各部分受到的重力作用集中于一点，这一点叫做物体的重心。质心：物体的质量中心。设物体各部分的重力分别为G1、G2G,且各部分重力的作用点在。盯坐标系中的坐标分别是（西,Jl）（12, 丁2

2、）（%，力），物体的重心坐标%, 先可表示为答案】mgsin 20 题型六一般物体的平衡 例6.（清华大学自主招生）质量为相、长为L的三根相同的匀质细棒对称地搁在地面上，三棒的顶端。重合, 底端4、B、。的间距均为L如图所示。求0A棒顶端所受的作用力F的大小。若有一质量也为根的人（视为质点）坐在0A棒的中点处，三棒仍然保持不动，这时。A棒顶端所受的作用 力产的大小又为多大？在的情况下，地面与棒之间的静摩擦因数至少为多大？【解析】（1）对0A棒，设04与水平面的夹角为仇以A点为固定转轴，由力矩平衡条件可得：1Smg7：LcosO FL=0,由数学知识可知，cosO=。解得04棒顶端所受的作用力F

3、=*g。（2）当一质量也为2的人（视为质点）坐在04棒的中点处，三棒仍然保持不动，以A点为固定转轴，由力矩平衡条件可得：2mgLcosOFL=0,解得QA棒顶端所受的作用力F=mg.对04棒，以。点为固定转轴，由力矩平衡条件可得：2mgLcosO-JLsinO-FNLcosO=（）,5由共点力的平衡条件，Fn2mgFcosO2mg mgcosO耳/ng细棒刚好不滑动的条件是：f=N。J2联立解得：=半=0.28。即地面与棒之间的静摩擦因数至少为0.28。【答案】（Ipg加g（2）、g%g（3）0.28 Vx-J变式6. （34届预赛）某电视节目中演示了一个用三根火柴棍和细棉线悬挂起一瓶或多瓶矿

4、泉水的实验，如图 所示.A、B、。为三根相同的火柴棍，火柴棍长为/,细实线为棉线，棉线的直径为d（d /）.火柴棍A 的一半在水平桌面内，另一半在桌面外，火柴棍A与桌面上表面的边沿垂直；桌面厚度为力；。是火柴棍A 的中点与桌面边沿的接触点；棉线紧贴桌沿绕过A,压在水平火柴棍。的两端；火柴棍3的一端顶在火柴棍 A的球状头部（可近似忽略球状头部的尺度），另一端顶在火柴棍。的中点.这样的结构可以稳定地悬挂起 一瓶或多瓶矿泉水.（1）如果没有火柴棍3和C光靠A是否可能悬挂起一瓶矿泉水？为什么？（2）加上火柴棍B和C,小心挂上重物时，火柴棍A会在过A的竖直平面内绕。点有一个角位移.通过火 柴棍3的带动，

5、压在火柴棍。两端的棉线将绕桌面下表面的边沿转动一个很小的角度；只要角度大小合适, 可使整个系统达到稳定平衡.球平衡时该角度的大小.已知火柴棍与桌沿、火柴棍与棉线以及火柴棍之间都 足够粗糙（即可以没有滑动），而且它们的质量与重物相比均可忽略.解析：（1）若没有火柴棍B和C,则挂重物时在过A的竖直平面内的情景如图1所示。因棉线直径d W 0 , 棉线的中心轴线到0点的距离为四,重物相对于支撑点0有一力矩2d ,L= Mg 式中M为重物的质量，g为重力加速度的大小，此力矩会使火柴棍转动直至掉下。（2）如题图所示的结构可以稳定地悬挂起重物，当重物和火柴棍的质量趋于零（未挂重物）时，在过 火柴棍A的竖直

6、平面内的情景应如图。所示。由题设，火柴棍与桌沿、火柴棍与棉线以及火柴棍之间都足够 粗糙（可以没有滑动），可形成一个稳定的三脚架结构。由于火柴棍A水平，火柴棍8的下端正好在A的中 点的正下方，由几何关系知，火柴棍A和8之间的夹角为 = 60。（由于d/,此时忽略了棉线的粗细），桌面上表面边沿。点到火柴棍8的下端（即火柴棍C的中点）V3的距离为乙= 2又由于火柴棍C水平，由几何关系知，从0点到火柴棍C两端的距离均为/.值得指出的是，据题意，前面提及的三脚架结构在重物质量逐渐增大时是稳定的：因为根据题意，火 柴根与棉线之间是足够粗糙的，以至于跨过火柴棍A的棉线与它所连接的火柴棍C形成的正三角形能得以

7、保 持，且火柴棍。也继续保持水平，因而火柴棍B与A之间的夹角也能得以保持不变，从而在图匕中，火柴 棍A和5之间的夹角仍然为60 o小心地挂上重物，在过火柴A的竖直平面内的情景如图2方所示。这时，火柴棍A受到四个力的作用：火柴棍8对它的头部的斜向上的推力、跨过火柴棍A的中部的细棉线对它的竖直向下的压力、桌面上边沿。点对它的正压力和静摩擦力。火柴棍A与桌面之间静摩擦力在一定范围内可以保证火柴棍A所受合力为零。同时: 由于力矩L的作用，火柴棍A会绕。点转动，通过火柴棍8的带动，绕过A连结火柴棍C两端的棉线将绕桌面下表面的边沿转过一小角度，使重物向左平移；当重物向左平移的距离达到时，重物处于桌沿2。的

8、正下方，重力作用线恰好过支点。（见图3）,因而对。点的力矩为零，整个系统不会转动，从而达到稳定平衡。设此时过A连结火柴棍。两端的棉线绕桌面下表面的边沿转过的角度NOW77=e,如示意图3 所示；图中。是桌面下表面边滑，nOOr = DD =-且20D = OD = hW是火柴棍。的中点，显然。W = L J/ 2在直角ADWT)中，由儿何关系得dsin 0 = 下工或V3Z 7l-n2x =EGw= G/ +G2X2 + + Gx= ZG*= GM +G2y2 + + GyGj G +G2 +-+Gn，Gi G1 + G2 + - + G（二）弹力胡克定律：在弹性限度内，弹力产的大小与弹簧伸长

9、（或缩短）的长度X成正比，即歹X,攵为弹簧的劲度 系数。两根劲度系数分别为向，灯的弹簧串联后的劲度系数可由L二工+求得，并联后劲度系数为上俗+公 k k、 k2（三）摩擦力摩擦力：一个物体在另一物体表面有相对运动或相对运动趋势时，产生的阻碍物体相对运动或相对运动趋势 的力叫摩擦力。方向沿接触面的切线且阻碍物体间相对运动或相对运动趋势。摩擦分为静摩擦和滑动摩擦：当两个相互接触的物体之间存在相对滑动的趋势（就是说：假如它们之间的接触是“光滑的”，将发生相 对滑动）时，产生的摩擦力为静摩擦力，其方向与接触面上相对运动趋势的指向相反，大小视具体情况而定， 由平衡条件或从动力学的运动方程解算出来，最大静

10、摩擦力为式中。称为静摩擦因数，它取决于接触面的材料与接触面的状况等，N为两物体间的正压力。当两个相互接触的物体之间有相对滑动时，产生的摩擦力为滑动摩擦力。滑动摩擦力的方向与相对运动 的方向相反，其大小与两物体间的正压力成正比。以为滑动摩擦因数，取决于接触面的材料与接触面的表面状况，在通常的相对速度范围内，可看作常量，在 通常情况下，儿与可不加区别，两物体维持相对静止的动力学条件为静摩擦力的绝对值满足在接触物的材料和表面粗糙程度相同的条件下，静摩擦因数。略大于动摩擦因数儿o摩擦角：令静摩擦因数等于某一角。的正切值，即4。=吆。,这个。角就称为摩擦角。在临界摩擦（将 要发生滑动状态下），/max/

11、N = =tg0。支承面作用于物体的沿法线方向的弹力N与最大静摩擦力/max 的合力F（简称全反力）与接触面法线方向的夹角等于摩擦角，如图1-1-11所示（图中未画其他力）。在一 般情况下，静摩擦力,/o未达到最大值，即因此接触面反作用于物体的全反力广的作用线与面法线的夹角。二w处血，不会大于摩擦角，即Ncc（p,物体不会滑动。由此可知，运用摩擦角可判断物体是否产生滑动的条件。如图1-1-12放在平面上的 物体4用力厂去推它，设摩擦角为。，推力尸与法线夹角为当。时，无论歹多大，也不可能推动物块A,只有。0时，才可能推动A。2 .力的合成与分解（一）力的合成遵循平行四边形法则即力的合力即此二力构

12、成的平行四边形的对角线所表示的力F,如图根据此法则可衍化出三角形法则。即 片和巴：将用，歹2通过平移使其首尾相接，则由起点指向末端的力尸即，尸2的合力。（如图S）如果有多个共点力求合力，可在三角形法则的基础上，演化为多边形法则。如图12-2所示，Q 图为有四个力共点0, 图表示四个力矢首尾相接，从力的作用点0连接力歹4力矢末端的有向线段就表示 它们的合力。而（。）图表示五个共点力组成的多边形是闭合的，即片力矢的起步与尸5力矢的终点重合，这表 示它们的合力为零。力的分解是力的合成的逆运算，也遵循力的平行四边形法则，一般而言，一个力分解为两力有多解答, 为得确定解还有附加条件，通常有以下三种情况：

13、已知合力和它两分力方向，求这两分力大小。这有确定的一组解答。已知合力和它的一个分力，求另一个分力。这也有确定的确答。已知合力和其中一个分力大小及另一个分力方向，求第一个合力方向和第二分力大小，其解答可能有 三种情况：一解、两解和无解。（二）平行力的合成与分解作用在一个物体上的几个力的作用线平行，且不作用于同一点，称为平行力系。如图1-2-4如果力的方 向又相同，则称为同向平行力。两个同向平行力的合力（R）的大小等于两分力大小之和，合力作用线与分力平行，合力方向与两分力 方向相同，合力作用点在两分力作用点的连线上，合力作用点到分力作用点的距离与分力的大小成反比，如 图（。），有：两个反向平行力的

14、合力（R）的大小等于两分力大小之差，合力作用线仍与合力平行，合力方向与较大 的分力方向相同，合力的作用点在两分力作用点连线的延长线上，在较大力的外侧，它到两分力作用点的距 离与两分力大小成反比，如图S）,有：（三）空间中力的投影与分解力在某轴上的投影定义为力的大小乘以力与该轴正向间夹角的余弦，如图中的片力在。X、少、OZ轴上 的投影X、K Z分别定义为这就是直接投影法所得结果，也可如图所示采用二次投影法。这时又= R）,COS（乙）,小）式中E,为户在。町平面上的投影矢量，而.）, = Rsin（R,Z）力沿直角坐标轴的分解式F = Xi+J + Zk = Fj + Fyj + Fzk3 .共

15、点力作用下物体的平衡共点力作用下物体的平衡条件：几个力如果都作用在物体的同一点，或者它们的作用线相交于同一点，这几个力叫作共点力。当物体可 视为质点时，作用在其上的力都可视为共点力。当物体不能视为质点时，作用于其上的力是否可视为共点力 要看具体情况而定。物体的平衡包括静平衡与动平衡，具体是指物体处于静止、匀速直线运动和匀速转动这三种平衡状态。共点力作用下物体的平衡条件是；物体所受到的力的合力为零。或其分量式：如果在三个或三个以上的共点力作用下物体处于平衡，用力的图示表示，则这些力必组成首尾相接 的闭合力矢三角形或多边形；力系中的任一个力必与其余所有力的合力平衡；如果物体只在两个力作用下平 衡，

16、则此二力必大小相等、方向相反、且在同一条直线上，我们常称为一对平衡力；如果物体在三个力作用 下平衡，则此三力一定共点、一定在同一个平面内，如图所示，且满足下式（拉密定理）：推论：物体在女93）个外力作用下处于平衡状态，若其中有-1个力为共点力，即它们的作用线交于。点，则 最后一个外力的作用线也必过。点，整个外力组必为共点力。这是因为-1个外力构成的力组为共点（0点） 力，这-1个的合力必过。点，最后一个外力与这-1个外力的合力平衡，其作用线必过。点。特例，物体在作用线共面的三个非平行力作用下处于平衡状态时，这三个力的作用线必相交于一点且一 定共面。4 .固定转动轴物体的平衡力矩：力的方向与转轴

17、垂直时，总可以将轴取成。-孙z坐标系中固定的z轴，力取为xOy平面内的力尸，z轴到 b作用线的距离等于坐标原点0到尸作用线的距离，记为人 称之为力臂。如图所示，与尸作用点位矢厂 的关系为/2=小山例，式中。为一方向到方方向的旋转角，逆时针口取正，顺时取负。定义/对z轴的力 矩为JhF,F相对于0点的指向为逆时针方向；“一hF, F相对于。点的指向为顺时针方向。容易验证：任何一组共点力相对任一转轴的力矩之和等于其合力相对该轴的力矩。力偶和力偶矩：一对大小相等、方向相反但不共线的力称为力偶。如图中片，工即为力偶，力偶不能合成为一个力，是 一个基本力学量。对于与力偶所在平面垂直的任一轴，这一对力的力

18、矩的代数和称为力偶矩，注意到K =尸2 = F ,不难得到，M=Fd,式中d为两力间的距离。力偶矩与所相对的轴无关。有固定转动轴物体的平衡：有固定转轴的物体，若处于平衡状态，作用于物体上各力的力矩的代数和为零。5 .一般物体的平衡力对物体的作用可以改变物体的运动状态，物体各部位所受力的合力对物体的平动有影响，合力矩对物 体的转动有影响。如果两种影响都没有，就称物体处于平衡状态。因此，一般物体处于平衡时，要求物体所 受合外力为零（Z弱卜=）和合力矩为零（Zm=）同时满足，一般物体的平衡条件写成分量式为分别为对x轴、y轴、z轴的力矩。由空间一般力系的平衡方程，去掉由力系的几何性质能自动满足的平衡方

19、程，容易导出各种特殊力系的 独立平衡方程。如平面力系（设在X。平面内），则2死=，Z尢=，Z/y =自动满足，则独立的平衡方程为：工乂2=0这一方程中的转轴可根据需要任意选取，一般原则是使尽量多的力的力臂为零。平面汇交力系与平面平行力系的独立方程均为二个，空间汇交力系和空间平行力系的独立平衡方程均为典型例题题型一质心的求解例1.（同济大学自主招生）如图所示，无穷多个质量均匀分布的圆环，半径依次为R, y,苧，.，相切一公共 乙 _I点，则该系统的质心距半径为R的最大圆环的圆心距离为（）42RAB3C4D2【答案】B【解析】 如图建立X轴，从大到小各个圆环质量设为2, 7,拳，根据质心坐标计算公

20、式可得质心到 LI八一-m7?+O.5/n-O.57?+O.25m-O.257?+. 2RJ,百 、“公共切点的距图x=上八）,077=丁。该系统的质心距半径为R的最大圆环的圆心距m+（）,5m+（）.25m+.3离为s=R竽=号。变式1.（“北约”自主招生）如图所示，4、5原为两个相同的均质实心球，半径为此 重量为G, A、B球分别挖 去半径为!和平的小球，均质杆重量为1|g,长度/ = 4H,试求系统的重心位置。2464解：将挖去部份的重力，用等值、反向的力取代，图示系统可简化为图所示平行力系；其中07C2793=,G, =G。设重心位置为0,则合力W=G + GG = G8648 646

21、4且2。（卬=即, OC=0.53R题型二摩擦自锁问题例2.物体放在水平面上，用与水平方向成30。的力拉物体时，物体匀速前进。若此力大小不变，改为沿水平 方向拉物体，物体仍能匀速前进，求物体与水平面之间的动摩擦因素5解析：引进全反力R ,对物体两个平衡状态进行受力分析，再进行矢量平移，得到图18中的左图和中间图 （注意：重力G是不变的，而全反力R的方向不变、F的大小不变），如指摩擦角。再将两图重叠成图的右图。由于灰色的三角形是一个顶角为30。的等腰三角形，其顶角的角平分线必垂 直底边故有：（pm =15。最后，i= tg（pmo答案：0.268 o变式2.（清华自主招生）如图所示，一上表面粗糙

22、的斜面体上放在光滑的水平地面上，斜面的倾角为凡另 一质量为根的滑块恰好能沿斜面匀速下滑。若用一推力方作用在滑块上，使之能沿斜面匀速上滑，且要求斜 面体静止不动，就必须施加一个大小为F - 4mgsin6cos0的水平推力作用于斜面体。使满足题意的这个F的 大小和方向。解析：法一：隔离法。由第一个物理情景易得，斜面于滑块的摩擦因素二念仇 对第二个物理情景，分别隔离滑块和斜面体分 析受力，并将尸沿斜面、垂直斜面分解成已和R,滑块与斜面之间的两对相互作用力只用两个字母表示（N 表示正压力和弹力，/表示摩擦力），如图21所示。对滑块，我们可以考查沿斜面方向和垂直斜面方向的平衡Fx=/+ mgsinOF

23、y+ mgcos3= N且/二 juN = NtgO综合以上三式得到：Fx = FytgO+ ImgsinO对斜面体，只看水平方向平衡就行了F = fcos3+ NsinOHP ： mgsinOcosO=/.iNcosO NsinO代入值，化简得：Fy= mgcosO代入可得：Fx = 3mgsme/ F最后由b = jF：+F；解厂的大小，由以a= ,解尸的方向（设a为尸和斜面的夹角）。答案：大小为尸=mg Jl + 8sin2 j ,方向和斜面夹角ieg（；ct蛉）指向斜面内部。法二：引入摩擦角和整体法观念。仍然沿用“法一”中关于方的方向设置（见图21中的a角）。先看整体的水平方向平衡，有

24、：Fcose- a） = F再隔离滑块，分析受力时引进全反力R和摩擦角8由于简化后只有三个力（R、根g和歹），可以将矢量 平移后构成一个三角形，如图所示。在图22右边的矢量三角形中，有:Fsin（0 +（|）mgsin90-（a+（|）2） cos（a +（|）注意：（p= arctgjLi= arctg（tgO - 8（3）解式可得b和a的值。题型三动态平衡问题例3.（复旦大学自主招生）如图所示，竖直杆43在细绳AC的拉力作用下处于平衡。若AC加长，使。点左 移，AB仍保持平衡状态。细绳AC上拉力7和杆受到的细绳的压力N与原先相比，下列说法正确的是（）T增大,N减小B.7减小，N增大c. r

25、和n都减小d r和n都增大【答案】C【解析】若AC加长，由于悬挂的重物质量不变，水平拉力不变。分析结点A处受力情况，细绳AC上拉力 了在水平方向分力大小等于悬挂的重物重力，在竖直方向分力等于A8受到的压力。若AC加长，使。点左 移，仍保持平衡状态，显然，T和N都减小，选项C正确。变式4.粗细均匀的电线架在A、3两根电线杆之间。由于热胀冷缩，电线在夏、冬两季呈现如图所示的两种 形状，若电线杆始终处于竖直状态，下列说法中正确的是0A.冬季，电线对电线杆的拉力较大B.夏季，电线对电线杆的拉力较大C.夏季与冬季，电线对电线杆的拉力一样大D.夏季，电线杆对地面的压力较大答案：A【解析】选A以整条电线为研

26、究对象，受力分析如图所示，由共点力的平衡条件知，两电线杆对电线的弹 力的合力与其重力平衡，由几何关系得：Fcos9=*即：由于夏季气温较高，电线的体积会膨 胀，两电线杆正中部位电线下坠的距离力变大，则电线在杆上固定处的切线方向与竖直方向的夹角。变小, 故芫%变小，所以两电线杆处的电线拉力与冬季相比是变小。电线杆上的电线的质量一定，受力平衡，夏 ZCOS V季电线杆对地面的压力相等。所以选项8、C、。错误，A正确。题型四力矩平衡例4.（清华大学自主招生）如图，一细棒质量为2,初始时9=30。，方形木块以恒定速度向正左方运动。则 细棒受到木块的力（）A.一直增大一直减小C.先增大后减小D先减小后增

27、大【答案】c【解析】 设棒长为L,则细棒重力的力臂L、=cos9。设木块的高度为/7,则木块对细棒的支持力的力臂乙2=白，由力矩平衡条件可得：加gZi = FL2解得：E=mW8s ,=砥峨叫 可见，当8=45。时/最 o 111 C/4，Ii f L大，因初始时8=30。故尸先增大后减小，。选项正确。变式4.（北京大学自主招生）如图，一个质量为M、棱边长为L的立方体放在粗糙的平面上，在左上棱施力， 使立方体向前或向后翻转，立方体不与平面发生相对滑动，求：向后施加力的最小值以及对应的动摩擦因数。向前施加力的最小值以及对应的动摩擦因数。【解析】向后翻滚如左图，向前翻滚如右图。考虑拉力与重力的共同

28、作用。要求施加的力最小，则力臂最大， 以获得最大的力矩。向后翻滚时：对A点，由力矩平衡条件，有：尸L=竿，解得：F二嘤。此时摩擦力满足：F-Mg,解得：4=0.5。（2）向前翻滚时：对8点，由力矩平衡条件，有:此时摩擦力满足：p（MgFsin45。） = Feos45 , 解得:=g。【答案】学）.5乎隔 题型五共点力作用下物体的平衡 例5.（“华约”自主招生）如图所示，两根刚性轻杆上端由自由旋转轴A连接，轻杆下端固定一根自然伸长的匀 质轻弹簧，围成边长为L的等边三角形ABC将此装置竖直放在光滑水平面上，在轴A处施加竖直向下的大 小为尸的作用力，弹簧被拉伸一定长度，若此时弹簧弹力大小恰为*则弹

29、簧的劲度系数为（）FF（y2 1）L 2（y2- 1）LFF,（小1）L 2（5 1）L答案：B【解析】选3对整体分析可知，整体受压力和支持力的作用，则可知，5。两杆的端点受地面向上的大小 Ff为胃的支持力；因弹簧的弹力也为力 根据受力平衡和几何知识可知，此时杆与地面间的夹角为45。；则由几F2f何关系可知，此时弹簧的长度变为吸L则其形变量为（也LL）;则由胡克定律可得：广2（后1）厂 故8正确。变式5.（南京大学自主招生）如图所示，A。是质量为2的均匀细杆，可绕。轴在竖直平面内自由转动。细杆 上的P点与放在水平桌面上的圆柱体接触，圆柱体靠在竖直的挡板上而保持平衡。已知杆的倾角为仇AP 长度是杆长的由 各处的摩擦都不计，求挡板对圆柱体的作用力。【解析】AP。杆是绕。轴有固定转动的平衡物体，对。点力矩为零，mglcos3=L对圆柱体受力分析, N水平向左的分力与挡板对圆柱体水平向右作用力/平衡，即Mz加9=R解得/=/2gs山2凡（这类双平衡问题比较经典，AP。也可以看作三力共点平衡，是由三力汇交原理得到的。取圆柱体和细杆整体研究，因为 涉及地面对圆柱体的弹力是未知量，所以没有用整体法列式。在多数情况下整体法优先考虑。）