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1、第2课时直线与平面平行的性质【学习目标】1.理解直线与平面平行的性质定理2把握直线与平面平行的性质定理，并能应用 性质定理证明一些简洁的问题.预习新知夯实基础问题导学学问点直线与平面平行的性质定理思索1如图，直线/平面圆直线QU平面处 直线/与直线。肯定平行吗？为什么？答案 不肯定，由于还可能是异面直线.思索2如图，直线。平面Q,直线。U平面夕，平面an平面4=直线3满意以上条件的平面有多少个？直线b有什么位置关系？答案很多个，a/b.梳理表示定理图形文字符号直线与平面平行的性质定理%b /假如一条直线和一个平 面平行，经过这条直线 的平面和这个平面相 交，那么这条直线就和 交线平行a/ aa
2、C6=b,0abL思考辨析判断正误-1 .假设直线/平面a,且bUa,那么/b.（X ）2 .假设直线/不平行于平面a,那么直线/就不平行于平面a内的任意一条直线.（X ）3 .假设直线a, b和平面a满意。a, b/a,那么ab.（X ）10.如下图，48CO4田。1。是棱长为。的正方体，M, N分别是下底面的棱4囱，5G的中点，。是上底面的棱4。上的一点，AP=?过P, M, N的平面交上底面于PQ,。在C。 上，那么夕。=.考点直线与平面平行的性质题点与线面平行性质有关的计算答案平a解析jW平面AC,平面PMNC平面AC=PQ, ，2a:.MNPQ,易知 DP=DQ=f，故 PQ=PD2
3、+DQ2=y2DP=.二、解答题11 .如图，在正方体/BCD48C1O1中，月是8囱上不同于3、囱的任一点，/囱0= 3CGGE=G.求证：AC/FG.证明 VAC/AiCi94GU平面 4EG,4。4平面4EG,，力。平面4EG.又平面4EGG平面4囱。=/G, ：.AC/FG.12 .如下图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点,N分别为AB,PC的中点，平面PADH 平面PBC=L(1)求证：BC/1；MN与平面均。是否平行？试证明你的结论.证明,:BCAD, ADU平面口BCQ平面R4D, BC平面 见。.又平面B4OG平面尸8C=/, 8CU平面尸8C,C.BC/1.解MN平面PA
4、D.证明如下: 如下图，取的中点.连结EN, AE.TN为PC的中点,：.EN：ENkAM, J四边形EMZ4为平行四边形,：AEMN.又AEU平面PAD,MNQ平面必平面 PAD.13 .如下图，在四棱锥PZ5C。中，底面43C。为菱形，/BAD=60,。为力。的中点，点 /在侧棱PC上，且PA/=/PG 假设以平面试确定实数，的值.解如图，连结3。，AC, /C交8。于点N,交3。于点O,连结MN,M那么。为的中点.:BQ为LABD中4。边的中线,为正三角形的中心.S设菱形45CZ）的边长为a,那么4N=q-a, ACy3a.:必平面A/Q8, R1U平面为C,平面PACH平面MQB=MN
5、,:PAMN,：.PM： PC=AN： AC,三、探究与拓展14.长方体48C。-431GQ1的底面/BCD是正方形，其侧面绽开图是边长为8的正方形.F分别是侧棱44i, CCi上的动点，AE+CF=S.P在棱/小上，且AP=2,假设平面PBD,那么CF=A八e价, 用-答案2 解析连结/C交8。于点O,连结尸。, 过点。作CQOP交AAi于点Q.A八e；EF平面 PBD, EFU 平面 E4CF, 平面EACFC平面PBD=PO,J.EF/PO.又,： CQ/OP, ：.EF/QC, QE=CF,四边形/BCD是正方形，CQ/OP.：.PQ=AP=2,9：AE- CF=AP+PQ+QE+ C
6、F= 2 + 2 + CF+CF=8,:.CF=2.15.如图，在三棱柱NBC45G中，点,尸分别是棱CG, 3囱上的点，点是线段/C 上的动点，EC=2尸3=2,假设MB平面4EF,试推断点M在何位置.考点直线与平面平行的性质题点利用性质证明平行问题解 假设5平面/歹，过尸，B, M作平雨FBMN交AE于点、N, 连结MN, NF.由于8/平面44CC,Bbu 平面 FBMN,平面 FBMNC平面 AACC=MN, 所以BFMN.又MB平而4EF, MBU平面FBMN, 平面FBMNC平面AEF=FN,斫以MBFN,所以8FNM是平行四边形，斫以 MNBF, MN=BF=.而 ECFB, E
7、C=2FB = 2,斫以 MNEC, MN=：EC= 1,故MN是LACE的中位线.所以当又是/C的中点时, MB平面 AEF.启迪思维探究重点题型探究类型一线面平行的性质定理的应用命题角度1用线面平行的性质定理证明线线访例1如下图，在四棱锥。一/5C。中，底面/8CO是平行四边形，4c与BD交于点、O, M 是PC的中点，在。上取一点G,过G和4。作平面交平面友）/于G,求证：AP/GH.证明连结M0./四边形/BCD是平行四边形,。是4c的中点.又”是PC的中点，：.AP/OM.又；4PQ平面BDM, OMU平面友）M,平面 BDM.又ZPU平面NPG4,平面/PG/7G平面8DM=G，：
8、.AP/GH.反思与感悟（1）利用线面平行的性质定理解题的步躲确定（或查找）一条直线平行于一个平面；确定（或查找）过这条直线且与这个平面相交的平面；确定交线；由定理得出结论.（2）常用到中位线定理、平行四边形的性质、成比例线段、平行转移法、投影法等.详细应用 时，应依据题目的详细条件而定.跟踪训练1如图，用平行于四周体力3c。的一组对棱48,的平面截此四周体，求证：截面是平行四边形.AQ证明 由于43平面MAP。，平面平面且/BU平面4BC,所以由线面平行的性质定理，知ABMN.同理尸,所以7WP0.同理可得MQ/NP.所以截面加VP。是平行四边形.命题角度2用线面平行的性质求线段比例2如图，
9、E,/分别是菱形43C。边8。CZ）的中点，族与/C交于点。，点。在平面 ABCD之外,是线段以上一动点，假设PC平面试求 9： M4的值.解如图，连结3。交力C于点。1,连结0M由于PC平面尸，平面口cn平面 PM OC所以尸。 OM,所以后=4.在菱形43C。中，OC1由于民尸分别是边NC, C。的中点，所以冷C/|C 2又/Oi = COi,所以aACV故 PM ： MA = ： 3.反思与感悟 破解此类题的关键：一是转化，即把线面平行转化为线线平行；二是计算，把 要求的线段长或线段比问题，转化为同一个平面内的线段长或线段比问题去求解，此时需仔 细运算，才能得出正确的结果.跟踪训练2如下
10、图，棱柱ABCAiBtCi的侧面BCCyBx是菱形,设D是4G上的点且AB/平面3CD,那么小。：OG的值为答案1 解析连结8G,设田CG8G=E, 连结。.由力山平面BCD可知，AB/DE.由于E为的中点，所以。为4G的中点, 所以4。： DCi的值为1.B类型二线线平行与线面平行的相互转化例3平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证：另一条也平行于这个平面.解如图，直线a, b,平面a,且ab, a/a,h都在平面a外.求证：b/a.证明：过。作平面.，使它与平面Q相交，交线为C 由于 qq, aU aC=c,所以 c,由于a 6，所以力 c,又由于cUa, bQa,所以ba.反思
11、与感悟直线和平面的平行问题，经常转化为直线和直线的平行问题，而直线和直线的 平行问题也可以转化为直线与平面的平行问题，要作出命题的正确转化，就必需熟记线面平 行的定义、判定定理和性质定理.跟踪训练3如图，在长方体48s4囱GA中，E,分别为棱45,上的点，且EHADi，过77的平面与棱8囱，CG相交，交点分别为R G,求证：尸G平面4DA4.证明AD /BCyEHQ平面 BCCB, BGU平面 3CGB1, 所以平面BCGBi.又平面FGHEC平面BCCB=FG, 所以EHFG,即尸G小。i.又/GQ平面小，45U平面小, 所以尸G平面400/1.达标检测 检测评价达标过关1 . a, b表示
12、直线，。表示平面.以下命题中，正确的个数是.假设Qa，b/a,那么。6；假设aa, bUa,那么q6；假设。6, b/a,那么G.答案0解析 错，直线Q与6的关系可以是平行，也可以是相交或异面；错，。与6可能平行, 也可能异面；错，直线。也可能在平面。内.2 .直线。平面a, PRa,过点。平行于a的直线.（填序号）只有一条，不在平面a内；有很多条，不肯定在。内；只有一条，且在平面a内；有很多条，肯定在。内.答案解析 由线面平行的性质定理知，过点尸平行于。的直线只有一条，且在平面。内，故填.3 . 一平面截空间四边形的四边得到四个交点，假如该空间四边形只有一条对角线与这个截面 平行，那么这四个
13、交点围成的四边形是.答案梯形解析 如下图，AC平面EFGH,那么斯“G.而对角线与平面EbG”不平行，A所以与bG不平行.所以EFG”是梯形.4 .如图，在正方体Z8CQ/181Goi中，/9=2,点E为的中点，点b在 8 上.假设 七/平面/8C，那么线段的长度为.答案也解析 七尸平面/囱。，又平面/OCG平面ABC=AC.E/U 平面J.EF/AC. 是/。的中点，；.EF=：AC=：X2p=yl5.如下图，过正方体ABCDAtBtCiDi的棱BB作一平面交平面CDDC于EEi,求证: BBiEE.考点直线与平面平行的性质题点利用性质证明平行问题证明.：BBCC, BBC平面 CDDC,。
14、1匚平面。,3囱平面C0OC1.又 BBC 平面 BEEtB、,且平面 BEEiBn 平面 CDDiC、=EE、,L规律与方法1 .在遇到线面平行时，常需作出过直线与平面相交的帮助平面，以便运用线面平行的性质.2 .要敏捷应用线线平行、线面平行的相互联系、相互转化.在解决立体几何中的平行问题时, 一般都要用到平行关系的转化.转化思想是解决这类问题的最有效的方法.注重双基强化落实课时对点练一、填空题1 .过平面a外的直线/作一组平面与a相交，假如所得的交线为。，b, c,，那么这些交 线的位置关系为.都平行；都相交但不肯定交于同一点；都相交且肯定交于同一点；都平行或都交于同一点.答案解析 分/a
15、和/与a相交两种状况作答，对应的结果是都平行或都交于同一点.2 .如图，平面aCl平面4=a,平面4G平面？=b,平面7G平面a=c,假设那么c与a, b的位置关系是.答案平行解析 a/b9 aQy, bu, /.a/y.又,：aUa, 6cPly=c, :、allc、C.a/b/c.3 .异面直线小6外的一点那么过点/可以作 个平面与直线外人都平行.答案0或1解析 过点M分别作直线a, b的平行线，假设其中一条平行线与直线。或b相交，那么满 意题意的平面不存在.否那么过点”的两条相交直线确定的平面与a, 6都平行.4 .对于直线2, 和平面a,以下命题中正确的选项是.（填序号）假如加Ua,几
16、Qa, m,力是异面直线，那么a；假如加Ua, Ma, m,是异面直线，那么与a相交；假如加u, n/a, m,共面，那么掰及；假如2a, n/a, m,共面，那么掰.考点直线与平面平行的性质题点利用性质判定位置关系答案解析 由线面平行的性质定理知正确.5 .如图，四棱锥SZ8CO的全部的棱长都等于2, 是S/的中点，过C, D,三点的平面s与S3交于点F那么四边形。FC的周长为A答案3 + 273解析 YCDAB,平面S/4 /8U平面网瓦CZ)平面 SAB.又平面 CDFA 平面 SAB=EF, ：.CD/EF9X CD/AB. ：.AB/EF,：SE=EA,为ZSS 的中位线，：EF=；
17、AB=T,又 DE=CF=y,，四边形。及C的周长为3+273.6 .如图，4 B, C,。四点不共面，且力3a, CD/a, 4CAq=E, ADa=F, BDCa=H, BCHa=G,那么四边形FG的外形是.答案平行四边形解析 FABa,平面 ZBCGa=EG,/.EG/13.同理:,EGFH,又 CDa,平面 BCDCa=GH, GCD同理:GHEF,：.四边形EFHG是平行四边形.7 .如图，四边形438是空间四边形，E, F, G,”分别是四边上的点，它们共面，且4。 平面 MG, BD平面EFGH, 4C=m, BD=,那么当四边形EbG”是菱形时，AE： EBAEDCG答案 m
18、: n解析/C平面MG”, :,EFAC, HGAC,BE.EF=HG=m.J/7同理，EH=FG=1, Ad.BE AE凝m=*.AE : EB=m : n.8 .正方体4G的棱长为1,点。是平面441。的中心，点。是平面48G。的对角线囱A 上一点，且P。平面44135,那么线段P。的长为.答案半解析如图，连结曲,平面4囱。1 G平面AABB=4Bi,PQU 平面:PQAB, ：.PQ=ABX =1V12+12= 2 -9.如下图的正方体的棱长为4, E,厂分别为小。i，441的中点，那么过G，E,b的截面的周长为答案4噂+ 6也解析 由平面6CGB可知，平面8CGB1与平面EFG的交线为8G,平面EFG与平 面ABByAx的交线为BF,所以截面周长为EF+FB+BCi + CiE=4小+ 6yfl