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1、1.2点、线、面之间的位置关系1.平面的根本性质【学习目标】1.把握平面的表示法，点、直线与平面的位置关系2把握有关平面的三个公理及 三个推论.3.会用符号表示图形中点、线、面之间的位置关系.预习新知夯实基础问题导学学问点一平面的概念思索 几何里的“平面有边界吗？用什么图形表示平面？答案没有.平行四边形.梳理(1)平面的概念宽阔的草原、安静的湖面都给我们以平面的形象.和点、直线一样，平面也是从现实世界中 抽象出来的几何概念.(2)平面的画法一般用水平放置的正方形的直观图作为平面的直观图D7 c4_/AB一个平面被另一个平面遮拦住，为了增加立体感，被 遮挡局部用虚线画出来.a eV b(3)平面
2、的表示方法平面通常用希腊字母见人 尸表示，也可以用平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如 图中的平面平面AC等.A B学问点二点、线、面之间的位置关系思索 直线和平面都是由点组成的，联系集合的观点，点和直线，平面的位置关系，如何用 符号来表不？直线和平面呢？答案 点和直线，平面的位置关系可用数学符号“金或“表示，直线和平面的位置关系, 可用数学符号“u或“(T表示.梳理 点、直线、平面之间的根本位置关系及语言表达mnUa, mCn=A；aC0=m,mCn=A；aCP=z, nUa, Auz, AU；aC夕=z, nUa, A加,An.答案解析很明显，a与B交于m,在a内，相与交于A,故填.4
3、.平面aG平面夕=/，点Ma, NUa,点、PG/3,且网/,又MNA/=R,过M, N, P三点、 所确定的平面记为小那么夕Gy=.答案PR解析如图，MNUy, RRMN,：.Ry.:RGl,又 P PG 邛 C 尸PR.5 .空间任意4点最多可以确定的平面个数为答案4 解析 可以想象三棱锥的4个顶点，它们总共确定4个平面.6 .假设直线/与平面a相交于点O, A, B0,C, Dea,且AC3O,那么0, C,。三点 的位置关系是.考点平面的根本性质题点 点共线、线共点、点在线上问题答案三点共线解析 9：ac/bd9AC与确定一个平面，记作平面从 那么直线CDV/n=0, ：.0a.又,：
4、0RABU/3,直线CD,。，C,。三点共线.7 .如图，, E是ABC的边AC, 8C上的点，平面a经过。，两点，假设直线A3与平面 。的交点是P,那么点P与直线OE的位置关系是.答案直线。E解析由于A3U平面ABC,所以平面A3C又尸平面ABCA平面a=DE,所以尸直线。E8 .以下命题中正确的选项是.空间四点中有三点共线，那么此四点必共面；两两相交的三个平面所形成的三条交线必共点；空间两组对边分别相等的四边形是平行四边形；平面a和平面夕可以只有一个交点.答案解析借助三棱柱，可知错误；借助正四周体，可知错误；由公理2,可知错误；由 推论1,可知正确.9 .在底面是平行四边形的四棱柱A8CQ
5、48GA中，既与A3共面也与CG共面的棱的条 数为.答案5解析 如图，底面是平行四边形的四棱柱ABCDAEG出中的每一个面都是平行四边形， 与A3, CG都共面的棱为8C, DC, DC, A4), BB1,共5条.10 .如图，在棱长为。的正方体45coA/iGS中，M, N分别为44，Gd的中点，过D, M, N三点的平面与直线4囱交于点P,那么线段P囱的长为.3答案 -a口A Cl解析 延长。/交的延长线于点G,连结GN交48于点P.由M, N分别为A41, G。13的中点知，P在4囱的a（靠近4）处，故线段PS的长为质.11 .在正方体ABC。一A/1GO1中，P, Q, R分别是Ab
6、 AD, BG的中点，那么正方体经 过P, Q, R的截面图形是.答案正六边形解析 如图，连结用。1,作RG囱A交Cid于G,连结QP并延长与CB的延长线交于M, 连结MR交BE于E,连结产区 那么PE为截面与正方体的交线.同理，延长P。交 8 的 延长线于M 连结NG交。1于兄 连结QE截面PQFGRE为正六边形.二、解答题12 .： A日,Bl, Cl, ZM/,如下图.求证：直线4D BD, C。共面.证明 由于。视，所以/与。可以确定一个平面a,由于A/,所以.又。所以AZ）内，即直线AQ, BD,。共U*同理，BDUa, CDUa,所以AD, BD, CO在同一平面a面.13 .如图
7、，直角梯形ABOC中，AB/CD, ABCD, S是直角梯形A3OC所在平面外一点，画 出平面SBD和平面SAC的交线.5解 由题意得点S是平面S3。和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上. 由于那么分别延长AC和3。交于点E,如下图,VEeAC, ACU平面 &4C,石平面SAC.同理可证平面SBD.点E在平面S3。和平面SAC的交线上，那么连结SE,直线SE就是平面S3。和平面SAC 的交线.三、探究与拓展14.假如一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对.在一个 正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对的个数是考点平面的根本性质题点平面
8、根本性质的其他简洁应用答案36解析 正方体的一条棱长对应着2个“正交线面对，12条棱长共对应着24个“正交线面对；正方体的一条面对角线对应着1个“正交线面对，12条面对角线对应着12个“正 交线面对，共有36个.15.如下图，在空间四边形ABC。中，E,方分别是45和C8上的点，G,分别是CO和Ap CF上的点，且普=先=1，lLl) rAH _CG HDGD2求证：EH, BD,尸G三条直线相交于同一点.Ar CF证明如图，连结EF,由于丽=丽=1AH CGHD GD=2,所以 EF/AC, HG/AC,且EFRGH,所以EH, RS共面，且E, bG不平行.不妨设EHCFG=O,由于0石”
9、，EHu平面A8O,所以。金平面ABD由于ObG,/Gu平面8CQ,所以。金平面BCD又由于 平面45OG平面8co=B。，所以OWBD,所以E”，BD,尸G三条直线相交于同一点。.位置关系符号表示点P在直线A5上PWAB点。不在直线45上C&AB点M在平面AC内平面AC点A不在平面AC内44平面AC直线A3与直线BC交于点BABHBC=B直线A8在平面AC内A3U平面AC直线A4不在平面AC内A4。平面AC学问点三平面的根本性质 思索1直线I与平面。有且仅有一个公共点P.直线/是否在平面a内？有两个公共点呢?答案 前者不在，后者在.思索2观看图象，你能得出什么结论?答案 不共线的三点可以确定
10、一个平面.梳理公理(推论)文字语言图形语言符号语言作用公理1假如一条直线上的 两点在一个平面 内，那么这条直线 上全部的点都在这 个平面内/瓦/BaJ今ABUa(1)判定直线在平面 内；(2)证明点在平面内公理2假如两个平面有一 个公共点，那么它 们还有其他公共 点，这些公共点的 集合是经过这个公 共点的一条直线Pd今a C B二且一巳式I(1)推断两个平面是 否相交；判定点是否在直 线上；(3)证明点共线问题公理3经过不在同一条直 线上的三点,有且 只有一个平面A, B,。不共 线今4, B, C 确定一个平 面a推论1经过一条直线和这 条直线处的一点， 有且只有一个平面Av/A4/=A和l
11、确 定一个平面a推论2经过两条相交直 线，有且只有一个 平面aCb=Aa9 b确定一个平 面a推论3经过两条平行直 线，有且只有一个 平面7a/b=a, h 确 定一个平面a(1)确定一个平面的依据;(2)证明平面重合;(3)证明点、线共面L思考辨析判断正误-1. 8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚.(X )2. 空间不同三点确定一个平面.(X )3. 一条直线和一个点确定一个平面.(X )启迪思维探究重点题型探究类型一 点、直线、平面之间的位置关系的符号表示例1如图，用符号表示以下图形中点、直线、平面之间的位置关系.解 在(1)中，aC0=l, aHa=A9 aC/3=B.在(2)中，a
12、CB=l, cCa, bu arl=P, bCl=P.反思与感悟(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先认真观看图形有几个平面、几 条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.依据符号语言或文字语言画相应的图形时，要留意实线和虚线的区分.跟踪训练1假设点A在直线上，b在平面夕内，那么点4直线近 平面夕之间的关系可以记作.(填序号)Aebe。；Aehu。；Aubu仇 Aub0.考点 平面的概念、画法及表示题点 自然语言、符号语言与图形语言的互化答案类型二点线共面例 2 如图，：a, bUa, an=A, Pb, PQ/a,求证：PQUa.证明 由于尸Qm所以PQ与
13、q确定一个平面从 所以直线点2及由于b Ua,所以 PR a.又由于Ug,所以a与尸重合，所以PQUq.引申探究 将本例中的两条平行线改为三条，即求证：和同一条直线相交的三条平行直线肯定在同一平 面内,解：a/b/c, IdaA, lbB, /Gc=C.求证：a, b, c和/共面.证明：如图,:allb.*.a与确定一个平面a. /Ga=A, ZAZ?=jB, Act? BUa.又AW/, Be/, A/Ccc.:bc,力与c确定一个平面人同理/UR平面a与夕都包含/和。，且/?G/=3,由推论2知：经过两条相交直线有且只有一个平面，1 .平面a与平面重合，b,。和/共面.反思与感悟证明多线
14、共面的两种方法(1)纳入法：先由局部直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内.(2)重合法：先说明一些直线在一平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重 合.跟踪训练2 /!A/2=A, /2n/3 = B, /1AZ3 = C,如下图.求证：直线/1，勿/3在同一平面内.证明 方法一（纳入平面法）VZ1D/2=A,和/2确定一个平面九v/2nz3=B, ：.Beb.又，2 u % .二 5 a.同理可证a.VBe/3, Ce/3, ：hua.，直线人b, b在同一平面内.方法二（帮助平面法）V/1A/2=A, /和/2确定一个平面a.vz2n/3=B, a/2, Z3确定一个平面
15、及l?Ua, .Aa.V/1E/2, hup,:卬,同理可证 B, Cea, C/3.,不共线的三个点A, B,。既在平面a内，又在平面内,平面。和夕重合，即直线/1, 类型三点共线 线共点问题命题角度1点共线问题例3如图，在正方体A8C。一Q,。1三点共线.证明如图，连结4B, CDi,明显3金平面ABC。，Qi 平面 ABCD,3Q|U平面AiBCDi，同理BDiU平面ABC。.平面AB。 A平面ABCD12,，3在同一平面内.中，设线段4c与平面45Goi交于点Q,求证：B,ABDiGw AB= BD、.4CA平面A3GA = Q,平面A3GQi.又.ACU平面AiBCQi,Q平面ABC
16、DX.Q在平面AiBCQi与ABCQi的交线上，即QWBDi,Q,。三点共线.反思与感悟 证明多点共线通常利用公理2,即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别 在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其 他点也在直线上.跟踪训练3 2XABC在平面a外，其三边所在的直线满意A6Ga=尸，BCa=Q, ACAq=R, 如下图.求证：P, Q, R三点共线.证明 方法一 9：ABHa=P,：.PAB9尸平面 a.又ABU平面A8C,平面A5c由公理2可知：点尸在平面A8C与平面。的交线上.同理可证Q, R也在平面A8c与平面a的交线上.P, Q, R三点共线.
17、方法二.APnAR=A,工直线AP与直线AR确定平面APR.又A3Ga = P, ACAa=R,，平面APRA平面。=。凡8金平面APR, C金平面APR, u平面APR.,.,QGBC,平面 APR又 Qa, :.QGPR,:P, Q, R三点共线.命题角度2线共点问题 例4如下图，在正方体A3CQ4EGZ)i中，为A3的中点，尸为A4i的中点.求证：CE,DiF, D4三线交于一点.BI证明如图，连结DiC, AxB.为A3的中点，产为A4的中点，：.EF/AiB9且/=44区又,：hBDC,且 43=。，：.EF/DXC.且 尸=倒,：.E, F, Di,。四点共面，：DiF与CE相交，
18、设交点为P.又。尸u平面AQ|D4,CEU 平面 ABCD,：.P为平面AiDiDA与平面ABCD的公共点.又平面AO1D4n平面abcd=da9依据公理2,可得PD4, 即C, DR D4相交于一点.反思与感悟 证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线， 然后再证两条直线的交点在此直线上.此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线， 证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点.跟踪训练4 ：平面a, B，y两两相交于三条直线/i，勿，3，且/i，L不平行.求证：It，b， ，3相交于一点.证明如图，aC0=l,夕Gy=/2,aCy=h.1?UB
19、，且/l,，2不平行，:/1与，2必相交.设帅2 = P,那么尸/iUa, pe/2c7,P(aA7) = /3, Al, b, /3相交于一点P.检测评价达标过关达标检测1 .用符号表示“点A在直线/上，/在平面a外为答案 A/, l（ta解析:点A在直线/上，A/, : /在平面a夕卜,:lQa.2 .平面a, 有公共点A,那么a, 有 个公共点.答案很多 解析由公理2可得.3 .以下图中图形的画法正确的选项是.（填序号）点A在平宜线/在平面a内直线/交平面a于点P而a内平面。和平面0相交三个平面两两相交答案4 .空间两两相交的三条直线，可以确定的平面数是答案1或3 解析 假设三条直线两两
20、相交，且不共点，那么只能确定1个平面；假设三条直线两两相交, 且共点，那么可以确定1个或3个平面.5 .如图，a(b=A, aCc=B, aCd=F, bc=C, cCd=D, bCd=E,求证：a9 b, c, cl共面.证明 由于4B, C三点不共线，所以A, B,。三点确定一个平面，设为a. 由于BCa,所以qUq,由于CUb,所以bu明 由于Cc,所以cUa,由于 DGc, ERb,所以。ERa.又由于。EGd,所以dUa, 所以。，b, c, d共面.L规律与方法-1 .解决立体几何问题首先应过好三大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合 符号所表示的几何图形的实际意义，恰
21、当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语 言描述出来，再转换为符号语言.文字语言和符号语言在转换的时候，要留意符号语言所代 表的含义，作直观图时，要留意线的实虚.2 .在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用，突出先局部再整 体的思想.课时对点练注重双基强化落实一、填空题1 .以下推理正确的选项是.（填序号）假设 A/, BUI, Ba,那么/Ua；假设A, BGa, B, a与夕不重合，那么。04=4氏假设那么/Ua；假设A, B, CRa, A, B, C,且A, B,。不共线，那么a,夕重合.答案解析 由公理1可知正确；由公理2可知正确；假设Ae/,那么/u。或/与a相交，即/u。不肯定成立，错误；由公理3可知 正确.2 .以下说法中正确的选项是.（填序号）一条直线和一个点确定一个平面；三角形肯定是平面图形；空间中两两相交的三条直线确定一个平面；梯形肯定是平面图形.答案解析 由于一条直线和该直线上的一个点可确定很多个平面，所以不正确；由于三角形的 三个顶点确定一个平面，所以正确；由于长方体中经过同一顶点的三条棱所在的直线可确 定三个平面，所以不正确；由于梯形上下底平行，而两平行线确定一个平面，所以正确. 3.如下图，用符号语言可表示为.（填序号）