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1、空间两条直线的位置关系【学习目标】1.了解两条直线的三种位置关系2理解异面直线的定义及判定，能推断两条直线 是不是异面直线3理解公理4和等角定理，并会用公理4证明线线平行4理解异面直线所成 的角的概念.预习新知夯实基础问题导学学问点一空间两条直线的位置关系思索 在同一平面内，两条直线有几种位置关系？观看下面两个图形，你能找出既不平行又不相交的两条直线吗?D答案平行与相交.教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线；六角螺母中直线45与CD 梳理空间两条直线的位置关系位置关系共面状况公共点个数相交直线在同一平面内有且只有二个平行直线在同一平面内没有异面直线不同在任何一个平面内没有学问点二
2、异面直线的推断思索 分别在两个平面内的两条直线肯定是异面直线吗?答案 不肯定，可能平行、相交或异面.梳理推断异面直线的方法方法内容定义法不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线定理法过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是 异面直线反证法判定两条直线既不平行也不相交，那么这两条直线就是异面直线正确.7 .如下图，设E, F, G,依次是空间四边形ABCO边AB, BC, CD, D4上除端点外的点,.（填序号）芸=翳=九 音=晋=% 那么以下结论中不正确的选项是c当时，四边形E尸GH是平行四边形；当2工时，四边形尸GH是梯形；当丸工时，四边形足尸GH肯定不是平行四边形；
3、当入=林时，四边形EbG”是梯形.答案斛析AB-ADEHBD同理得尸G&）,且丽=当 2= 时，EH/FG且 EH=FG.当2W时，EH/FG,但E/7W尸G.所以只有错误.8 .假如把两条异面直线看成“1对，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有对.答案24解析六条侧棱不是异面直线，一条侧棱与底面六边形的两条边相交，与另外四条边异面， 这样异面直线一共有4X6 = 24（对）.9 . 一个正方体纸盒绽开后如下图，在原正方体纸盒中有如下结论：（1）AB.LEF；E/与MN是异面直线；MN CD.以上结论中正确的序号为.答案解析 把正方体平面绽开图复原到原来的正方体，如下图，ABA.EF
4、,尸与MN是异面直线,AB/CM, MN1CD,所以只有正确.D10.从正方体的棱和各个面上的对角线中选出攵条，使得其中任意两条线段所在的直线都是 异面直线，那么Z的最大值是.答案4解析 正方体共有8个顶点，假设选出的左条线两两异面，那么不能共顶点，即至多可选出 4条，%的最大值为4.二、解答题1L如下图，四边形和A3CZ)都是直角梯形，ZBAD=ZFAB=9Q, BC/AD,且5C =%。，BE/FA.且5E=T刚，G,”分别为 必，尸。的中点.证明：四边形是平行四边形；推断C, D, F,石四点是否共面？为什么？证明由得/G=GA, FH=HD,可得 G”AO,且又 3CAO,且A GH/
5、BC,且 GH=BC,，四边形BCHG为平行四边形.解 由BE=AF, G为 用的中点知，BEFG,且5后=尸6,四边形为平行四边形，J.EF/BG.由(1)知 8G。4且 BG=CH,：.EF/CH,，EF 与 CH 共面.火DRFH, AC, D, F, E四点共面.12.如下图，/XABC和?! Bf Cf的对应顶点的连线A4、BB、CCf交于同一点O,且OA BO CO2OAr OB OC 3.BJ(1)求证：A B, /AB, Af Cf /AC, Bf Cf /BC；求告g乂4 B C的值.证明 VA4，CBB =0,且拦广/=之 u D uJ.AB/ZA1 B,同理 ACA C
6、, BC/Bf C .(2)解 VA7B /AB, A CfAC 且 A3 和 A，AC和 A C方向相反, ：.ZBAC=ZBf Af C .同理NABC=NA B C , ZACB= ZAf C Bf ,ar An 0 ABV-zvi Bf C且7；墨号， A D U/3. Saqbc(2、4*9 Saa1 b c 3/9,三、探究与拓展13 .设P是直线/外肯定点，过点P且与/成30。角的异面直线有 条.答案许多解析 如下图，过点尸作直线/ /,以/为轴，与/成30。角的圆锥面的全部母线都与/ 成30。角.14 .如下图，E,歹分别是长方体45G。一A3CQ的棱4A, GC的中点.求证：
7、四边形8EDb是平行四边形./D考点平行公理题点推断、证明线线平行证明设。是。Di的中点，连结EQ, QCi. ；是441的中点, ：.EQ/AXD且 EQ=AD. 又在矩形48GG中，田G 且 4Di=SG, ：.EQ/BxC且 EQ=BC.四边形EQCxBx为平行四边形， ；BiECiQ 且 BiE=CiQ.入,：Q, F是皿,QC两边的中点, QQ。尸且 QD=CF,：.四边形QDFG为平行四边形. GQ。/且CiQ=DF,:,BiEDF 且 BiE=DF, 四边形BEDF为平行四边形.学问点三 平行公理（公理4）思索 在平面内有直线a, b, c,假设。，h/c,那么。c,该结论在空间
8、中是否成立？ 答案成立.梳理平行公理文字表述：平行于同一条直线的两条直线相互平行.a/ b（2）符号表示：a/ c.b/ c学问点四 等角定理及异面直线所成的角思索1观看图象,在平行六面体ABC。一A Bf C Df中，NAOC与NA Dr Cf9 ZADC 与Ar 的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？答案 从图中可以看出，ZADC= ZAf Dr C , ZADC-ZDr Af B =180.思索2在平行六面体AiBGOiA8CO中，BC/ADy,那么“直线8cl与直线BC所成的角与“直线AG与直线8c所成的角是否相等？/方AB答案相等.梳理（1）等角定理假如一个角的两边和另一个角的
9、两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等.异面直线所成的角定义前提两条异面直线4, b作法经过空间任意一点0,作直线Ha, hf /h结论我们把小 和。所成的锐角（或直角）叫做异面直线4,。所成的角范围记异面直线与匕所成的角为。，那么090。特别状况当。=鳖时，异面直线4,匕相互垂直，记作一_1_。L思考辨析判断正误-1 .两直线假设不是异面直线，那么必相交或平行.（v ）2 .彳段设B , AC/A1 C ,刃B 么 N8AC=N8 A .（ X ）启迪思维探究重点题型探究类型一 公理4与等角定理的应用例1如图，在棱长为。的正方体ABC。-A181G5中，M, N分别是棱CD, AO的中点
10、.求证：四边形MN4G是梯形;(2)NQNM=NOi4G.证明(1)如图，连结AC 在ACO中，YM, N分别是CD的中点,是AC。的中位线，：.MN/AC,且 MN=3AC.由正方体的性质，得ACAG,且 AC=AiG.:.MNAC,且 MN=1aiG,即 MNW4G,四边形MAXiG是梯形.(2)由(1)可知，MNAC.又NQAiA,且NDMW与NOiAiG的两边的方向相同，：./DNM= NDiAC.反思与感悟(1)空间两条直线平行的证明定义法：即证明两条直线在同一平面内且两直线没有公共点.利用公理4找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行.(2)等角定理的结论是相等，在实际应用时，一
11、般是借助于图形推断两角的两边方向是否相同.跟踪训练1如下图，在正方体A5C。-中，M,陷分别是棱AD和4。的中点.求 证:(1)四边形BByMyM为平行四边形；(2)ZBMC=ZBiMiCi.证明 在正方形AOQiAi中，M, M分别为AQ, 4。的中点，四边形AMM4为平行四边形，：.AxA/MiM,且4A=MiM.又AiA=BiB,:MMBB且，四边形BBMM为平行四边形.(2)由知四边形BBMyM为平行四边形，同理可得四边形CGMM为平行四边形，CM/CM.由平面几何学问可知，N3MC和NBiMG都是锐角.：.ABMC=类型二异面直线的推断例2 (1)在四棱锥PABCO中，各棱所在的直线
12、互为异面的有 对.答案8解析 与AB异面的有侧棱PO和尸C,同理，与底面的各条边异面的都有两条侧棱，故共有 异面直线4义2 = 8(对).如图是一个正方体的绽开图，假如将它复原成正方体，那么Ab CD, EF, G”这四条线 段所在直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？解三对，分别为A3与CD, AB与GH, EF与GH.复原的正方体如下图.C(G)4反思与感悟判定异面直线的方法(1)定义法：利用异面直线的定义，说明两条直线不平行，也不相交，即不行能同在同一个平 面内,(2)利用异面直线的判定定理.(3)反证法：假设两条直线不是异面直线，依据空间两条直线的位置关系，这两条直线肯定共 面，即可能
13、相交或平行，然后推出冲突即可.跟踪训练2如下图，在三棱锥ABCD中，E,尸是棱AZ)上异于A,。的两个不同点，G, 是棱上异于。的两个不同点，给出以下说法：A3与CD互为异面直线；尸”分别与QC,互为异面直线；EG与FH互为异面直线；EG与互为异面直线.其中说法正确的选项是.(填序号)答案解析 由于直线。CU平面直线A冽平面58,点网直线0c 所以由异面直线的判 定定理可知，正确；同理，正确.检测评价达标过关达标检测1 假设。和。是异面直线，。和c是异面直线，那么，和c的位置关系是.答案相交、平行或异面解析 异面直线不具有传递性，可以以长方体为载体加以说明，异面直线m乩 直线c的位 置可如下图
14、.b2 .以下四个结论中错误命题的个数是.垂直于同始终线的两条直线相互平行；平行于同始终线的两直线平行；假设直线b, c满意b_Lc,那么_Lc；假设直线/1, /2是异面直线，那么与小，2都相交的两条直线是异面直线.答案2解析 均为错误命题.可举反例，如m b,。三线两两垂直.如图甲，c, d与异面直线/1,，2交于四个点，此时。，d异面；当点A在直线6上运动（其余三点不动）时，会消失点A与3重合的情形，如图乙所示，此时 c, d共面相交.3 .在三棱锥的全部棱中，互为异面直线的有 对.答案3解析 如图，在三棱锥A3CO中，AB与异面，BC与AD异面,AC与BD异面,所以 有3对异面直线.4
15、 .如下图，在三棱锥ABCD中，E, F, G, ”分别是棱AB, BC, CD, D4的中点，那么当 AC, BD满意 时，四边形EVGH为菱形；当AC, BD满意 时，四边形尸GH是正方形.答案 AC=BD AC=BD AC.LBD解析由题意可得EF/AC/HG,且EF= HG,：.四边形EFGH为平行四边形,又 EHBDFG,且 EH=3BD=FG,:,当EF=FG,即AC=3O时，四边形E/GH为菱形；当EbJLbG且石尸=bG,即ACJ_8。且AC=8。时，四边形EEGH为正方形.5 .如下图，E, F, G, H分别是空间四边形A3CO的边Ab BC, CD, D4的中点.（1）求
16、证：E, F, G,”四点共面；假设AC_LBZ）,求证：四边形rGH是矩形.证明（1）如下图，连结E凡FG,GH, HE,在A3。中， ：E,分别是AB, AD的中点,:EHBD,且 EH=3BD同理尸G8D,且FG=gBD,：.EH/FG,且 EH=FG, F, G,四点共面.（2）由（1）知 EH/G,且 EH=FG,J四边形石9GH为平行四边形. ”G是4DC的中位线，：.HG/AC.又 EHBD, AC.LBD,:EHLHG, 四边形为矩形.L规律与方法-1 .判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义.许多状况下，定义 就是一种常用的判定方法.对于异面直线的推断，
17、常用判定定理和反证法.2 .在讨论异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成 的角.将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径.需要强 调的是，两条异面直线所成角的范围为（0。，90,在解题时常常结合这一点去求异面直线所 成角的大小.作异面直线所成的角，可通过多种方法平移产生，主要有三种方法：直接平移法（可利用图 中已有的平行线）；中位线平移法；补形平移法（在图形中，补作一个相同的几何体，以 便找到平行线）.注重双基强化落实课时对点练一、填空题1 .空间两个角a, B，。与尸的两边对应平行，且a=60。，那么=.答案60。或1202 .如下
18、图，G, H, M, N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，那么表示直线G, MN 是异面直线的图形是.（填序号）答案解析 中，VG, M 是中点，:.AGIIBM, AG=BM, ：.GM/AB/HN. GM=AB=HN, 故四边形为平行四边形，：.GH/MN,即G, H, M, N四点共面；中，:H, G, N三点共面，且都在平面HGN内，而点M明显不在平面”GN内，”，G, M, N四点不共面，即G”与异面；中，TG, M是中点，GMCD,且GM=3CD, ：,GMHN,且GM=；HN,即GMN”是梯形，那么G,必相交，即”，G, M, N四点共面；中,同，G, H, N四点不共面，即G
19、H与MN异面.3 .假设NA08=NA|0i5且OAOi4，Q4与。14的方向相同，那么以下结论中正确的选 项是.（填序号）。80归1且方向相同；OBOiBi；03与。18不平行；QB与。18不肯定平行.答案解析 如图（1）,乙403=/4。叔且040|4但。3与0十|不平行，故排解；如图（2）, NA03=NAi0i5且此时03。囱，故排解.图（1）图（2）4 .以下三种说法：假设直线。，相交，h, c相交，那么c相交；假设，那么4, 与C所成的角相等；假设aA-hj b-Lc9那么a/c.其中正确的个数是.答案1解析假设m人相交，乩c相交，那么m。相交、平行、异面均有可能，故不对；假设 a
20、A.b, b.Lc,那么c平行、相交、异面均有可能，故不对；正确.5 .在空间四边形A3CZ）中，M, N分别是A- CZ）的中点，且AC=4, 50=6,那么MN的 取值范围为.考点平行公理题点 推断、证明线线平行答案（1,5）解析 取的中点儿 连结NH,那么MHBD,且NH/AC,且NH= 夕C,且M, N,三点构成三角形，由三角形中三边关系，可得MH-NHVMNVMH+NH, 即 TMN5.6 .如下图，正方体ABC。-48GA中，M, N分别为棱Gd，GC的中点，有以下四个结 论：直线AM与CG是相交直线；直线AM与BN是平行直线；直线BN与MB1是异面直线；直线AM与DD是异面直线.其中正确的结论为.（写出全部正确结论的序号）答案解析YA, M, C, G四点不共面，直线AM与CG是异面直线，故错；同理，直线AM, 3N也是异面直线，故错；同理，直线8N与M囱是异面直线，直线AM与。是异面直线，