《数学竞赛试卷八年级_中学教育-竞赛题.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学竞赛试卷八年级_中学教育-竞赛题.pdf（6页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、优秀学习资料 欢迎下载 20XX年全国初中数学联合竞赛试题及详解 第一试 一、选择题：（本题满分 42 分，每小题 7 分）1.若,a b c均为整数且满足1010()()1abac，则|a bb cc a （B ）A1.B2.C3.D4.解：由已知可推得011abbcac 或 110abbcac ，分别代入即得。2若实数,a b c满足等式23|6ab，49|6abc，则c可能取的最大值为 （C）A0.B1.C2.D3.解：由已知，6492(23)1512 1512cababbb，2c.3若ba,是两个正数，且,0111abba 则 （C ）A103ab .B113ab .C413ab .D
2、423ab .解：当ab时，可计算得23ab，从而43ab。观察 4 个选项，只能选 C.4若方程2310 xx 的两根也是方程420 xaxbxc 的根，则2abc 的值为（A ）A13.B9.C6.D 0.解：由已知：42xaxbxc一定能被231xx整除。4222(31)(310)(333)(10)xaxbxcxxxxaabxac (333)(10)0abxac ，故3330213100ababcac 5在ABC中，已知60CAB，D，E 分别是边 AB，AC 上的点，且60AED，CEDBED，CDECDB2,则 DCB (B )A15.B20.C25.D30.解：如图，由已知，ADE
3、 是正三角形。作 BFDE 交 AC 于 F，则 BDEF，从而 ECDE+BDABBF，DEFC，又12120，故EDCFCB.故x.CDB 2，BDE 120，40，故 40 x 由406020 ，得：20 x.优秀学习资料 欢迎下载 6对于自然数n，将其各位数字之和记为na，如2009200911a ，201020103a ，则12320092010aaaaa （D ）A28062.B28065.C28067.D28068.解：将 0，1，2，999 这 1000 个自然数分为 500 个数组：（0，999）、（1，998）、（2，997）、（499，500）.注意到：这 500 个数组
4、中，每个数组的两个自然数各位数字之和均为 99927，故 0，1，2，999 这 1000 个自然数各位数字之和等于2750013500.于是，1000，1001，1002，1999 这 1000 个自然数各位数字之和等于 135001000 14500.从而1231999135001450028000aaaa .显然：20002001201068aaa，故：123201028068aaaa.二、填空题：（本题满分 28 分，每小题 7 分）1已知实数,x y满足方程组3319,1,xyxy 则22xy 13 。解：22332222191913121xyxyxyxyxyxyxy 2二次函数cb
5、xxy2的图象与x轴正方向交于 A，B 两点，与y轴正方向交于点 C已知ACAB3，30CAO，则c 19 解：如图，由已知可推得：32 3OCcOAcABc，设12(,0),(,0)A xB x，则1233 3xcxc，由212199x xccc.3在等腰直角ABC 中，ABBC5，P 是ABC 内一点，且 PA5，PC5，则 PB10 解：见上图。4将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有 5 个或 10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放 15 个球.解：先画一个“初始图”：A B C D E A B C D E 按照题目要求，
6、逐一确定各个字母的颜色，得到：D D 显然，D 应为黑色。即：再按要求尝试增加小球，确定最后结果如下：足则解由已知可推得或分别代入即得若实数满足等式则可能取的最大值为解由已知若是两个正数且则解当时可计算得从而观察个选项只能选若方程的两根也是方程的根则的值为解由已知一定能被整除故在中已知分别是边上的点且解则解将这个自然数分为个数组注意到这个数组中每个数组的两个自然数各位数字之和均为故这个自然数各位数字之和等于于是这个自然数各位数字之和等于从而显然故二填空题本题满分分每小题分已知实数满足方程组则解二次函数上图将若干个红黑两种颜色的球摆成一行要求两种颜色的球都要出现且任意中间夹有个或个球的两个球必为
7、同一种颜色的球这种要求摆放最多可以摆放个球解先画一个初始图照题目要求逐一确定各个字母的颜色得到显然应为黑色即优秀学习资料 欢迎下载 第二试（A）一（本 题 满 分20分）设 整 数,a b c（abc）为 三 角 形 的 三 边 长，满 足22213abcabacbc，求符合条件且周长不超过 30 的三角形的个数.解 由已知等式可得 222()()()26abbcac 令,abm bcn ，则acmn ，其中,m n均为自然数.于是，等式变为222()26mnmn，即 2213mnmn 由于,m n均为自然数，判断易知，使得等式成立的,m n只有两组：3,1mn和1,3.mn （1）当3,1m
8、n时，1bc，34abc .又,a b c为三角形的三边长，所以bca，即(1)4ccc ，解得3c.又因为三角形的周长不超过 30，即(4)(1)30abcccc ，解得253c.因此2533c，所以c可以取值 4，5，6，7，8，对应可得到 5 个符合条件的三角形.（2）当1,3mn时，3bc，14abc .又,a b c为三角形的三边长，所以bca，即(3)4ccc ，解得1c.又因为三角形的周长不超过 30，即(4)(3)30abcccc ，解得233c.因此2313c，所以c可以取值 2，3，4，5，6，7，对应可得到 6 个符合条件的三角形.综合可知：符合条件且周长不超过 30 的
9、三角形的个数为 5611.二（本题满分 25 分）已知等腰三角形ABC 中，ABAC，C 的平分线与 AB 边交于点 P，M 为ABC 的内切圆I 与 BC 边的切点，作 MD/AC，交I 于点D.证明：PD 是I 的切线.证明 过点 P 作I 的切线 PQ（切点为 Q）并延长，交BC 于点 N.因为 CP 为ACB 的平分线，所以ACPBCP.又因为 PA、PQ 均为I 的切线，所以APCNPC.又 CP 公共，所以ACPNCP，所以PACPNC.由 NMQN，BABC，所以QNM BAC，故NMQACB，所以 MQ/AC.又因为 MD/AC，所以 MD 和 MQ 为同一条直线.又点 Q、D
10、 均在I 上，所以点 Q 和点 D 重合，故 PD 是I 的切线.NQIPCAMB足则解由已知可推得或分别代入即得若实数满足等式则可能取的最大值为解由已知若是两个正数且则解当时可计算得从而观察个选项只能选若方程的两根也是方程的根则的值为解由已知一定能被整除故在中已知分别是边上的点且解则解将这个自然数分为个数组注意到这个数组中每个数组的两个自然数各位数字之和均为故这个自然数各位数字之和等于于是这个自然数各位数字之和等于从而显然故二填空题本题满分分每小题分已知实数满足方程组则解二次函数上图将若干个红黑两种颜色的球摆成一行要求两种颜色的球都要出现且任意中间夹有个或个球的两个球必为同一种颜色的球这种要
11、求摆放最多可以摆放个球解先画一个初始图照题目要求逐一确定各个字母的颜色得到显然应为黑色即优秀学习资料 欢迎下载 三（本题满分 25 分）已知二次函数2yxbxc的图象经过两点 P(1,)a，Q(2,10)a.（1）如果,a b c都是整数，且8cba，求,a b c的值.（2）设二次函数2yxbxc的图象与x轴的交点为 A、B，与y轴的交点为 C.如果关于x的方程20 xbxc 的两个根都是整数，求ABC 的面积.解 点 P(1,)a、Q(2,10)a在二次函数2yxbxc的图象上，故1 bca ，4210aca，解得93ba，82ca.（1）由8cba 知8293,938,aaaa 解得13
12、a.又a为整数，所以2a，9315ba，8214ca.(2)设,m n是方程的两个整数根，且mn.由根与系数的关系可得39mnba ，28mnca ，消去a，得98()6mnmn，两边同时乘以 9，得8172()54mnmn，分解因式，得(98)(98)10mn.所以981,9810,mn 或982,985,mn 或9810,981,mn 或985,982,mn 解得1,2,mn或10,913,9mn或2,97,9mn 或1,932,3mn 又,m n是整数，所以后面三组解舍去，故1,2mn.因此，()3bmn ，2cmn ，二次函数的解析式为232yxx.易求得点 A、B 的坐标为（1,0）
13、和（2,0），点 C 的坐标为（0,2），所以ABC 的面积为1(21)212 .第二试（B）一（本题满分 20 分）设整数,a b c为三角形的三边长，满足22213abcabacbc，求符合条件且周长不超过 30 的三角形的个数（全等的三角形只计算 1 次）.解 不妨设abc，由已知等式可得 222()()()26abbcac 令,abm bcn ，则acmn ，其中,m n均为自然数.于是，等式变为222()26mnmn，即 足则解由已知可推得或分别代入即得若实数满足等式则可能取的最大值为解由已知若是两个正数且则解当时可计算得从而观察个选项只能选若方程的两根也是方程的根则的值为解由已知一
14、定能被整除故在中已知分别是边上的点且解则解将这个自然数分为个数组注意到这个数组中每个数组的两个自然数各位数字之和均为故这个自然数各位数字之和等于于是这个自然数各位数字之和等于从而显然故二填空题本题满分分每小题分已知实数满足方程组则解二次函数上图将若干个红黑两种颜色的球摆成一行要求两种颜色的球都要出现且任意中间夹有个或个球的两个球必为同一种颜色的球这种要求摆放最多可以摆放个球解先画一个初始图照题目要求逐一确定各个字母的颜色得到显然应为黑色即优秀学习资料 欢迎下载 2213mnmn 由于,m n均为自然数，判断易知，使得等式成立的,m n只有两组：3,1mn和1,3.mn （1）当3,1mn时，1
15、bc，34abc .又,a b c为三角形的三边长，所以bca，即(1)4ccc ，解得3c.又因为三角形的周长不超过 30，即(4)(1)30abcccc ，解得253c.因此2533c，所以c可以取值 4，5，6，7，8，对应可得到 5 个符合条件的三角形.（2）当1,3mn时，3bc，14abc .又,a b c为三角形的三边长，所以bca，即(3)4ccc ，解得1c.又因为三角形的周长不超过 30，即(4)(3)30abcccc ，解得233c.因此2313c，所以c可以取值 2，3，4，5，6，7，对应可得到 6 个符合条件的三角形.综合可知：符合条件且周长不超过 30 的三角形的
16、个数为 5611.二（本题满分 25 分）题目和解答与（A）卷第二题相同.三（本题满分 25 分）题目和解答与（A）卷第三题相同.第二试（C）一（本题满分 20 分）题目和解答与（B）卷第一题相同.二（本题满分 25 分）题目和解答与（A）卷第二题相同.三（本题满分 25 分）设p是大于 2 的质数，k为正整数若函数4)1(2pkpxxy的图象与 x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求 k的值 解 由题意知，方程04)1(2pkpxx的两根21,xx中至少有一个为整数 由根与系数的关系可得4)1(,2121pkxxpxx，从而有 pkxxxxxx)1(4)(2)2)(2(212121 （
17、1）若1k，则方程为0)2(22ppxx，它有两个整数根2和2p （2）若1k，则01k.因为12xxp 为整数，如果21,xx中至少有一个为整数，则21,xx都是整数.又因为p为质数，由式知2|1xp或2|2xp 不妨设2|1xp，则可设12xmp（其中 m 为非零整数），则由式可得212kxm，故121(2)(2)kxxmpm，即1214kxxmpm 足则解由已知可推得或分别代入即得若实数满足等式则可能取的最大值为解由已知若是两个正数且则解当时可计算得从而观察个选项只能选若方程的两根也是方程的根则的值为解由已知一定能被整除故在中已知分别是边上的点且解则解将这个自然数分为个数组注意到这个数组
18、中每个数组的两个自然数各位数字之和均为故这个自然数各位数字之和等于于是这个自然数各位数字之和等于从而显然故二填空题本题满分分每小题分已知实数满足方程组则解二次函数上图将若干个红黑两种颜色的球摆成一行要求两种颜色的球都要出现且任意中间夹有个或个球的两个球必为同一种颜色的球这种要求摆放最多可以摆放个球解先画一个初始图照题目要求逐一确定各个字母的颜色得到显然应为黑色即优秀学习资料 欢迎下载 又12xxp，所以14kpmpm ，即 41)1(mkpm 如果 m 为正整数，则(1)(1 1)36mp ，10km，从而1(1)6kmpm，与式矛盾.如果 m 为负整数，则(1)0mp，10km，从而1(1)
19、0kmpm，与式矛盾.因此，1k时，方程04)1(2pkpxx不可能有整数根 综上所述，1k 足则解由已知可推得或分别代入即得若实数满足等式则可能取的最大值为解由已知若是两个正数且则解当时可计算得从而观察个选项只能选若方程的两根也是方程的根则的值为解由已知一定能被整除故在中已知分别是边上的点且解则解将这个自然数分为个数组注意到这个数组中每个数组的两个自然数各位数字之和均为故这个自然数各位数字之和等于于是这个自然数各位数字之和等于从而显然故二填空题本题满分分每小题分已知实数满足方程组则解二次函数上图将若干个红黑两种颜色的球摆成一行要求两种颜色的球都要出现且任意中间夹有个或个球的两个球必为同一种颜色的球这种要求摆放最多可以摆放个球解先画一个初始图照题目要求逐一确定各个字母的颜色得到显然应为黑色即