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1、学习必备 欢迎下载 数学基础知识与典型例题 第一章集合与简易逻辑 集合 1.元素与集合的关系:用或表示；2.集合中元素具有 确定性、无序性、互异性.3.集合的分类：按元素个数分：有限集，无限集；按元素特征分；数集，点集。如数集y|y=x2,表示非负实数集，点集(x，y)|y=x2表示开口向上，以y 轴为对称轴的抛物线；4.集合的表示法：列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如 N+=0，1，2，3，；描述法 字母表示法:常用数集的符号：自然数集 N；正整数集*NN或；整数集 Z；有理数集 Q、实数集 R;例 1 下列关系式中正确的是（）(A)(B)0(C)0 (D)0 例 2 3231
2、xyxy 解集为_.例 3 设24,21,9,5,1AaaBaa,已知 9AB,求实数a的值.子集 集合与集合的关系:用，=表示;A 是 B 的子集记为 AB；A是 B 的真子集记为 AB。任何一个集合是它本身的子集，记为AA；空集是任何集合的子集，记为A；空集是任何非空集合的真子集；如果BA，同时AB，那么 A=B；如果AB，BC，AC那么.n 个元素的子集有2n个；n 个元素的真子集有 2n 1个；n 个元素的非空真子集有 2n2 个.例 4 设220,Mx xxxR ，a=lg(lg10)，则a与 M 的关系是()(A)a=M (B)Ma (C)aM (D)Ma 例 5 集合 A=x|x
3、=3k-2，kZ，B=y|y=3n+1，nZ，S=y|y=6m+1，mZ 之间的关系是()(A)SBA (B)S=BA (C)SB=A (D)SB=A 例 6 用适当的符号()、=、茌填空：_Q;3.14_Q;RR+_R;x|x=2k+1,kZ_ x|x=2k1,kZ。例 7 已知全集 U2，4，1a，A2，a2a2如果1UA，那么 a 的值为_.交、并、补 1.交集 AB=x|xA 且 xB;并集 AB=x|xA，或 xB;补集 CUA=x|xU，且 xA，集合 U 表示全集.2.集合运算中常用结论:;ABABA ABABB()()();UUUABAB痧?()()()UUUABAB痧?()(
4、)card ABcard A()()card Bcard AB 例 8 设集合 A=x|xZ 且-10 x-1，B=x|xZ，且|x|5，则 AB 中的元素个数是()(A)11 (B)1 (C)16 (D)15 例 9 已知 A=4|2mmZ，B=x|32xN，则 AB=_。例 10 已知集合 M=y|y=x2+1，xR，N=y|y=x+1，xR，求 MN。交 例 11 若 A=(x，y)|y=x+1,B=y|y=x2+1,学习必备 欢迎下载、并、补 则 AB=_.例 12 设全集,6UR Ax x，则()_,UAA()_.UAA 例 13 设全集 U=1，2，3，4，5，6，7，8，A=3，
5、4，5 B=4，7，8,求：（CU A）(CU B),(CU A)(CU B),CU(AB),CU(AB).不等式 1.绝对值不等式的解法：(0)xa a的解集是,0 xaxa a ;(0)xa a的解集是,0 x xaxa a 或 公式法:()()()()()()f xg xf xg xf xg x 或,()()()()()f xg xg xf xg x.(2)几何法 (3)定义法（利用定义打开绝对值）(4)两边平方 2、一元二次不等式)0(02acbxax或)0.(02acbxax的求解原理：利用二次函数的图象通过二次函数与二次不等式的联系从而推证出任何一元二次不等式的解集。0 0 0 二
6、次函数 cbxaxy2（0a）的图象 cbxaxy2 cbxaxy2 cbxaxy2 一元二次方程 20axbx c 0a 的根 有 两 相 异 实 根)(,2121xxxx 有 两 相 等 实 根abxx221 无实根 的解集)0(02acbxax 21xxxxx 或 abxx2 R 的解集)0(02acbxax 21xxxx 注:分式、高次不等式的解法：标根法 不等式 14.不等式20 xaxb 的解集是23xx,则_,_.ab 15.分式不等式307xx的解集为：_.16.求使4123xx有意义的取值范围.不等17.解不等式：|4x-3|2 x+1.设已知求实数的值元素与集合的关系用或表
7、示集合中元素具有确定性无序性互异性集合的分类按元素个数分有限集无限集按元素特征分数集点集如数集表示非负实数集点集表示开口向上以轴为对称轴的抛物线集合的表示法列举法用数集例设集合与集合的关系用表示是的子集记为则与的关系是是的真子集记为任何一个集合是本身的子集空集是任何集合例集合记为空集是任之间的关系是的子集记为何非空集合的真子集如果同时例用适当的符号么如果个元素的子集或补集且集合表示全集集合运算中常用结论痧痧例设集合且且则中的元素个数是例已知则例已知集合求交例若学习必备欢迎下载并补则例设全集则例设全集求不等式绝对值不等式的解法的解集是的解集是公式法或或几何法定义法学习必备 欢迎下载 式 18.解
8、不等式：|x-3|-|x+1|2 或 x2 或 x2 x+14x-32x+1或 4x-32 或 x2 或 x31.例 18 分析：关键是去掉绝对值.方法 1：零点分段讨论法（利用绝对值的代数定义）当1x时，01,03xx1)1()3(xx41 x 当13x时1)1()3(xx21x，321|xx 当3x时1)1()3(xx-41Rx|3x x 综上,原不等式的解集为21|xx 也可以这样写：设已知求实数的值元素与集合的关系用或表示集合中元素具有确定性无序性互异性集合的分类按元素个数分有限集无限集按元素特征分数集点集如数集表示非负实数集点集表示开口向上以轴为对称轴的抛物线集合的表示法列举法用数集
9、例设集合与集合的关系用表示是的子集记为则与的关系是是的真子集记为任何一个集合是本身的子集空集是任何集合例集合记为空集是任之间的关系是的子集记为何非空集合的真子集如果同时例用适当的符号么如果个元素的子集或补集且集合表示全集集合运算中常用结论痧痧例设集合且且则中的元素个数是例已知则例已知集合求交例若学习必备欢迎下载并补则例设全集则例设全集求不等式绝对值不等式的解法的解集是的解集是公式法或或几何法定义法学习必备 欢迎下载 解：原不等式等价于1)1()3(1xxx或1)1()3(31xxx或 1)1()3(3xxx，解的解集为 ，的解集为x|21x21.方法 2：数形结合:从形的方面考虑，不等式|x-
10、3|-|x+1|21.例 19 答：x|x0 或 1x2 例 20 解：要原方程有两个负实根，必须:121 22(1)0000kxxxx 132101210)1(2230)1(2402012kkkkkkkkkkkkk或或.13212kk或实数 k 的取值范围是k|-2k-1或32k1.例 21 解：逆命题：若 x=3 且 y=2 则 x+y=5（真）否命题：若 x+y 5 则 x 3 且 y 2（真）逆否命题：若 x 3 或 y 2 则 x+y 5（假）例 22 答:真 解：逆否：a=2 且 b=3，则 a+b=5，成立，所以此命题为真.例 23 答:若 a、b 都不为 0，则 ab0 例 2
11、4 解：假设 x1 且 y1，由不等式同向相加的性质 x+y2 与已知 x+y2 矛盾,假设不成立 x、y 中至少有一个不小于 1 注反证法的理论依据是：欲证“若 p 则 q”为真，先证“若 p 则非 q”为假，因在条件 p 下，q与非 q 是对立事件（不能同时成立，但必有一个成立），所以当“若 p 则非 q”为假时，“若 p则 q”一定为真。例 25 解：函数xcy 在 R 上单调递减.10c 不等式|2|1|2|1.xxcRyxxc R的解集为函数在 上恒大于 22,2,|2|2|2.2,2,1|2|121.,2110.,1.(0,1,).22xc xcxxcyxxcccxcxxcRccP
12、cPcc R函数在上的最小值为不等式的解集为如果正确且 Q不正确则如果不正确且 Q正确则所以的取值范围为 例 26 答：552xxx 或.例 27 答既不充分也不必要 解:“若 x+y=3,则 x=1 或 y=2”是假命题,其逆命题也不成立.逆否命题:“若12xy或,则3xy”是假命题,否命题也不成立.故3yx是12xy或的既不充分也不必要条件.例 28 选 B 例 29 选 A 1、当别人说你“有缺陷”时，你就“疯狂地战胜它”吧！疯狂就是：设已知求实数的值元素与集合的关系用或表示集合中元素具有确定性无序性互异性集合的分类按元素个数分有限集无限集按元素特征分数集点集如数集表示非负实数集点集表示
13、开口向上以轴为对称轴的抛物线集合的表示法列举法用数集例设集合与集合的关系用表示是的子集记为则与的关系是是的真子集记为任何一个集合是本身的子集空集是任何集合例集合记为空集是任之间的关系是的子集记为何非空集合的真子集如果同时例用适当的符号么如果个元素的子集或补集且集合表示全集集合运算中常用结论痧痧例设集合且且则中的元素个数是例已知则例已知集合求交例若学习必备欢迎下载并补则例设全集则例设全集求不等式绝对值不等式的解法的解集是的解集是公式法或或几何法定义法学习必备 欢迎下载“Practice while others are complaining.当别人抱怨时你练习。Believe while ot
14、hers are doubting.当别人疑惑时你坚信。”从一个人的“反弹爆发力”上，我最佩服乒乓球双料冠军邓亚萍。她因为身高只有 1 米 5，曾经被省队和国家队都拒绝过，她父亲就对她说：“你个子矮，就必须把球打得快，这样才有进攻性；你个子矮，别人跑一步，你就要跑两步，所以你一定要跑得快。”因为她要克服个子矮的弱点，所以在训练时，她比任何人都要付出多两倍的努力，每天要换几次衣服，晚上趁别人睡下时，还要再悄悄躲进训练房苦练到晕倒为止。邓亚萍说：“我打球打赢了还不一定能进国家队，更别说输了。所以我打球很凶狠，那是逼出来的。”假如你感觉自己有某方面缺陷弱点时，你就疯狂地战胜它吧，像邓亚萍一样，当别人
15、休息时你练习；当别人疑惑时你坚信；当别人放弃时你坚持苦练短处，把短处变得更快、把短处变得更狠，从而把短处变成长处！邓亚萍说：“我不比别人聪明，但我能管住自己。我从小就形成了一旦设定目标，就绝不轻易放弃的习惯。也许，这就是我能赢得成功的原因。”当你看到这里时，也请怒吼一声：“我要管住自己的软弱！一旦设定目标就绝不放弃！（Never Give Up）”成功就是坚持！设已知求实数的值元素与集合的关系用或表示集合中元素具有确定性无序性互异性集合的分类按元素个数分有限集无限集按元素特征分数集点集如数集表示非负实数集点集表示开口向上以轴为对称轴的抛物线集合的表示法列举法用数集例设集合与集合的关系用表示是的子集记为则与的关系是是的真子集记为任何一个集合是本身的子集空集是任何集合例集合记为空集是任之间的关系是的子集记为何非空集合的真子集如果同时例用适当的符号么如果个元素的子集或补集且集合表示全集集合运算中常用结论痧痧例设集合且且则中的元素个数是例已知则例已知集合求交例若学习必备欢迎下载并补则例设全集则例设全集求不等式绝对值不等式的解法的解集是的解集是公式法或或几何法定义法