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1、数学基础知识与典型例题(第十一章函数极限与导数)知识网 数学归纳法、数列的极限与运算 1数学归纳法：(1)由特殊事例得出一般结论的归纳推理方法，通常叫做归纳法.归纳法包含不完全归纳法和完全归纳法.不完全归纳法:根据事物的部分(而不是全部)特殊事例得出一般结论的推理方法.完全归纳法:根据事物的所有特殊事例得出一般结论的推理方法 数学归纳法常与不完全归纳法结合起来使用,用不完全归纳法发现规律,用数学归纳法证明结论.(2)数学归纳法步骤:验证当n取第一个0n时结论0()P n成立;由假设当nk（0,kN kn）时,结论()P k成立，证明当1nk 时,结论(1)P k 成立;根据对一切自然数0nn时
2、，()P n都成立.2.数列的极限(1)数列的极限定义:如果当项数n无限增大时,无穷数列na的项na无限地趋近于某个常数a(即naa无限地接近于),那么就说数列na以a为极限,或者说a是数列na的极限.记为limnnaa或当n 时，naa.(2)数列极限的运算法则:如果na、nb的极限存在，且lim,limnnnnaabb，那么lim()nnnabab；lim();nnnaba b lim(0)nnnaabbb 特别地，如果 C 是常数，那么lim()limlimnnnnnC aCaCa.几个常用极限:limnCC（C为常数）lim0nank（,a k均为常数且Nk）（1)1lim0(1)(1
3、或1)不存在nnqqqqq=首项为1a，公比为q（1q）的无穷等比数列的各项和为lim1nnaSq.注：并不是每一个无穷数列都有极限.四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况.数学归纳法、数列的极限与运算 例 1.某个命题与正整数有关，若当)(*Nkkn时该命题成立，那么可推得当n1k时该命题也成立，现已知当5n时该命题不成立，那么可推得 （）(A)当6n时，该命题不成立 (B)当6n时，该命题成立(C)当4n时，该命题成立 (D)当4n时，该命题不成立 例 2.用数学归纳法证明:“)1(111212aaaaaann”在验证1n时，左端计算所得的项为()(A)1 (B)
4、a1 (C)21aa (D)321aaa 例 3.2221lim2nnn等于()(A)2 (B)2 (C)21 (D)21 例 4.等差数列中，若nnSLim存在，则这样的数列()(A)有且仅有一个 (B)有无数多个 (C)有一个或无穷多个 (D)不存在 例 5.lim(1)nnnn 等于()(A)13 (B)0 (C)12 (D)不存在 例 6.若2012(2)nnnxaa x a xa x L，12nnAaaa L，则2lim83nnnAA()(A)31 (B)111 (C)41 (D)81 例 7.在二项式(13)nx和(25)nx的展开式中，各项系数之和记为,nnab n是正整数，则2
5、lim34nnnnnabab=.例 8.已知无穷等比数列na的首项Na 1，公比为q，且nnaaaSNq21,1，且3limnnS，则21aa _.例 9.已知数列na前 n 项和11(1)nnnSbab ,其中 b 是与 n 无关的常数，且 0b1，若limnnS存在，则limnnS_ 例 10.若数列na的通项21nan，设数列nb的通项11nnba，又记nT是数列nb的前 n 项的积（）求1T，2T，3T的值；（）试比较nT与1na的大小，并证明你的结论 例1.D 2.C 例3.A 例4.A例5.C 将 分 子 局 部 有 理 化，原 式=11limlim21111nnnnnn例 6.A
6、 例 7.12 例 8.38 例 9.1 例 10(见后面)函数的极限及函数的连续性 1.函数的极限(1)函数的六种极限定义:lim()xf xa的意义是当自变量x取正值并且无限增大时,()f x无限趋进于一个常数a;lim()xf xa的意义是当自变量x取负值并且绝对值无限增大时,()f x无限趋进于一个常数a;lim()lim(),lim()xxxf xaf xf x 都存在,且等于a;0lim()xxf xa的意义是当自变量x从0 xx右侧(即0 xx)无限趋近于常数0 x（但不等于0 x）时，如果函数()f x无限趋近于一个常数a;0lim()xxf xa的意义是当自变量x从0 xx右
7、侧(即0 xx)无限趋近于常数0 x（但不等于0 x）时，如果函数()f x无限趋近于一个常数a;0lim()xxf xa的意义是当自变量x无限趋近于常数0 x（但不等于0 x）时，如果函数()f x无限趋近于一个常数a;注:0lim()xxf xa 0lim()xxf x,0lim()xxf x都存在,且等于a;(2)函数极限的运算法则:如果0lim()xxf x,0lim()xxg x存在,且0lim()xxf xa,0lim()xxg xb 那么0lim()()xxf xg xa b,0lim()()xxf x g xabg,0()lim(0)()xxf xabg xb.这些法则对于其他
8、情况仍然成立.几个常用极限：1lim0nx；lim0 xxa（0a1）;lim0 xxa（a1）0sinlim1xxx0lim1sinxxx 2.函数的连续性:(1)定义:如果函数()yf x在点0 xx处及其附近有定义,而且00lim()()xxf xf x,就说函数()f x在点0 x处连续.(2)函数()yf x在点0 xx处连续的充要条件是00lim()()xxf xf x.注:等式00lim()()xxf xf x的含义有三点:()f x在点0 xx处及其附近有定义;0lim()xxf x存在;()f x在点0 x处的极限值等于这一点的函数值0()f x.(3)“函数()yf x在点
9、0 x处不连续”就说()yf x的图象在点0 xx处间断.(4)函数()yf x在区间上连续:若函数()yf x在开区间(,)a b内每一点处连续,就说函数()yf x在开区间(,)a b内 连 续;若 函 数()yf x在 开 区 间(,)a b内 每 一 点 处 连 续,并 且lim()()xaf xf a,lim()()xbf xf b就说函数()yf x在闭区间,a b上连续.(5)初等函数在其定义域内每一点处都连续.(6)连续函数的性质:闭区间,a b上的连续函数()f x的图象是坐标平面上的一条有始点(,()a f a和终点(,()b f b的连续曲线.它有如下性质:(最大值和最小
10、值定理)若()f x是闭区间,a b上的连续函数,则()f x在闭区间,a b上有最大、最小值.零点定理：若()f x是闭区间,a b上的连续函数,且()()0f af b,则方程()0f x 在区间(,)a b上至少有一个实数解.介值定理：设函数()f x在闭区间,a b上连续，且在这区间的端点取不同函数值，(),()f aA f bB，那么对于,A B之间任意的一个数C，在开区间(,)a b内至少有一点，使得()fC（ab）.函数的极限及函数的连续性 例 11.2112lim11xxx的值等于（）11()()0()()22ABCD不存在 例 12.011limxxx ()(A)21 (B)
11、1 (C)2 (D)0 例 13.已知211lim31xaxbxx，则 b 的值为()(A)4 (B)5 (C)4 (D)5 例 14.极限0lim()xxf x存在是函数()f x在点0 xx处连续的（）(A)充分而不必要的条件(B)必要而不充分的条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要的条件 例 15.如果 0()0 xexf xxa x是连续函数，则a等于（）(A)1 (B)0 (C)1 (D)2 例 16.设函数)(xf在1x处连续，且21)(lim1xxfx，则)1(f等于（）(A)1 (B)0 (C)1 (D)2 例 17.函数1(1)()0(1)(1)xxf xxxx在 x=1
12、 处不连续是因为()(A)f(x)在x=1处无定义(B)1limnf(x)不存在(C)1limnf(x)f(1)(D)1limnf(x)1limnf(x)例 18.为使函数f xxx()112在x 1处连续，则定义f()1_.例 19.设*,nN若函数1()limnnnxf xx,则()f x的定义域为 .例 20.已知sin,0()0,0cos1,0axb xf xxxx，当 a，b 取值何值时，0lim()xf x存在，其值为多少.例 11.211212111111.lim.111111112xxCxxxxxxxx 而选 例 12.A 例 13.B 例 14B.例 15.C 例 16.B
13、例 17.C 例 18.12 例 19.(,1)1,)U例 20(见后面)出一般结论的归纳推理方法通常叫做归纳法归纳法包含不完全归纳法和完全归纳法不完全归纳法根据事物的部分而不是全部特殊事例得出一般结论的推理方法完全归纳法根据事物的所有特殊事例得出一般结论的推理方法数学归纳法时结论成立由假设当时结论成立证明当时结论成立根据对一切自然数数列的极限时都成立数列的极限定义如果当项数无限增大时无穷数列无限地趋近于某个常数即的项无限地接近于那么就说数列以为极限或者说是数列的极限记为或项为公比为的无穷等比数列的各项和为注并不是每一个无穷数列都有极限四运算法可推广到任意有限个极限的情况但不能推广到无限个情况
14、数学归纳法数列的极限与运算例某个命题与正整数有关若当时该命题成立那么可推得当时该 导数 1.曲线的切线和切线的斜率:曲线在点00(,)P xy处的切线,是指曲线上点P的邻近点00(,)xx yy Q沿曲线逐渐向点P接近时,割线PQ的极限位置所在的直线.根据切线的定义,切线的斜率应通过极限过程求得,即0tanlimxyxk=.2.瞬时速度:非匀速直线运动物体在时刻t的临近时间间隔t内的平均速度v(v=st),当0t时,v的极限值v叫做物体在时刻t的速度,也叫瞬时速度.即0limtsvt 3.导数的定义:设0 x是函数()yf x定义域的一点，如果自变量x在0 x处有增量x，则函数值y也引起相应的
15、增量00()()yf xxf x ；比值00()()f xxf xyxx 称为函数()yf x在点0 x到0 xx 之间的平均变化率；如果极限0000()()limlimxxf xxf xyxx 存在，则称函数()yf x在点0 x处可导，并把这个极限叫做()yf x在0 x处的导数，记作0()fx或0|x xy，即0()fx=0000()()limlimxxf xxf xyxx .由定义可知函数()yf x在点0 x处的导数的几何意义是曲线()yf x在点00(,)P xy处的切线的斜率.也就是说，曲线()yf x在点 P0(,()xf x处的切线的斜率是0()fx，切线方程为00()().
16、yyfx xx 注：x是增量，我们也称为“改变量”，因为x可正，可负，但不为零.函数()yf x在点0 x处连续与点0 x处可导的关系：函数()yf x在点0 x处连续是()yf x在点0 x处可导的必要不充分条件.可以证明，如果()yf x在点0 x处可导，那么()yf x点0 x处连续.事实上，令0 xxx，则0 xx相当于0 x.于是0000000lim()lim()lim()()()xxxxf xf xxf xxf xf x 0000()()lim()xf xxf xxf xx 000000000()()limlimlim()()0()()xxxf xxf xf xfxf xf xx
17、.如果()yf x点0 x处连续，那么()yf x在点0 x处可导，是不成立的.例：()|f xx在点00 x 处连续，但在点00 x 处不可导，因为|yxxx，当x0 时，1yx；当x0 时，1yx，故0limxyx不存在.4.导函数:函数()yf x在开区间(,)a b内每一点处的导数都存在,就说()f x在(,)a b内可导,其导数也是(,)a b内的函数,这一新函数叫做()f x在开区间(,)a b内的导函数,记作()fx或y(需指明自变量时记作xy)函数()f x的导函数()fx在0 xx时的函数值0()fx就是()yf x在点0 x处的导数.注：可导的奇函数,其导函数为偶函数.可导
18、的偶函数,其导函数为奇函数.导数 5.几种常见函数的导数:0;C 1;nnxnx (sin)cosxx;(cos)sinxx ;();xxee()lnxxaaa;1ln xx;1l glogaaoxex.6.可导法则:()uvuv 推广:1212()().()()().()nnyf xf xf xyf xf xf x ;()uvvu vu ;2(0)uvuvuvvv()CuC(C为常数);复合函数求导xxyy 注：,u v必须是可导函数.若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.例如：设2()2sinf xxx，2()cosg xxx，
19、则(),()f x g x在0 x 处均不可导，但它们和()()f xg xsincosxx在0 x 处均可导.7.导数的运用:判断函数()f x在某个区间内的单调性的方法:一般地,设函数()yf x在某个区间内可导,如果()0fx,则()f x为增函数;如果()0fx 则()f x为减函数;如果()0fx,则()f x为常数函数.注：()0f x 是 f（x）递增的充分条件，但不是必要条件，如32yx在(,)上并不是都有()0fx，有一个点例外即x=0 时()0fx，同样()0fx 也是 f（x）递减的充分非必要条件.一般地，如果()fx在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那
20、么 f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.函数的极值:一般地,设函数()yf x在点0 x附近有定义,如果对0 x附近的所有的点,都有0()()f xf x,则0()f x是()f x的一个极大值;如果对0 x附近的所有的点,都有0()()f xf x,则0()f x是()f x的一个极小值.注:求可导函数的极值点可用导数来找,极值点一定是导数为 0 的点.若点0 x是可导函数()f x的极值点，则()fx=0.但反过来不一定成立.对于可导函数，其一点0 x是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零.例如：函数3()yf xx，0 x 使()fx=0，但0 x 不是极值点.
21、又例如：函数()|yf xx，在点0 x 处不可导，但点0 x 是函数的极小值点.当函数()f x在点0 x处连续时，()如果在0 x附近的左侧()fx0，右侧()fx0，那么0()f x是极大值；()如果在0 x附近的左侧()fx0，右侧()fx0，那么0()f x是极小值.也就是说0 x是极值点的充分条件是0 x点两侧导数异号，而不是()fx=0.此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点.当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（因为函数在某一点附近的点不同）.0()fx0 不能得到当 x=x0时，函数有极值判断极值，还需结合函数的单调性说明;但是，当
22、 x=x0时，函数有极值 0()fx0 函数的最值:函数()yf x在区间上如果存在0 x,若使得对区间内任意x都有0()()f xf x,则0()f x叫最小值;若使得对区间内任意x都有0()()f xf x,则0()f x叫最大值;注:一般地,闭区间,a b上的连续函数()yf x在,a b上必有最大值与最小值.极值与最值不是同一个概念.极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.开区间内的最值点一定是极值点,反过来不成立.函数 f(x)在区间a,b上的最大值为极大值和 f(a)、f(b)中最大的一个;最小值为极小值和 f(a)、f(b)中最小的一个。出一般结论的归纳
23、推理方法通常叫做归纳法归纳法包含不完全归纳法和完全归纳法不完全归纳法根据事物的部分而不是全部特殊事例得出一般结论的推理方法完全归纳法根据事物的所有特殊事例得出一般结论的推理方法数学归纳法时结论成立由假设当时结论成立证明当时结论成立根据对一切自然数数列的极限时都成立数列的极限定义如果当项数无限增大时无穷数列无限地趋近于某个常数即的项无限地接近于那么就说数列以为极限或者说是数列的极限记为或项为公比为的无穷等比数列的各项和为注并不是每一个无穷数列都有极限四运算法可推广到任意有限个极限的情况但不能推广到无限个情况数学归纳法数列的极限与运算例某个命题与正整数有关若当时该命题成立那么可推得当时该 导数 例
24、 21.f(x)=ax3+3x2+2,若(1)4f ,则 a 的值等于()(A)319 (B)316 (C)313 (D)310 例 22.f(x)与 g(x)是定义在 R 上的两个可导函数，若 f(x)、g(x)满足 f (x)g(x)，则()(A)f(x)=g(x)(B)f(x)g(x)为常数函数 (C)f(x)=g(x)=0 (D)f(x)+g(x)为常数函数 例 23.设函数 f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如右图所示，则导函数 y=f (x)的图象可能为()例 24.已知曲线 S:y=3xx3及点(2,2)P,则过点 P 可向 S 引切线的条数为()(A)0 (B)1 (C
25、)2 (D)3 例 25.函数cossinyxxx在下面哪个区间内是增函数（）3()(,)22A ()(,2)B 35()(,)22C ()(2,3)D 例 26.y=2x33x2+a 的极大值为 6，那么 a 等于()(A)6 (B)0 (C)5 (D)1 例 27.函数 f(x)x33x+1 在闭区间-3，0上的最大值、最小值分别是()(A)1，1 (B)3，-17 (C)1，17 (D)9，19 例 28.设 l1为曲线 y1=sinx 在点(0，0)处的切线，l2为曲线 y2=cosx 在点(2,0)处的切线，则 l1与 l2的夹角为_.例 29.设函数 f(x)=x3+ax2+bx1
26、，若当 x=1 时，有极值为 1，则函数 g(x)=x3+ax2+bx的单调递减区间为 .例 30.已知函数32()(,)f xxaxb a bR （）若函数)(xf图像上任意一点处的切线的斜率小于 1，求证：33a；（）若0,1x，函数()yf x图像上任意一点处的切线的斜率为k，试讨论1k 的充要条件。数学基础知识与典型例题(第十一章函数极限与导数)答案 例 10.解（1）Q21nan,111111122 1 1Tba 21221182(1)2(1)2 2 13Tb ba ,31233818116(1)(1)332 3 15Tb b ba （2）由（1）中可猜想得 Tn1na；只须证明对于
27、*nN111(1 1)(1)(1)(1)213521nnL L成立 设 n=1 时，左=1+1=2，右=3，23，故原不等式成立；假设 n=k（k1）时，原不等式成立，即12)1211()511)(311)(11(kk，当 n=k+1 时，不等式左边为11111(1 1)(1)(1)(1)121(1)35212(1)121kkkk L L 12121(1)(22)2121kkkkk,不等式的右边为32 k，只须得出)22(1212kkk32 k，事实上221(22)21kkk223k =22484(483)21kkkkk=121k0，故)22(1212kkk32 k成立，从而1111(1 1)
28、(1)(1)(1)135212(1)1kk L L32 k。即 n=k+1 时不等式也成立,对于 nN,则有111(1 1)(1)(1)(1)213521nn L L成立.例 20.解：x0 是此分段函数的分界点，而0lim()xf x存在的充要条件是0lim()xf x与0lim()xf x都存在且相等。0lim()xf x0lim(cos1)xx2，0lim()xf x0lim(sin)xaxbb，当 b2，a 取任意实数时，0lim()xf x存在，其值为 2.例 21.D 例 22.B 例 23.D 例 24.C 设 S 上的切点00(,)xy求导数得斜率，过点 P可求得:200(1)
29、(2)0 xx.例 25.B 例 26.A 例 27.B 例 28.90例 29.1，35(写开区间也可以)例 30.本题考查（1）导数的几何意义（2）恒成立问题中参数取值范围的求法.（3）分析问题解决问题的能力.需要学生熟练掌握求最值的方法.解：（1）依题意，由32()f xxaxb ，则2()32fxxax .又函数)(xf图像上任意一点切线的斜率小于 1，即2()321fxxax 亦即23210 xax 对任意的xR恒成立.故24120a，即33a （2）由题可知，原问题等价于2()321fxxax对0,1x恒成立.当0 x 时，显然有(0)01f ，故当(0,1x时 21321xax,
30、从而11323xaxxx（）对(0,1x恒成立.令11()3,()3u xxv xxxx.则可知1()3u xxx在(0,1上递增，故max()(1)2u xu1()32 3v xxx，当且仅当3(0,13x，故min()2 3v x.要使（）恒成立只须maxmin()2()u xav x，即13a为1k 在0,1x的充要条件.出一般结论的归纳推理方法通常叫做归纳法归纳法包含不完全归纳法和完全归纳法不完全归纳法根据事物的部分而不是全部特殊事例得出一般结论的推理方法完全归纳法根据事物的所有特殊事例得出一般结论的推理方法数学归纳法时结论成立由假设当时结论成立证明当时结论成立根据对一切自然数数列的极
31、限时都成立数列的极限定义如果当项数无限增大时无穷数列无限地趋近于某个常数即的项无限地接近于那么就说数列以为极限或者说是数列的极限记为或项为公比为的无穷等比数列的各项和为注并不是每一个无穷数列都有极限四运算法可推广到任意有限个极限的情况但不能推广到无限个情况数学归纳法数列的极限与运算例某个命题与正整数有关若当时该命题成立那么可推得当时该榜样的力量是无穷的!Examples give unlimited power!我一生有成千上万个英雄的榜样！上中学时，我们班的一个女生，背诵的能力特别强，一次能默写五篇文章，只错了两个单词，我很羡慕她，于是，她成了我学习的榜样！我在治疗鼻炎的时候，由于仪器漏电，
32、电极烫伤我的面颊，在我最疼的时候，我脑子里出现的是黄继光、邱少云等这些英雄的形像，我就真咬牙没吭一声！我自己专门建立了一个“榜样宝库”，里面储存了大量的优秀人物，每当我失意的时候，每当我孤独的时候，每当我想放弃的时候，我都会赶紧去吸收这些伟人的营养和氧气，顿时可以使自己信心百倍，力大无穷。我坚信，榜样可以激励我，也可以激励你！任何人要成功，都要从他人的知识和才干中，学习并受益。Learn and benefit from the knowledge and talent of others.任何人要成功，都要接受比自己更高、更强大的榜样所影响，才能够得以快速的进步。People never i
33、mprove unless they look to some standard or example higher or better than themselves.出一般结论的归纳推理方法通常叫做归纳法归纳法包含不完全归纳法和完全归纳法不完全归纳法根据事物的部分而不是全部特殊事例得出一般结论的推理方法完全归纳法根据事物的所有特殊事例得出一般结论的推理方法数学归纳法时结论成立由假设当时结论成立证明当时结论成立根据对一切自然数数列的极限时都成立数列的极限定义如果当项数无限增大时无穷数列无限地趋近于某个常数即的项无限地接近于那么就说数列以为极限或者说是数列的极限记为或项为公比为的无穷等比数列的各项和为注并不是每一个无穷数列都有极限四运算法可推广到任意有限个极限的情况但不能推广到无限个情况数学归纳法数列的极限与运算例某个命题与正整数有关若当时该命题成立那么可推得当时该