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1、24.1.2 24.1.2 垂直于弦的直径垂直于弦的直径问题问题 ：你知道赵州桥吗？它是你知道赵州桥吗？它是13001300多年前我国隋代建造的多年前我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶。它的主桥是石拱桥，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶。它的主桥是圆弧形圆弧形,它的跨度它的跨度(弧所对的弦的长弧所对的弦的长)为为37.4m,37.4m,拱高拱高(弧的中弧的中点到弦的距离点到弦的距离)为为7.2m7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？O 实践探究实践探究把一个圆沿着它的任意一条直径对折，把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由
2、此你能得到重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？什么结论？圆是轴对称图形圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线任何一条直径所在直线都是它的对称轴都是它的对称轴.探究圆的性质探究圆的性质探究圆的性质探究圆的性质OCD圆有无数条直径，所以圆有无数条直径，所以圆有无数条对称轴圆有无数条对称轴如图，如图，AB是是 O的一条弦，做直径的一条弦，做直径CD，使，使CD AB，垂足为，垂足为E（1）图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？）图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？（2）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？）你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？OABCDE活活 动
3、动 二二（1）是轴对称图形直径）是轴对称图形直径CD所在的所在的直线是它的对称轴直线是它的对称轴（2）线段：线段：AE=BE弧弧:AC=BC,AD=BD把圆沿着直径把圆沿着直径CD折叠时，折叠时，CD两侧的两个两侧的两个半圆重合，点半圆重合，点A与点与点B重合，重合，AE与与BE重合，重合，AC,AD分别与分别与BC、BD重合重合OABCDE垂径定理：垂径定理：垂直于弦的直径平分垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧弦，并且平分弦所对的两条弧平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧所对的两条弧即直径即直径CD垂直于弦垂直于弦AB
4、，平分弦，平分弦AB,并且平分并且平分AB及及ACB“知二推三知二推三”(1)垂直于弦垂直于弦 (2)过圆心过圆心 (3)平分弦平分弦 (4)平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧平分弦所对的劣弧注意注意:当具备了当具备了(1)(3)(1)(3)时时,应对另一应对另一 条弦增加条弦增加”不是直径不是直径”的限制的限制.n你可以写出相应的命题吗你可以写出相应的命题吗?n相信自己是最棒的相信自己是最棒的!垂径定理的推论垂径定理的推论 如图如图,在下列五个条件中在下列五个条件中:只要具备其中两个条件只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论就可推出其余三个结论.OABCDM CD是
5、直径是直径,AM=BM,CDAB,AC=BC,AD=BD.垂径定理及推论垂径定理及推论OABCDM条件结论命题垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧并且平分弦所的两条弧.平分弦平分弦(不是直径不是直径)的直径垂直于弦的直径垂直于弦,并且平并且平 分弦所对的两条弧分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦垂直平分弦,并且平分弦所对的并且平分弦所对的另一条弧另一条弧.弦的垂直平分线经过圆心弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧并且平分这条弦所对的两条弧.垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心垂直于弦并且平分弦所对的一条弧
6、的直线经过圆心,并且平并且平分弦和所对的另一条弧分弦和所对的另一条弧.平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧并且平分弦所对的另一条弧.平分弦所对的两条弧的直线经过圆心平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦并且垂直平分弦.练习练习在下列图形中，你能否利用垂径定理在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧找到相等的线段或相等的圆弧一、判断是非：一、判断是非：（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。（2）平分弦的直线，必定过圆心。）平分弦的直线，必定
7、过圆心。（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这那么这 条直线垂直这条弦。条直线垂直这条弦。ABCDO(1)ABCDO(2)ABCDO(3)(4)弦的垂直平分线一定是圆的直径。弦的垂直平分线一定是圆的直径。（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的）平分弧的直线，平分这条弧所对的 弦。弦。（6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。ABCO(4)ABCDO(5)ABCDO(6)E（7）平分弦的直径垂直于弦）平分弦的直径垂直于弦填空：1、如图：已知AB是O的直径，弦CD与AB相交于点E，若_，则CE=DE（只需填写一个你认为适当
8、的条件）2、如图：已知AB是O的弦，OB=4cm，ABO=300，则O到AB的距离是_cm，AB=_cm.。OAEDCB。OAB第1题图第2题图ABCD（或（或AC=AD，或，或BC=BD）24H选择：如图：在O中，AB为直径，CD为非直径的弦，对于（1）ABCD（2）AB平分CD（3）AB平分CD所对的弧。若以其中的一个为条件，另两个为结论构成三个命题，其中真命题的个数为 （）A、3 B、2 C、1 D、0。OCDBAA例例题题1 1：如：如图图在在O O中，弦中，弦ABAB的长为的长为 8cm8cm，圆心，圆心O O到到ABAB的距离为的距离为3cm3cm，求求圆圆0 0的半径。的半径。O
9、 OA AB BE E赵州桥赵州桥A AB BC CD D过点过点O O作作OCABOCAB于点于点D,D,交交ABAB于点于点C,C,在在RtODARtODA中，中，OAOA2 2=AD=AD2 2+OD+OD2 2即即R R2 2=18.7=18.72 2+(R-7.2)+(R-7.2)2 2解得解得R27.9R27.9O O用用ABAB表示主拱桥表示主拱桥,设设ABAB所在所在圆的圆心为圆的圆心为O,O,半径为半径为RmRm解：解：则则D D是是ABAB中点，中点，C C是是ABAB的中点，的中点，CDCD就是拱高就是拱高1 12 2AD=AB=18.7,AD=AB=18.7,OD=OC
10、-CD=R-7.2OD=OC-CD=R-7.2如图如图AB=37.4,CD=7.2AB=37.4,CD=7.2答：拱高所在圆的半径答：拱高所在圆的半径约约是是27.9m27.9m。O OA AB BE E变形变形2 2、CE=8,DE=2,CE=8,DE=2,则则AB=AB=。D DC C变形变形1 1、AB=8,CD=10,AB=8,CD=10,则圆心则圆心O O到到ABAB的距离的距离 是是 。变形变形3 3、CD=10,AB=8,CD=10,AB=8,则则DE=DE=。3 38 82 2若若CDCD为圆为圆O O的直径，弦的直径，弦ABCDABCD于点于点E,E,垂径定理的应用垂径定理的
11、应用构建直角三角形构建直角三角形OABCR Rd d2 2a a半弦半弦 AC=AC=半径半径 OA=ROA=R弦心距弦心距 OC=dOC=d2222adR）（+=弓高为弓高为h hh=Rh=Rd d如图，两个圆都以点如图，两个圆都以点O O为圆心，为圆心，求证求证:AC=BD:AC=BDO OA AB BC CD D活动活动4 4布置作业：布置作业：练习册：练习册：思考题思考题 在在ABCABC中，中，C=90C=900 0，AC=12AC=12，BC=16BC=16，以以C C为圆为圆心，心，ACAC为为半径的半径的圆圆交斜交斜边边ABAB于于D D，求求ADAD的的长长。C CB BD
12、DA A变形变形4 4、若、若O O的直径为的直径为1010，弦弦AB=8AB=8，E E是是ABAB上任意一动上任意一动点点,则则OEOE的最小值是的最小值是 。O OA AB B3 3变形变形5 5、线段、线段OEOE长的取值范围的是长的取值范围的是 。3 3OMOM5 52如图，在如图，在 O中，中，AB、AC为互相垂直且相等的两为互相垂直且相等的两条弦，条弦，ODAB于于D，OEAC于于E，求证四边形，求证四边形ADOE是正方形是正方形DOABCE证明：证明：四边形四边形ADOE为矩形，为矩形，又又AC=AB AE=AD 四边形四边形ADOE为正方形为正方形.OE AC OD AB变形变形5 5、半径为、半径为5 5的的O O内有一点内有一点P,P,且且OP=3,OP=3,则过点则过点P P的最短的弦长是的最短的弦长是 ，最长的弦长是最长的弦长是 。O OA AB B8 81010