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1、第三章 圆3.3 垂径定理九年级下册 数学O圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.知识回顾知识回顾在同在同圆或等圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.知识回顾知识回顾OABCD如图，如图，O的两条直径的两条直径AB，CD，则则OAOB，OCOD.OABCD当当ABCD时，时，OAOB，OCOD.如图，如图，CD是是 O直径，直径，AB是非直是非直径的弦径的弦.OABCDOABCDABAB与与CDCD还可
2、能垂直吗？仍有还可能垂直吗？仍有线段被平分吗？线段被平分吗？当当ABCD时，时，OAOB，OCOD.OABCDM如图，如图，CD是是 O直径，直径，AB是非直是非直径的弦径的弦.猜想猜想ABCD，AMBM.OABCDM如图，已知：如图，已知：CD是是 O直径，直径，AB是是 O的非直径的弦，的非直径的弦，CDAB，垂足，垂足为为M.求证：求证：AMBM.分析：连接分析：连接OA，OB，则则OAOB.CDAB，AMBM.（三（三线线合一）合一）MABCD由图可知，当由图可知，当AB为直径时，结为直径时，结论同样成立论同样成立.OABCDM如如图图，已知：，已知：CD是是 O直径，直径，AB是是
3、O的非直径的弦，的非直径的弦，AMBM.求证：求证：CDAB.分析：连接分析：连接OA，OB，则则OAOB.AMBM，CDAB.（三（三线线合一）合一）MABCD由图可知，当由图可知，当AB为直径时，上为直径时，上述结论不一定成立述结论不一定成立.OABCDM如如图图，已知：，已知：CD是是 O直径，直径，AB是是 O的非直径的弦的非直径的弦.（1）若）若CDAB，则则 AMBM.（2）若）若 AMBM，则则CDAB.都有都有AOCBOC,AODBOD,因此因此 ACBC,ADBD.直径直径CDCD平分弦平分弦ABAB所对的两段弧所对的两段弧.CDAB,CD是直径是直径,AMBM,AC=BC,
4、AD=BD.垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧两条弧.几何语言垂径定理垂径定理OABCDM CDAB,CD是直径，是直径，AB不是直径，不是直径，AMBM,AC=BC,AD=BD.平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧弦所对的两条弧.几何语言垂径定理的逆定理垂径定理的逆定理OABCDM当弦是直径时，这个结论不成立当弦是直径时，这个结论不成立.1.如如图图，AB为为 O的弦，的弦，OCAB于于C，AB8，OC3，则则 O的半径的半径为为 .2.如图，一圆形输水管的横截面，阴影部分为
5、有水部分，如图，一圆形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果输水管的半径为如果输水管的半径为5cm，水面宽，水面宽AB为为8cm，则水的最大深，则水的最大深度为度为 .BOACDBOCA小试身手小试身手52例 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中CD,点点O是是CD所在圆所在圆的圆心的圆心），其中其中CD=600m，E为为CD上的一点，且上的一点，且OECD，垂足为，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径求这段弯路的半径.知识应用知识应用其中其中CD=600m，OECD，垂足为，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半求这段弯路的半径径.知识应用知
6、识应用解这个方程，得解这个方程，得R=545.OECD，在在RtOCF中，中，OC2=CF2+OF2，即即 R2=3002+(R-90)2.所以，这段弯路的半径为所以，这段弯路的半径为545m.解：连接解：连接OC.设弯路的半径为设弯路的半径为Rm，则则OF=(R-90)m.1.如如图图，两个，两个圆圆都以点都以点O为圆为圆心，大心，大圆圆的弦的弦AB与小与小圆圆交于交于点点C，D，判断，判断AC，BD的数量关系，的数量关系，说说明理由明理由.DBOCA能力提升能力提升EE作作OEAB于于E,则则AEBE,CEDEE.ACBD.方法一方法一：方法二方法二：作作OEAB于于E,连接连接OA,OB
7、,OC,OD.则则OAOB,OCOD.AEBE,CEDE.ACBD.2.如如图图，M为为O内一点，利用尺内一点，利用尺规规作一条弦作一条弦AB，使，使AB过过点点M，并且，并且AMBM.MO 3.如如图图，AB，CD是是O的两条平行弦，判断的两条平行弦，判断AC与与BD是否相是否相等，等，说说明理由明理由.ODBCA NEME作直径作直径MNAB,AB/CD,MN/CD,AN BN,CNDN,AN CNBNDN,即即AC BD.归纳小结归纳小结 垂直于弦的直径平分这条弦，并且垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的两条弧.垂径定理垂径定理 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧的两条弧.垂径定理的逆定理垂径定理的逆定理OABCDM垂径定理的应用垂径定理的应用课后作业课后作业 同步练习同步练习