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1、南康六中南康六中 任善龙任善龙冀教冀教2011课标版课标版 九年级上册九年级上册12/14/202228.4 垂径定理垂径定理12/14/2022 它的主桥是圆弧形它的主桥是圆弧形,它的跨度它的跨度(弧所对的弦的长弧所对的弦的长)为为3737m,拱高拱高(弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离)为为7.237.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？12/14/2022探究活动一探究活动一把一个圆沿着它的任意一条直径所在的把一个圆沿着它的任意一条直径所在的直线对折，重复几次，你发现了什么？由直线对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？此你能得到什么结论？可
2、以发现：圆是可以发现：圆是_图形，任何一条图形，任何一条_都是它的对称轴，它有都是它的对称轴，它有_对称轴对称轴轴对称轴对称直径所在直线直径所在直线无数条无数条12/14/2022OABCDE如图，如图，AB是是O的一条弦，作直径的一条弦，作直径CD，使，使CD AB，垂足，垂足为为E（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？么？（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？（1）是轴对称图形直径）是轴对称图形直径CD所在的所在的 直线是它的对称轴直线是它的对称轴.（2）线段：线段：AE
3、=BE弧：弧：ACBC，ADBD叠合法叠合法把圆沿着直径把圆沿着直径CD折叠时，折叠时，CD两侧的两个两侧的两个半圆重合，点半圆重合，点A与点与点B重合，重合，AE与与BE重合，重合，AC,AD分别与分别与BC、BD重合重合探究活动二探究活动二12/14/2022如图如图,理由如下理由如下:连接连接OA、OB,则则OA=OB.OA=OB，OEAB,AE=BE.点点A和点和点B关于关于CD对称对称.O关于直线关于直线CD对称对称,当圆沿着直径当圆沿着直径CD对折时对折时,点点A与点与点B重合重合,AC和和BC重合重合,AD和和BD重合重合.AC=BC,AD=BD.OBDECA我们把这个结论称为垂
4、径定理我们把这个结论称为垂径定理如何证明上述结论呢如何证明上述结论呢?动手试试动手试试12/14/2022探探索索发发现现垂径定理垂径定理定理定理:垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧.提示提示:垂径定理是圆中一个重要的结论垂径定理是圆中一个重要的结论,三种三种语言要相互转化语言要相互转化,形成整体形成整体,才能运用自如才能运用自如.如图如图 CD是直径是直径 CDAB，AE=BE,AC=BC,AD=BD.ABD OCE的三种语言形式的三种语言形式过圆心过圆心垂直于弦垂直于弦 平分弦平分弦 平分弦所对优弧平分弦所对优弧 平分弦所对劣弧平分弦所对
5、劣弧12/14/2022OABCDE探究活动三探究活动三如图，如图，AB是是O的一条弦的一条弦（不是直径不是直径），且且AE=BE.过点过点E作直径作直径CD.（1）从图中你能发现）从图中你能发现AB与与CD有什么位置关系？有什么位置关系？（2）图中有哪些等量关系）图中有哪些等量关系?并说出理由并说出理由.CDAB,AD=BD,AB与与CD位置关系是：位置关系是：等量关系有：等量关系有：AC=BC.不是直径不是直径12/14/2022 为什么题目中要强调为什么题目中要强调AB是一条非直径是一条非直径的弦呢？的弦呢？（垂径定理推论垂径定理推论）平分弦（不是直径）的直平分弦（不是直径）的直 径垂直
6、于弦径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧并且平分弦所对的两条弧.n由 CD是直径 AE=BE可推得可推得 AD=BD.CDAB,AC=BC,ABCDO条件结论BOACDE12/14/2022 判断题：判断题：（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧.()（2）弦的垂直平分线，必定过圆心.（3）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的两条弧.ABCDO (3)C(2)ABO()()牛牛刀刀小小试试1、ABCDO(1)12/14/2022人教版九年级数学上册人教版九年级数学上册 牛牛刀刀小小试试2、如图，在如图，在O中，弦中，弦AB的长为的长为8cm，圆心，圆心O到到AB的距离为的距离为3cm，求，求O
7、的半径的半径.变式变式1)若若O的半径为的半径为5cm,OE=3cm,则则AB=cm.OAEB解：过点解：过点O作作OE AB于点于点E,连接连接OA OE AB,AB=8,AE=BE=4.OE=3,AO=5.812/14/2022若若O的半径为的半径为5cm，弦，弦AB的长为的长为8cm，弦，弦AB直径直径CD，垂足为，垂足为M，则，则OM的长为的长为_,8cm或或2cm解：连接解：连接AO，O的直径的直径CD=10cm，ABCD，AB=8cm，AM=MB=8=4cm，OD=OC=5cm.当当M点在半径点在半径OD上时，上时，OA=5cm，AM=4cm，CDAB，OM=3cm，CM=OC+O
8、M=5+3=8cm.变式变式2)当当M点在半径点在半径OC上时，上时，同理可得同理可得OM=3cm，OC=5cm，MC=53=2cm，故故CM的长为的长为8cm或或2cm 图图1ABCDMOABCDMO图图23cmCM的长为的长为_.12/14/2022 赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为长）为3737米，拱高（弧的中点到弦的距离）为米，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.237.23米，米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？解解决决问问题题OABr12/14/2022 例例1 1：赵州桥的主桥拱是圆弧形，它
9、的跨度（弧所对的：赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为弦的长）为3737米，拱高（弧的中点到弦的距离）为米，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.237.23米，米，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？OABDCr解：解：经过圆心经过圆心O作弦作弦AB的垂线的垂线OC，垂，垂足为足为D，OC与弧与弧AB相交于点相交于点C,由垂径定理，由垂径定理，D是是AB的中点，的中点，C是弧是弧AB的中点，的中点，CD就是拱高就是拱高.AB=37，CD=7.23,AD=AB=37=18.5,OD=OC-CD=r-7.23.在在Rt OAD中由勾股定理，得中由勾股定理，得OA
10、2=AD2+OD2,即即 r2=18.52+(r-7.23)2,解得解得r27.3(m)因此，赵州桥的主桥拱半径约为因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.连连半半径径作作垂垂线线12/14/202212/14/2022n 对于一个圆中的弦长对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离、圆心到弦的距离d、圆半径圆半径r、弓形高、弓形高h，这四个量中，只要已知其，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外两个量，如图中任意两个量，就可以求出另外两个量，如图有：有：d+h=radhrO方法总结方法总结12/14/2022 如图，点A、B是O上两点，AB=8,点P是O上的动点（P与A、B不重合）,连
11、接AP、BP,过点O分别作OEAP于E,OFBP于F,则EF=_.12/14/2022解：解：OEAP于于E，OFPB于于F，AEPE，PFBF.EF是是APB的中的中位线位线.EF AB=44中考链接中考链接12/14/2022圆是轴圆是轴对称图对称图形形垂径定理的应用垂径定理与勾股定理结合垂垂垂垂直直直直于于于于弦弦弦弦的的的的直直直直径径径径垂径定垂径定理推论理推论垂径定理垂径定理12/14/2022本节课你有哪些收获，哪些感想？本节课你有哪些收获，哪些感想？明白了明白了圆是轴对称性图形圆是轴对称性图形垂径定理及推论垂径定理及推论.圆中常作辅助线（圆中常作辅助线（）构造直角三角形，用垂径
12、定理和勾股构造直角三角形，用垂径定理和勾股定理来解决有关的证明、计算问题定理来解决有关的证明、计算问题.动手实践的重要性；动手实践的重要性；认真观察、大胆猜想、求证的科学态度认真观察、大胆猜想、求证的科学态度.学会了学会了懂得了懂得了连半径、作垂线连半径、作垂线12/14/20221.课本第83页练习第2题；2.如右图，在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面的油面宽AB=600mm，求油的最大深度；3.已知，在半径为5cm的O中，两条平行弦AB,CD分别长8cm，6cm.求两条平行弦间的距离.ED 600课后作业课后作业（必做题：（必做题：1、2，选做题：，选做题：3）12/14/2022 某某地有一座圆弧形地有一座圆弧形拱桥，圆拱桥，圆心为心为，桥下水面宽度，桥下水面宽度为为7.2 m，过，过O 作作OC AB 于于D，交圆弧于交圆弧于C，CD=2.4m，现有一艘现有一艘宽宽3m，船舱顶部，船舱顶部为长方为长方形并高出水面（形并高出水面（AB）2m的货船要经的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？CNMAEHFBDO课后思考课后思考12/14/2022祝祝谢谢谢谢再见再见各位老师工作顺利各位老师工作顺利各位同学学业有成！各位同学学业有成！12/14/2022