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1、学习必备 欢迎下载 2014高考数学“拿分题”训练：数形结合思想在解题中的应用 一、知识整合 1数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。2实现数形结合，常与以下内容有关：实数与数轴上的点的对应关系；函数与图象的对应关系；曲线与方程的对应关系；以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、
2、三角函数等；所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。如等式()()xy21422 3纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。4数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。二、例题分析 例 1.的取值范围。之间，求和的两根都在的方程若关于kk
3、kxxx310322 分析：0)(32)(2xfxkkxxxf程轴交点的横坐标就是方，其图象与令()13(1)0yf xf 的解，由的图象可知，要使二根都在，之间，只需，(3)0f，()()02bffka 10(10)kk 同时成立，解得，故，例 2.解不等式xx 2 学习必备 欢迎下载 解：法一、常规解法：原不等式等价于或()()IxxxxIIxx 02020202 解，得；解，得()()IxIIx0220 综上可知，原不等式的解集为或|xxxxx 200222 法二、数形结合解法：令，则不等式的解，就是使的图象yxyxxxyx121222 在的上方的那段对应的横坐标，yx2如下图，不等式的
4、解集为|x xxxAB 而可由，解得，xxxxxBBA 222故不等式的解集为。|xx 22 例 3.已知，则方程的实根个数为01 aaxxa|log|()A.1个 B.2个 C.3个 D.1个或 2 个或 3 个 分析：判断方程的根的个数就是判断图象与的交点个数，画yayxxa|log|出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有 2 个实根，选（B）。例 4.如果实数、满足，则的最大值为xyxyyx()()2322 ABCD.1233323 分析：等式有明显的几何意义，它表坐标平面上的一个圆，()xy2322 圆心为，半径，如图，而则表示圆上的点，与坐()()()20300ryxyxx
5、y 想方法使用数形结合的方法很多问题能迎刃而解且解法简捷所谓数形结合就是根据数与形之间的对应关系通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法数形结合思想通过以形助数以数解形使复杂问题简单化抽象问题具常与以下内容有关实数与数轴上的点的对应关系函数与图象的对应关系曲线与方程的对应关系以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念如复数三角函数等所给的等或代数的结构含有明显的几何意义如等纵观多年来的高考试题巧结合的思想方法应用广泛常见的如在解方程和解不等问题中在求函数的值域最值问题中在求复数和三角函数问题中运用数形结合思想不仅直观易发现解题途径而且能避免复杂的计算与推理大大简化了解题过程这在解选择
6、题填空题中学习必备 欢迎下载 标原点，的连线的斜率。如此以来，该问题可转化为如下几何问题：动点()00A 在以，为圆心，以为半径的圆上移动，求直线的斜率的最大值，由图()203OA 可见，当 在第一象限，且与圆相切时，的斜率最大，经简单计算，得最AOA 大值为tg603 例 5.已知，满足，求的最大值与最小值xyxyyx22162513 分析：对于二元函数在限定条件下求最值问题，常采用yxxy31625122 构造直线的截距的方法来求之。令，则，yxbyxb33 原问题转化为：在椭圆上求一点，使过该点的直线斜率为，xy22162513 且在 轴上的截距最大或最小，y 由图形知，当直线与椭圆相切
7、时，有最大截距与最小yxbxy31625122 截距。yxbxyxbxb316251169961640002222 由，得，故的最大值为，最小值为。01331313byx 想方法使用数形结合的方法很多问题能迎刃而解且解法简捷所谓数形结合就是根据数与形之间的对应关系通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法数形结合思想通过以形助数以数解形使复杂问题简单化抽象问题具常与以下内容有关实数与数轴上的点的对应关系函数与图象的对应关系曲线与方程的对应关系以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念如复数三角函数等所给的等或代数的结构含有明显的几何意义如等纵观多年来的高考试题巧结合的思想方法应用广泛常
8、见的如在解方程和解不等问题中在求函数的值域最值问题中在求复数和三角函数问题中运用数形结合思想不仅直观易发现解题途径而且能避免复杂的计算与推理大大简化了解题过程这在解选择题填空题中学习必备 欢迎下载 例 6.若集合，集合，MxyxyNxy yxb ()cossin()()|330 且，则 的取值范围为。MNb 分析：Mxy xyyM()|()，显然，表示以，为圆心，2290100 以 3 为半径的圆在 x 轴上方的部分，（如图），而 N 则表示一条直线，其斜率 k=1，纵截 距为，由图形易知，欲使，即是使直线与半圆有公共点，bMNyxb 显然 的最小逼近值为，最大值为，即bb 33 233 2
9、例 7.点是椭圆上一点，它到其中一个焦点的距离为，为MxyFN221251612 MF1的中点，O 表示原点，则|ON|=（）ABCD.32248 分析：设椭圆另一焦点为 F2，（如图），则，而|MFMFaa1225|MFMF1228，又注意到 N、O 各为 MF1、F1F2的中点，ON 是MF1F2的中位线，|ONMF1212842 若联想到第二定义，可以确定点 M 的坐标，进而求 MF1中点的坐标，最后利用两点间的距离公式求出|ON|，但这样就增加了计算量，方法较之显得有些复杂。例 8.已知复数 满足，求 的模的最大值、最小值的范围。zziz|222 分析：由于，有明显的几何意义，它表示复
10、数对应的|()|ziziz 2222 点到复数对应的点之间的距离，因此满足的复数 对应点2+2i|()|ziz222 Zzz，在以，为圆心，半径为的圆上，如下图，而表示复数 对应的()()|222 点 到原点 的距离，显然，当点、圆心、点 三点共线时，取得最值，ZOZCOz|想方法使用数形结合的方法很多问题能迎刃而解且解法简捷所谓数形结合就是根据数与形之间的对应关系通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法数形结合思想通过以形助数以数解形使复杂问题简单化抽象问题具常与以下内容有关实数与数轴上的点的对应关系函数与图象的对应关系曲线与方程的对应关系以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念
11、如复数三角函数等所给的等或代数的结构含有明显的几何意义如等纵观多年来的高考试题巧结合的思想方法应用广泛常见的如在解方程和解不等问题中在求函数的值域最值问题中在求复数和三角函数问题中运用数形结合思想不仅直观易发现解题途径而且能避免复杂的计算与推理大大简化了解题过程这在解选择题填空题中学习必备 欢迎下载|minmaxzz23 2，的取值范围为，|z23 2 例 9.求函数的值域。yxxsincos22 解法一（代数法）：则得yxxyxyxsincoscossin2222，sincossin()xyxyyxy221222，而sin()|sin()|xyyx22112 ，解不等式得|221147347
12、32yyy 函数的值域为，473473 解法二（几何法）：yxxyyyxxsincos222121的形式类似于斜率公式 yxxPPxxsincos()(cossin)22220表示过两点，的直线斜率 221Pxy由于点 在单位圆上，如图,显然，kykP AP B00 设过的圆的切线方程为Pyk x022()则有，解得|22114732kkk即，kkP AP B00473473 473473y 函数值域为，473473 想方法使用数形结合的方法很多问题能迎刃而解且解法简捷所谓数形结合就是根据数与形之间的对应关系通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法数形结合思想通过以形助数以数解形使
13、复杂问题简单化抽象问题具常与以下内容有关实数与数轴上的点的对应关系函数与图象的对应关系曲线与方程的对应关系以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念如复数三角函数等所给的等或代数的结构含有明显的几何意义如等纵观多年来的高考试题巧结合的思想方法应用广泛常见的如在解方程和解不等问题中在求函数的值域最值问题中在求复数和三角函数问题中运用数形结合思想不仅直观易发现解题途径而且能避免复杂的计算与推理大大简化了解题过程这在解选择题填空题中学习必备 欢迎下载 例 10.求函数的最值。utt 246 分析：由于等号右端根号内 同为 的一次式，故作简单换元，无法tttm24 转化出一元二次函数求最值；倘若对式子平
14、方处理，将会把问题复杂化，因此该题用常规解法显得比较困难，考虑到式中有两个根号，故可采用两步换元。解：设，则xtytuxy 246 且，xyxy22216 0402 2 ()所给函数化为以 为参数的直线方程，它与椭圆在uyxuxy 22216 第一象限的部分（包括端点）有公共点，（如图）umin2 2 相切于第一象限时，u 取最大值 yxuxyxuxu 2222216342160 解，得，取uu2 62 6 umax2 6 三、总结提炼 数形结合思想是解答数学试题的的一种常用方法与技巧，特别是在解决选择、填空题是发挥着奇特功效，复习中要以熟练技能、方法为目标，加强这方面的训练，以提高解题能力和
15、速度。四、强化训练 见优化设计。【模拟试题】一、选择题：想方法使用数形结合的方法很多问题能迎刃而解且解法简捷所谓数形结合就是根据数与形之间的对应关系通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法数形结合思想通过以形助数以数解形使复杂问题简单化抽象问题具常与以下内容有关实数与数轴上的点的对应关系函数与图象的对应关系曲线与方程的对应关系以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念如复数三角函数等所给的等或代数的结构含有明显的几何意义如等纵观多年来的高考试题巧结合的思想方法应用广泛常见的如在解方程和解不等问题中在求函数的值域最值问题中在求复数和三角函数问题中运用数形结合思想不仅直观易发现解题途径而
16、且能避免复杂的计算与推理大大简化了解题过程这在解选择题填空题中学习必备 欢迎下载 1.方程lgsinxx的实根的个数为（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.函数ya xyxa|与的图象恰有两个公共点，则实数 a 的取值范围是（）A.()1，B.()11，C.()，11 D.()()，11 3.设命题甲：03 x，命题乙：|x 14，则甲是乙成立的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.不充分也不必要条件 4.适合|z 11且arg z 4的复数 z 的个数为（）A.0个 B.1个 C.2个 D.4个 5.若不等式xaxa()0的解集为|x mxnmna ，且，2
17、则 a 的值为（）A.1 B.2 C.3 D.4 6.已知复数zizzz121232，则|的最大值为（）A.102 B.5 C.210 D.22 2 7.若x ()12，时，不等式()logxxa12恒成立，则 a 的取值范围为（）A.（0，1）B.（1，2）C.（1，2 D.1，2 8.定义在 R 上的函数yf x()()在，2上为增函数，且函数yf x()2的图象的对称轴为x 0，则（）A.ff()()13 B.ff()()03 C.ff()()13 D.ff()()23 二、填空题：9.若复数 z 满足|z 2，则|zi 1的最大值为_。10.若f xxbxc()2对任意实数t，都有ft
18、ft()()22，则ff()()13、f()4由小到大依次为_。想方法使用数形结合的方法很多问题能迎刃而解且解法简捷所谓数形结合就是根据数与形之间的对应关系通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法数形结合思想通过以形助数以数解形使复杂问题简单化抽象问题具常与以下内容有关实数与数轴上的点的对应关系函数与图象的对应关系曲线与方程的对应关系以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念如复数三角函数等所给的等或代数的结构含有明显的几何意义如等纵观多年来的高考试题巧结合的思想方法应用广泛常见的如在解方程和解不等问题中在求函数的值域最值问题中在求复数和三角函数问题中运用数形结合思想不仅直观易发现解
19、题途径而且能避免复杂的计算与推理大大简化了解题过程这在解选择题填空题中学习必备 欢迎下载 11.若关于 x 的方程xxm245|有四个不相等的实根，则实数 m 的取值范围为_。12.函数yxxxx 2222613的最小值为_。13.若直线yxm 与曲线yx12有两个不同的交点，则实数 m 的取值范围是_。三、解答题：14.若方程lg()lg()xxmx23303在，上有唯一解，求 m 的取值范围。15.若不等式412xxax()的解集为 A，且Axx|02，求 a 的取值范围。16.设aa 01且，试求下述方程有解时 k 的取值范围。log()log()aaxakxa222 想方法使用数形结合
20、的方法很多问题能迎刃而解且解法简捷所谓数形结合就是根据数与形之间的对应关系通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法数形结合思想通过以形助数以数解形使复杂问题简单化抽象问题具常与以下内容有关实数与数轴上的点的对应关系函数与图象的对应关系曲线与方程的对应关系以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念如复数三角函数等所给的等或代数的结构含有明显的几何意义如等纵观多年来的高考试题巧结合的思想方法应用广泛常见的如在解方程和解不等问题中在求函数的值域最值问题中在求复数和三角函数问题中运用数形结合思想不仅直观易发现解题途径而且能避免复杂的计算与推理大大简化了解题过程这在解选择题填空题中学习必备 欢
21、迎下载【试题答案】一、选择题 1.C 提示：画出yxyxsinlg，在同一坐标系中的图象，即可。2.D 提示：画出ya xyxa|与的图象 情形 1：aaa011 情形 2：aaa011 3.A 4.C 提示：|Z1|=1 表示以（1，0）为圆心，以 1 为半径的圆，显然点 Z 对应的复数满足条想方法使用数形结合的方法很多问题能迎刃而解且解法简捷所谓数形结合就是根据数与形之间的对应关系通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法数形结合思想通过以形助数以数解形使复杂问题简单化抽象问题具常与以下内容有关实数与数轴上的点的对应关系函数与图象的对应关系曲线与方程的对应关系以几何元素和几何条件
22、为背景建立起来的概念如复数三角函数等所给的等或代数的结构含有明显的几何意义如等纵观多年来的高考试题巧结合的思想方法应用广泛常见的如在解方程和解不等问题中在求函数的值域最值问题中在求复数和三角函数问题中运用数形结合思想不仅直观易发现解题途径而且能避免复杂的计算与推理大大简化了解题过程这在解选择题填空题中学习必备 欢迎下载 件arg z 4，另外，点 O 对应的复数 O，因其辐角是多值，它也满足arg z 4，故满足条件的 z 有两个。5.B 提 示：画 出yxayx的 图 象，依 题 意，mana，从 而aaaa 02或。6.C 提示：由|z22可知，z2对应的点在以（0，0）为圆心，以 2 为
23、半径的圆上，而|()|()|zzzzzi122123 表示复数zi23与 对应的点的距离，结合图形，易知，此距离的最大值为：|POr ()()3010210222 7.C 提示：令yxyxa1221()log，若 a1，两函数图象如下图所示，显然当x ()12，时，想方法使用数形结合的方法很多问题能迎刃而解且解法简捷所谓数形结合就是根据数与形之间的对应关系通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法数形结合思想通过以形助数以数解形使复杂问题简单化抽象问题具常与以下内容有关实数与数轴上的点的对应关系函数与图象的对应关系曲线与方程的对应关系以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念如复数三角
24、函数等所给的等或代数的结构含有明显的几何意义如等纵观多年来的高考试题巧结合的思想方法应用广泛常见的如在解方程和解不等问题中在求函数的值域最值问题中在求复数和三角函数问题中运用数形结合思想不仅直观易发现解题途径而且能避免复杂的计算与推理大大简化了解题过程这在解选择题填空题中学习必备 欢迎下载 要使yy12，只需使log()aa22122，即，综上可知 当12 a时，不等式()logxxa12对x ()12，恒成立。若01 a，两函数图象如下图所示，显然当x ()12，时，不等式()logxxa12恒不成立。可见应选 C 8.A 提示：f(x+2)的图象是由 f(x)的图象向左平移 2 个单位而得
25、到的，又知 f(x+2)的图象关于直线 x=0（即 y 轴）对称，故可推知，f(x)的图象关于直线 x=2 对称，由 f(x)在（，2）上为增函数，可知，f(x)在()2，上为减函数，依此易比较函数值的大小。二、填空题：想方法使用数形结合的方法很多问题能迎刃而解且解法简捷所谓数形结合就是根据数与形之间的对应关系通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法数形结合思想通过以形助数以数解形使复杂问题简单化抽象问题具常与以下内容有关实数与数轴上的点的对应关系函数与图象的对应关系曲线与方程的对应关系以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念如复数三角函数等所给的等或代数的结构含有明显的几何意义如
26、等纵观多年来的高考试题巧结合的思想方法应用广泛常见的如在解方程和解不等问题中在求函数的值域最值问题中在求复数和三角函数问题中运用数形结合思想不仅直观易发现解题途径而且能避免复杂的计算与推理大大简化了解题过程这在解选择题填空题中学习必备 欢迎下载 9.22 提示：|Z|=2 表示以原点为原心，以 2 为半径的圆，即满足|Z|=2 的复数 Z对应的点在圆O 上运动，（如下图），而|z+1 i|=|z（1+i）|表示复数 Z与1+i对应的两点的距离。由图形，易知，该距离的最大值为22。10.fff()()()143 提示：由ftft()()22 知，f(x)的图象关于直线 x=2 对称，又f xxb
27、xc()2为二次函数，其图象是开口向上的抛物线，由 f(x)的图象，易知fff()()()134、的大小。11.m()15，提示：设yxxym12245|，画出两函数图象示意图，要使方程xxm245|有四个不相等实根，只需使15 m 想方法使用数形结合的方法很多问题能迎刃而解且解法简捷所谓数形结合就是根据数与形之间的对应关系通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法数形结合思想通过以形助数以数解形使复杂问题简单化抽象问题具常与以下内容有关实数与数轴上的点的对应关系函数与图象的对应关系曲线与方程的对应关系以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念如复数三角函数等所给的等或代数的结构含有明
28、显的几何意义如等纵观多年来的高考试题巧结合的思想方法应用广泛常见的如在解方程和解不等问题中在求函数的值域最值问题中在求复数和三角函数问题中运用数形结合思想不仅直观易发现解题途径而且能避免复杂的计算与推理大大简化了解题过程这在解选择题填空题中学习必备 欢迎下载 12.最小值为13 提示：对xxxx2222211110 ()()()，联想到两点的距离公式，它表示点（x，1）到（1，0）的距离，xxx222613313()()表示点（x，1）到点（3，3）的距离，于是yxxxx 2222613表示动点（x，1）到两个定点（1，0）、（3，3）的距离之和，结合图形，易得ymin 13。13.m(21，
29、提示：y=xm 表示倾角为 45，纵截距为m 的直线方程，而yx12则表示以（0，0）为圆心，以 1 为半径的圆在 x 轴上方的部分（包括圆与 x 轴的交点），如下图所示，显然，欲使直线与半圆有两个不同交点，只需直线的纵截距 m)12，即m(21，。三、解答题：14.解：原方程等价于 xxmxxxxmxxxmxxxm222230300333300343 令yxxym12243，在同一坐标系内，画出它们的图象，其中注意03 x，当且仅当两函数的图象在0，3）上有唯一公共点时，原方程有唯一解，由下图可见，当 m=1，或 30m时，原方程有唯一解，因此 m 的取值范围为3，01。想方法使用数形结合的
30、方法很多问题能迎刃而解且解法简捷所谓数形结合就是根据数与形之间的对应关系通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法数形结合思想通过以形助数以数解形使复杂问题简单化抽象问题具常与以下内容有关实数与数轴上的点的对应关系函数与图象的对应关系曲线与方程的对应关系以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念如复数三角函数等所给的等或代数的结构含有明显的几何意义如等纵观多年来的高考试题巧结合的思想方法应用广泛常见的如在解方程和解不等问题中在求函数的值域最值问题中在求复数和三角函数问题中运用数形结合思想不仅直观易发现解题途径而且能避免复杂的计算与推理大大简化了解题过程这在解选择题填空题中学习必备 欢迎
31、下载 注：一般地，研究方程时，需先将其作等价变形，使之简化，再利用函数图象的直观性研究方程的解的情况。15.解：令yxxyaxyxx12212414，其中()表示以（2，0）为圆心，以 2 为半径的圆在 x 轴的上方的部分（包括圆与 x 轴的交点），如下图所示，yax21()表示过原点的直线系，不等式412xxax()的解即是两函数图象中半圆在直线上方的部分所对应的 x 值。由于不等式解集Axx|02 因此，只需要aa 112，a 的取值范围为（2，+）。16.解：将原方程化为：log()logaaxakxa22，xakxaxakxa222200，且，令yxak1，它表示倾角为 45的直线系，
32、y10 令yxa222，它表示焦点在 x 轴上，顶点为（a，0）（a，0）的等轴双曲线在 x轴上方的部分，y20 原方程有解，两个函数的图象有交点，由下图，知 想方法使用数形结合的方法很多问题能迎刃而解且解法简捷所谓数形结合就是根据数与形之间的对应关系通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法数形结合思想通过以形助数以数解形使复杂问题简单化抽象问题具常与以下内容有关实数与数轴上的点的对应关系函数与图象的对应关系曲线与方程的对应关系以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念如复数三角函数等所给的等或代数的结构含有明显的几何意义如等纵观多年来的高考试题巧结合的思想方法应用广泛常见的如在解方
33、程和解不等问题中在求函数的值域最值问题中在求复数和三角函数问题中运用数形结合思想不仅直观易发现解题途径而且能避免复杂的计算与推理大大简化了解题过程这在解选择题填空题中学习必备 欢迎下载 akaaak或0 kk 101或 k 的取值范围为()()，101 想方法使用数形结合的方法很多问题能迎刃而解且解法简捷所谓数形结合就是根据数与形之间的对应关系通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法数形结合思想通过以形助数以数解形使复杂问题简单化抽象问题具常与以下内容有关实数与数轴上的点的对应关系函数与图象的对应关系曲线与方程的对应关系以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念如复数三角函数等所给的等或代数的结构含有明显的几何意义如等纵观多年来的高考试题巧结合的思想方法应用广泛常见的如在解方程和解不等问题中在求函数的值域最值问题中在求复数和三角函数问题中运用数形结合思想不仅直观易发现解题途径而且能避免复杂的计算与推理大大简化了解题过程这在解选择题填空题中