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1、学习必备 欢迎下载 第一节 数列的概念与简单表示法 教学目标：（1）了解数列的概念，分类；（2）能根据条件数列的通项公式，类型包含数列的前几项的归纳出数列的通项公式，由前 n 项和求通项公式，由数列的递推公式求通项公式。教学方法：以学生为主体，教师点评指导，讲练结合，启发引导，自主合作探究。教学工具：投影仪，多媒体，黑板。教学过程：1数列的有关概念 概念 含义 数列 按照一定次序排列的一列数 数列的项 数列中的每个数 数列的通项 数列 an 的第 n 项 an 通项公式 如果数列 an 的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式 前 n 项和 数
2、列 an 中，Sn a1 a2 an叫做数列的前 n 项和 2.数列的表示方法 列表法 列表格表示 n 与 an的对应关系 图象法 把点(n，an)画在平面直角坐标系中 公 式 法 通项公式 把数列的通项使用公式表示的方法 递推公式 使用初始值 a1和 an1 f(an)或 a1，a2和 an1 f(an，an1)等表示数列的方法 3.an与 Sn的关系 若数列 an 的前 n 项和为 Sn，则 an S1，n 1，Sn Sn1，n 2.学习必备 欢迎下载 4数列的分类 单调性 递增数列 n N*，an 1an 递减数列 n N*，an 1an 常数列 n N*，an 1 an 摆动数列 从第
3、 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 周期性 周期数列 n N*，存在正整数常数 k，ank an 考点精析：考点一 由数列的前几项求数列的通项公式 题组练透 1 数 列23，415，635，863，1099，的 一 个 通 项 公 式 是_ 解析：通过观察各项，可得分母为(2n 1)(2 n 1)，分子为 2n，则 an2n 2n 1 2n 1.答案：an2n 2n 1 2n 1 2根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式：(1)4,6,8,10，；(2)(易错题)11 2，12 3，13 4，14 5，；(3)a，b，a，b，a，b，(其中 a，b 为实数)；(4
4、)9,99,999,9 999，.解：(1)各数都是偶数，且最小为 4，所以它的一个通项公式 an 2(n 1)，n N*.(2)这个数列的前 4 项的绝对值都等于序号与序号加 1 的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式 an(1)n1n n 1，n N*.(3)这是一个摆动数列，奇数项是 a，偶数项是 b，所以此数列的一个通项公包含数列的前几项的归纳出数列的通项公式由前项和求通项公式由数列的递推公式求通项公式教学方法以学生为主体教师点评指导讲练结合启发引导自主合作探究教学工具投影仪多媒体黑板教学过程数列的有关概念概念数列按照一 用一个式子来表示那么这个公式叫做这个数列的通
5、项公式通项公式前项和数列中叫做数列的前项和数列的表示方法列表法图象法公式法通项公式递推公式列表格表示与的对应关系把点在平面直角坐标系中把数列的通项使用公式表示 增数列递减数列常数列摆动数列从第项起有些项大于它的前一项有些项小于它的前一项的数列周期性周期数列存在正整数常数考点精析考点一由数列的前几项求数列的通项公式题组练透数列的一个通项公式是解析通过观察各项可得学习必备 欢迎下载 式 an a，n为奇数，b，n为偶数.(4)这个数列的前 4 项可以写成 10 1,100 1,1 000 1，10 000 1，所以它的一个通项公式 an 10n 1，n N*.谨记通法 由数列的前几项求数列通项公式
6、的策略(1)根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征，并对此进行归纳、联想，具体如下：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项符号特征等(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(1)n或(1)n1来调整如“题组练透”第2(2)题 考点二 由 an与 Sn的关系求通项 an 重点保分型考点 师生共研 典例引领 已知下面数列 an 的前 n 项和 Sn，求 an 的通项公式：(1)Sn 2n2 3n；(2)Sn 3n b
7、.解：(1)a1 S1 2 3 1，当 n 2 时，an Sn Sn1(2n2 3n)2(n 1)2 3(n 1)4n 5，由于 a1也适合此等式，an 4n 5.(2)a1 S1 3 b，当 n 2 时，an Sn Sn1(3n b)(3n1 b)2 3n1.包含数列的前几项的归纳出数列的通项公式由前项和求通项公式由数列的递推公式求通项公式教学方法以学生为主体教师点评指导讲练结合启发引导自主合作探究教学工具投影仪多媒体黑板教学过程数列的有关概念概念数列按照一 用一个式子来表示那么这个公式叫做这个数列的通项公式通项公式前项和数列中叫做数列的前项和数列的表示方法列表法图象法公式法通项公式递推公式
8、列表格表示与的对应关系把点在平面直角坐标系中把数列的通项使用公式表示 增数列递减数列常数列摆动数列从第项起有些项大于它的前一项有些项小于它的前一项的数列周期性周期数列存在正整数常数考点精析考点一由数列的前几项求数列的通项公式题组练透数列的一个通项公式是解析通过观察各项可得学习必备 欢迎下载 当 b 1 时，a1适合此等式 当 b 1 时，a1不适合此等式 当 b 1 时，an 2 3n1；当 b 1 时，an 3 b，n 1，2 3n1，n 2.由题悟法 已知 Sn求 an的 3 个步骤(1)先利用 a1 S1求出 a1；(2)用 n 1 替换 Sn中的 n 得到一个新的关系，利用 an Sn
9、 Sn1(n 2)便可求出当 n 2 时 an的表达式；(3)对 n 1 时的结果进行检验，看是否符合 n 2 时 an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分 n 1 与 n 2 两段来写 即时应用 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn.(1)若 Sn(1)n1 n，求 a5 a6及 an；(2)若 Sn 3n 2n 1，求 an.解：(1)a5 a6 S6 S4(6)(4)2，当 n 1 时，a1 S1 1；当 n 2 时，an Sn Sn1(1)n1 n(1)n(n 1)(1)n1 n(n 1)(1)n1(2n 1)，又 a1也适合此式，所以 an(1)n1
10、(2n 1)(2)因为当 n 1 时，a1 S1 6；当 n 2 时，an Sn Sn1(3n 2n 1)3n1 2(n 1)1 2 3n1 2，由于 a1不适合此式，包含数列的前几项的归纳出数列的通项公式由前项和求通项公式由数列的递推公式求通项公式教学方法以学生为主体教师点评指导讲练结合启发引导自主合作探究教学工具投影仪多媒体黑板教学过程数列的有关概念概念数列按照一 用一个式子来表示那么这个公式叫做这个数列的通项公式通项公式前项和数列中叫做数列的前项和数列的表示方法列表法图象法公式法通项公式递推公式列表格表示与的对应关系把点在平面直角坐标系中把数列的通项使用公式表示 增数列递减数列常数列摆动
11、数列从第项起有些项大于它的前一项有些项小于它的前一项的数列周期性周期数列存在正整数常数考点精析考点一由数列的前几项求数列的通项公式题组练透数列的一个通项公式是解析通过观察各项可得学习必备 欢迎下载 所以 an 6，n 1，2 3n 1 2，n 2.考点三 由递推关系式求数列的通项公式 常考常新型考点 多角探明 命题分析 递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接 常见的命题角度有：(1)形如 an1 anf(n)，求 an；(2)形如 an1 an f(n)，求 an；(3)形如 an1 Aan B(A 0 且 A
12、1)，求 an；(4)形如 an1AanBan C(A，B，C 为常数)，求 an.题点全练 角度一：形如 an1 anf(n)，求 an 1在数列 an 中，a1 1，ann 1nan1(n 2)，求数列 an 的通项公式 解：ann 1nan1(n 2)，an1n 2n 1an2，a212a1.以上(n 1)个式子相乘得 an a11223 n 1na1n1n.当 n 1 时，a1 1，上式也成立 an1n.角度二：形如 an1 an f(n)，求 an 2若数列 an 满足：a1 1，an1 an 2n，求数列 an 的通项公式 解：由题意知 an1 an 2n，an(an an1)(a
13、n1 an2)(a2 a1)a1 2n1 2n2 2 11 2n1 2 2n 1.角度三：形如 an1 Aan B(A 0 且 A 1)，求 an 包含数列的前几项的归纳出数列的通项公式由前项和求通项公式由数列的递推公式求通项公式教学方法以学生为主体教师点评指导讲练结合启发引导自主合作探究教学工具投影仪多媒体黑板教学过程数列的有关概念概念数列按照一 用一个式子来表示那么这个公式叫做这个数列的通项公式通项公式前项和数列中叫做数列的前项和数列的表示方法列表法图象法公式法通项公式递推公式列表格表示与的对应关系把点在平面直角坐标系中把数列的通项使用公式表示 增数列递减数列常数列摆动数列从第项起有些项大
14、于它的前一项有些项小于它的前一项的数列周期性周期数列存在正整数常数考点精析考点一由数列的前几项求数列的通项公式题组练透数列的一个通项公式是解析通过观察各项可得学习必备 欢迎下载 3已知数列 an 满足 a1 1，an 1 3an 2，求数列 an 的通项公式 解：an1 3an 2，an1 1 3(an 1)，an1 1an 1 3，数列 an 1 为等比数列，公比 q 3，又 a1 1 2，an 1 2 3n1，an 2 3n1 1.角度四：形如 an1AanBan C(A，B，C 为常数)，求 an 4已知数列 an 中，a1 1，an12anan 2，求数列 an 的通项公式 解：an1
15、2anan 2，a1 1，an 0，1an11an12，即1an11an12，又 a1 1，则1a1 1，1 an是以 1 为首项，12为公差的等差数列 1an1a1(n 1)12n212，an2n 1(n N*)方法归纳 典型的递推数列及处理方法 递推式 方法 示例 an1 an f(n)叠加法 a1 1，an1 an 2n an1 anf(n)叠乘法 a1 1，an1an 2n an1 Aan B(A 0,1，B 0)化为等比数列 a1 1，an1 2an 1 an1AanBan C(A，B，C 为常数)化为等差数列 a1 1，an13an2an 3 课堂检测 1已知数列 an的前 4 项
16、为 1,3,7,15，则数列 an的一个通项公式为_ 答案：an 2n 1(n N*)包含数列的前几项的归纳出数列的通项公式由前项和求通项公式由数列的递推公式求通项公式教学方法以学生为主体教师点评指导讲练结合启发引导自主合作探究教学工具投影仪多媒体黑板教学过程数列的有关概念概念数列按照一 用一个式子来表示那么这个公式叫做这个数列的通项公式通项公式前项和数列中叫做数列的前项和数列的表示方法列表法图象法公式法通项公式递推公式列表格表示与的对应关系把点在平面直角坐标系中把数列的通项使用公式表示 增数列递减数列常数列摆动数列从第项起有些项大于它的前一项有些项小于它的前一项的数列周期性周期数列存在正整数
17、常数考点精析考点一由数列的前几项求数列的通项公式题组练透数列的一个通项公式是解析通过观察各项可得学习必备 欢迎下载 2已知数列 an 中，a1 1，an 1 an2an 3，则 a5 _.答案：1161 3(教材习题改编)已知数列 an 的通项公式为 an n2 n，数列 an 仅在 n 3 时取得最小的项，则实数 的取值范围是 _ 解析：法一：因为 an n2 n n2 224，由于数列 an 仅在 n 3 时取得最小的项，所以52n272，从而得 7na3且 a4a3，即 5 0，故 7 5.答案：(7，5)4(教材习题改编)数列 an 中，已知 an(1)n n a(a 为常数)，且 a
18、1 a4 3a2，则 an _.解析：由题意得 1 a 4 a 3(2 a)，所以 a 3，则 an(1)n n 3.答案：(1)n n 3 5已知 Sn是数列 an 的前 n 项和，且 Sn n2 1，则数列 an 的通项公式是_ 答案：an 2，n 1，2n 1，n 2 6数列 an 的通项公式为 an n2 9n，则该数列第 _项最大 答案：4 或 5 包含数列的前几项的归纳出数列的通项公式由前项和求通项公式由数列的递推公式求通项公式教学方法以学生为主体教师点评指导讲练结合启发引导自主合作探究教学工具投影仪多媒体黑板教学过程数列的有关概念概念数列按照一 用一个式子来表示那么这个公式叫做这
19、个数列的通项公式通项公式前项和数列中叫做数列的前项和数列的表示方法列表法图象法公式法通项公式递推公式列表格表示与的对应关系把点在平面直角坐标系中把数列的通项使用公式表示 增数列递减数列常数列摆动数列从第项起有些项大于它的前一项有些项小于它的前一项的数列周期性周期数列存在正整数常数考点精析考点一由数列的前几项求数列的通项公式题组练透数列的一个通项公式是解析通过观察各项可得学习必备 欢迎下载 包含数列的前几项的归纳出数列的通项公式由前项和求通项公式由数列的递推公式求通项公式教学方法以学生为主体教师点评指导讲练结合启发引导自主合作探究教学工具投影仪多媒体黑板教学过程数列的有关概念概念数列按照一 用一个式子来表示那么这个公式叫做这个数列的通项公式通项公式前项和数列中叫做数列的前项和数列的表示方法列表法图象法公式法通项公式递推公式列表格表示与的对应关系把点在平面直角坐标系中把数列的通项使用公式表示 增数列递减数列常数列摆动数列从第项起有些项大于它的前一项有些项小于它的前一项的数列周期性周期数列存在正整数常数考点精析考点一由数列的前几项求数列的通项公式题组练透数列的一个通项公式是解析通过观察各项可得