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1、.-优选 阿基米德三角形的性质 阿基米德三角形：抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形。阿基米德最早利用逼近的思想证明了：抛物线的弦与抛物线所围成的封闭图形的面积等于阿基米德三角形面积的。阿基米德三角形的性质：设抛物线方程为x2=2py，称弦AB为阿基米德三角形的底边，M为底边AB的中点，Q为两条切线的交点。性质 1 阿基米德三角形底边上的中线与抛物线的轴。性质 2 阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线定点C，那么另一顶点Q的轨迹为。性质 3 抛物线以C为中点的弦与Q点的轨迹。性质 4 假设直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点。性质 5 底边长为a的阿
2、基米德三角形的面积的最大值为。性质 6 假设阿基米德三角形的底边过焦点，那么顶点Q的轨迹为抛物线的，且阿基米德三角形的面积的最小值为。性质 7 在阿基米德三角形中，QFA=QFB。性质 8 在抛物线上任取一点I不与A、B重合，过I作抛物线切线交QA、QB于S、T，那么QST的垂心在上。性质 9|AF|BF|=|QF|2.性质 10 QM的中点P在抛物线上，且P处的切线与AB。性质 11 在性质 8 中，连接AI、BI，那么ABI的面积是QST面积的倍。高考题中的阿基米德三角形 例 1 2005卷，理 22题如图，设抛物线2:Cyx的焦点为F，动点P在直线:20l xy上运动，过P作抛物线C的两
3、条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.1求APB的重心G的轨迹方程.2证明PFA=PFB.解：1设切点A、B坐标分别为2201110(,)(,)()x xx xxx和，切线AP的方程为：20020;x xyx 切线BP的方程为：21120;x xyx 解得P点的坐标为：0101,2PPxxxyx x 所以APB的重心G的坐标为，所以234pGGyyx，由点P在直线l上运动，从而得到重心G的轨迹方程为：x y O A B P F l .-优选 2方法 1：因为2201000111111(,),(,),(,).4244xxFAxxFPx xFBx x 由于P点在抛物线外，那么|0.F
4、P 20100100122200111()()2444cos,1|()4xxxx xxx xFPFAAFPFPFAFPFPxx 同理有20110110122211111()()2444cos,1|()4xxxx xxx xFPFBBFPFPFBFPFPxx AFP=PFB.方法 2：当1010000,0,0,x xxxxy时 由于不妨设则所以P点坐标为1(,0)2x，那么P点到直线AF的距离为：211111|14;:,24xxdBFyxx而直线的方程 即211111()0.44xxx yx 所以P点到直线BF的距离为：2211111122222111|11|()|()|4 2442121()(
5、)44xxxxxxdxxx 所以d1=d2，即得AFP=PFB.当100 x x时，直线AF的方程：202000011114(0),()0,4044xyxxxx yxx即 直线BF的方程：212111111114(0),()0,4044xyxxxx yxx即 所以P点到直线AF的距离为：2220101001000112222000111|()()|)()|42424121()44xxxxxx xxxxxdxxx，同理可得到P点到直线BF的距离102|2xxd，因此由d1=d2，可得到AFP=PFB 例 2 (2006全国卷，理 21题)抛物线x24y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且AF
6、.-优选 FB0 过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为 证明FMAB为定值；设ABM的面积为S，写出Sf()的表达式，并求S的最小值 解：()由条件，得F(0，1)，0 设A(x1，y1)，B(x2，y2)由AFFB，即得 (x1，1y)(x2，y21)，x1 x2 1y1(y21)将式两边平方并把y114x12，y214x22代入得 y12y2 解、式得y1，y21，且有x1x2x224y24，抛物线方程为y14x2，求导得y12x 所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是 y12x1(xx1)y1，y12x2(xx2)y2，即y12x1x14x12，y12x2x14x22 解出两条切
7、线的交点M的坐标为(x1x22，x1x24)(x1x22，1)4 分 所以FMAB(x1x22，2)(x2x1，y2y1)12(x22x12)2(14x2214x12)0 所以FMAB为定值，其值为 0 7 分()由()知在ABM中，FMAB，因而S12|AB|FM|.-优选|FM|(x1x22)2(2)214x1214x2212x1x24 y1y212(4)4121 因为|AF|、|BF|分别等于A、B到抛物线准线y1 的距离，所以|AB|AF|BF|y1y2212(1)2 于是 S12|AB|FM|(1)3，由12 知S4，且当1 时，S取得最小值 4 例 32007 卷，理 19 题如图
8、，在平面直角坐标系xOy中，过y轴正方向上一点(0,)Cc任作一直线，与抛物线2yx相交于AB两点，一条垂直于x轴的直线，分别与线段AB和直线:l yc交于,P Q，1假设2OA OB，求c的值；5 分 2假设P为线段AB的中点，求证：QA为此抛物线的切线；5 分 3试问2的逆命题是否成立？说明理由。4 分 解：1设过C点的直线为ykxc，所以20 xkxc c，即20 xkxc，设A1122,x yB x y，OA=11,x y，22,OBx y，因为2OA OB，所以 12122x xy y，即12122x xkxckxc，221212122x xk x xkc xxc 所以222ck c
9、kc kc，即220,cc所以21cc舍去 2 设 过Q的 切 线 为111yyk xx，/2yx，所 以112kx，即2211111222yx xxyx xx，它 与yc的 交 点 为M11,22xccx，又.-优选 21212,2222xxyyk kPc，所以Q,2kc，因为12x xc,所以21cxx，所以M12,222xxkcc,所以点M和点Q重合，也就是QA为此抛物线的切线。3 2的逆命题是成立，由2可知Q,2kc，因为PQx轴，所以,2PkPy 因为1222xxk，所以P为AB的中点。例 42008卷，理 22题如图，设抛物线方程为22(0)xpy p，M为直线2yp上任意一点，过
10、M引抛物线的切线，切点分别为AB，求证：AMB，三点的横坐标成等差数列；当M点的坐标为(22)p，时，4 10AB求此时抛物线的方程；是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线22(0)xpy p上，其中，点C满足OCOAOBO为坐标原点 假设存在，求出所有适合题意的点M的坐标；假设不存在，请说明理由 解：证明：由题意设221212120(2)22xxA xB xxxM xppp，由22xpy得22xyp，得xyp，所以1MAxkp，2MBxkp 因此直线MA的方程为102()xypxxp，直线MB的方程为202()xypxxp 所以211102()2xxpxxpp，222202()
11、2xxpxxpp 由、得121202xxxxx，.-优选 因此1202xxx，即0122xxx 所以AMB，三点的横坐标成等差数列 解：由知，当02x时，将其代入、并整理得：2211440 xxp，2222440 xxp，所以12xx，是方程22440 xxp的两根，因此124xx，2124x xp，又222112021222ABxxxxxppkxxpp，所以2ABkp 由弦长公式得2221212241()411616ABkxxx xpp 又4 10AB，所以1p或2p，因此所求抛物线方程为22xy或24xy 解：设33()D xy，由题意得1212()C xxyy，那么CD的中点坐标为123
12、12322xxxyyyQ，设直线AB的方程为011()xyyxxp，由点Q在直线AB上，并注意到点121222xxyy，也在直线AB上，代入得033xyxp 假设33()D xy，在抛物线上，那么2330322xpyx x，因此30 x或302xx即(0 0)D，或20022xDxp，.-优选 1当00 x时，那么12020 xxx，此时，点(02)Mp，适合题意 2 当00 x，对 于(0 0)D，此 时2212022xxCxp，2212022CDxxpkx221204xxpx，又0ABxkp，ABCD，所以22220121220144ABCDxxxxxkkppxp，即222124xxp，矛
13、盾 对于20022xDxp，因为2212022xxCxp，此时直线CD平行于y轴，又00ABxkp，所以直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾，所以00 x时，不存在符合题意的M点 综上所述，仅存在一点(02)Mp，适合题意 例5 2008卷，理21题 设 点00,P x y在 直 线,01xm ymm上，过点P作双曲线221xy的两条切线PAPB、，切点为AB、，定点M(1m，0)1过点A作直线0 xy的垂线，垂足为N，试求AMN的重心G所在的曲线方程；2求证：AMB、三点共线 证明：1设1122(,),(,)A x yB x y，由得到120y y，且22111xy，22221xy，设切线P
14、A的方程为：11()yyk xx由1122()1yyk xxxy得 从而2222211114()4(1)()4(1)0k ykxkykxk,.-优选 解得11xky 因此PA的方程为：111y yx x同理PB的方程为：221y yx x 又0(,)P m y在PAPB、上，所以1011y ymx，2021y ymx 即点1122(,),(,)A x yB x y都在直线01y ymx上 又1(,0)Mm也在直线01y ymx上,所以三点AMB、共线 2垂线AN的方程为：11yyxx，由110yyxxxy得垂足1111(,)22xyxyN，设重心(,)G x y 所以11111111()321(0)32xyxxmxyyy 解得1139341934xymxyxmy 由22111xy 可得11(33)(33)2xyxymm即2212()39xym为重心G所在曲线方程.