2013年江苏高考数学试题及答案.pdf

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1、YN输 出 n开 始1 a 2 n，1 n n 3 2 a a 2 0 a 结 束（第 5 题）2 0 1 3 年 江 苏 高 考 数 学 试 题 及 答 案一、填 空 题：本 大 题 共 1 4 小 题，每 小 题 5 分，共 计 7 0 分。请 把 答 案 填 写 在 答 题 卡 相 印 位 置 上。1 函 数)42 s i n(3 x y 的 最 小 正 周 期 为【答 案】【解 析】T|2|2 2|2 设2)2(i z（i 为 虚 数 单 位），则 复 数 z 的 模 为【答 案】5【解 析】z 3 4 i，i2 1，|z|5 3 双 曲 线 19 162 2 y x的 两 条 渐 近

2、 线 的 方 程 为【答 案】x y43【解 析】令：09 162 2 y x，得 xxy431692 4 集 合 1,0,1 共 有 个 子 集【答 案】8【解 析】23 8 5 右 图 是 一 个 算 法 的 流 程 图，则 输 出 的 n 的 值 是【答 案】3【解 析】n 1，a 2，a 4，n 2；a 1 0，n 3；a 2 8，n 4 6 抽 样 统 计 甲、乙 两 位 设 计 运 动 员 的 5 此 训 练 成 绩（单 位：环），结 果 如 下：运 动 员 第 一 次 第 二 次 第 三 次 第 四 次 第 五 次甲 8 7 9 1 9 0 8 9 9 3乙 8 9 9 0 9

3、1 8 8 9 2则 成 绩 较 为 稳 定（方 差 较 小）的 那 位 运 动 员 成 绩 的 方 差 为【答 案】2【解 析】易 得 乙 较 为 稳 定，乙 的 平 均 值 为：9 059 2 8 8 9 1 9 0 8 9 x 方 差 为：25)90 92()90 88()90 91()90 90()90 89(2 2 2 2 22 S 7 现 在 某 类 病 毒 记 作n mY X，其 中 正 整 数 m，n（7 m，9 n）可 以 任 意 选 取，则 n m，都 取 到 奇 数 的 概 率 为【答 案】6 32 0【解 析】m 取 到 奇 数 的 有 1，3，5，7 共 4 种 情

4、况；n 取 到 奇 数 的 有 1，3，5，7，9 共 5 种 情 况，则 n m，都 取 到 奇 数 的 概 率 为6 32 09 75 48 如 图，在 三 棱 柱 A B C C B A 1 1 1中，F E D，分 别 是1A A A C A B，的 中 点，设 三 棱 锥 A D E F 的 体 积 为1V，三 棱 柱 A B C C B A 1 1 1的体 积 为2V，则 2 1:V V【答 案】1：2 4【解 析】三 棱 锥 A D E F 与 三 棱 锥 A B C A 1的 相 似 比 为 1：2，故 体 积 之 比 为 1：8 又 因 三 棱 锥 A B C A 1与 三

5、棱 柱 A B C C B A 1 1 1的 体 积 之 比 为 1：3 所 以，三 棱 锥 A D E F 与三 棱 柱 A B C C B A 1 1 1的 体 积 之 比 为 1：2 4 9 抛 物 线2x y 在 1 x 处 的 切 线 与 两 坐 标 轴 围 成 三 角 形 区 域 为 D(包 含 三 角 形 内 部 和 边 界)若点),(y x P 是 区 域 D 内 的 任 意 一 点，则 y x 2 的 取 值 范 围 是【答 案】2，12【解 析】抛 物 线2x y 在 1 x 处 的 切 线 易 得 为 y 2 x 1，令 z y x 2，y 12x z2画 出 可 行 域

6、 如 下，易 得 过 点(0，1)时，zm i n 2，过 点(12，0)时，zm a x12yxOy 2 x 1y 12xABC1ADEF1B1CyxlBFOcba1 0 设 E D，分 别 是 A B C 的 边 B C A B，上 的 点，A B A D21，B C B E32，若 A C A B D E2 1（2 1，为 实 数），则2 1 的 值 为【答 案】12【解 析】)(32213221A C B A A B B C A B B E D B D E A C A B A C A B2 13261 所 以，611，322，2 1 121 1 已 知)(x f 是 定 义 在 R 上

7、 的 奇 函 数。当 0 x 时，x x x f 4)(2，则 不 等 式 x x f)(的 解集 用 区 间 表 示 为【答 案】(5，0)(5，)【解 析】做 出 x x x f 4)(2(0 x)的 图 像，如 下 图 所 示。由 于)(x f 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数，利 用 奇 函 数 图 像 关 于 原 点 对 称 做 出 x 0 的 图 像。不 等 式 x x f)(，表 示 函 数 y)(x f 的 图 像 在y x 的 上 方，观 察 图 像 易 得：解 集 为(5，0)(5，)。xyy xy x24 xP(5,5)Q(5,5)1 2 在 平 面 直 角 坐 标

8、 系 x O y 中，椭 圆 C 的 标 准 方 程 为)0,0(12222 b abyax，右 焦 点 为F，右 准 线 为 l，短 轴 的 一 个 端 点 为 B，设 原 点 到 直 线 B F 的 距 离 为1d，F 到 l 的 距 离 为2d，若1 26 d d，则 椭 圆 C 的 离 心 率 为【答 案】33【解 析】如 图，l：x ca2，2d ca2 c cb2，由 等 面 积 得：1d ab c。若1 26 d d，则cb2 6ab c，整 理 得：0 6 62 2 b ab a，两 边 同 除 以：2a，得：0 6 62 abab，解 之 得：ab36，所 以，离 心 率 为

9、：331 e2 ab1 3 在 平 面 直 角 坐 标 系 x O y 中，设 定 点),(a a A，P 是 函 数xy1（0 x）图 象 上 一 动 点，若 点 A P，之 间 的 最 短 距 离 为 2 2，则 满 足 条 件 的 实 数 a 的 所 有 值 为【答 案】1 或 10【解 析】1 4 在 正 项 等 比 数 列 na 中，215 a，37 6 a a，则 满 足n na a a a a a 2 1 2 1 的最 大 正 整 数 n 的 值 为【答 案】1 2【解 析】设 正 项 等 比 数 列 na 首 项 为 a1，公 比 为 q，则：3)1(215 14 1q q a

10、q a，得：a113 2，q 2，an 26 n 记52 121 2 nn na a a T，2)1(2 12n nn na a a n nT，则2)1(5221 2n n n，化 简 得：521 12122 1 2 n nn，当 521 1212 n n n 时，1 221 2 1 1 3 n 当n 1 2 时，1 2 1 2 T，当 n 1 3 时，1 3 1 3 T，故 nm a x 1 2 二、解 答 题：本 大 题 共 6 小 题，共 计 9 0 分 请 在 答 题 卡 指 定 区 域 内 作 答，解 答 时 应 写 出 文 字 说明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤 1 5（本

11、小 题 满 分 1 4 分）已 知)s i n,(c o s)s i n,(c o s b a，0（1）若 2|b a，求 证：b a；（2）设)1,0(c，若 c b a，求,的 值 解：（1）a b(c o s c o s，s i n s i n)，|a b|2(c o s c o s)2(s i n s i n)2 2 2(c o s c o s s i n s i n)2，所 以，c o s c o s s i n s i n 0，所 以，b a（2）1 s i n s i n 0 c o s c o s，2 2得：c o s()12所 以，32，32，带 入 得：s i n(32)s

12、 i n 23c o s 12s i n s i n(3)1，所 以，3 2所 以，65，61 6（本 小 题 满 分 1 4 分）如 图，在 三 棱 锥 A B C S 中，平 面 S A B 平 面 S B C，B C A B，A B A S，过 A 作S B A F，垂 足 为 F，点 G E，分 别 是 棱 S C S A，的 中 点 求 证：（1）平 面/E F G 平 面 A B C；（2）S A B C 证：（1）因 为 S A A B 且 A F S B，所 以 F 为 S B 的 中 点 又 E，G 分 别 为 S A，S C 的 中 点，所 以，E F A B，E G A

13、C 又 A B A C A，A B 面 S B C，A C 面 A B C，所 以，平 面/E F G 平 面 A B C（2）因 为 平 面 S A B 平 面 S B C，平 面 S A B 平 面 S B C B C，A F 平 面 A S B，A F S B 所 以，A F 平 面 S B C 又 B C 平 面 S B C，所 以，A F B C ABCSGFE又 A B B C，A F A B A，所 以，B C 平 面 S A B 又 S A 平 面 S A B，所 以，S A B C 1 7（本 小 题 满 分 1 4 分）如 图，在 平 面 直 角 坐 标 系 x O y 中

14、，点)3,0(A，直 线 4 2:x y l 设 圆 C 的 半 径 为 1，圆 心 在 l 上（1）若 圆 心 C 也 在 直 线 1 x y 上，过 点 A 作 圆 C 的 切 线，求 切 线 的 方 程；（2）若 圆 C 上 存 在 点 M，使 M O M A 2，求 圆 心 C 的 横 坐标 a 的 取 值 范 围 解：（1）联 立：4 21x yx y，得 圆 心 为：C(3，2)设 切 线 为：3 k x y，d 11|2 3 3|2 rkk，得：430 k o r k 故 所 求 切 线 为：3430 x y o r y（2）设 点 M(x，y)，由 M O M A 2，知：2

15、2 2 22)3(y x y x，化 简 得：4)1(2 2 y x，即：点 M 的 轨 迹 为 以(0，1)为 圆 心，2 为 半 径 的 圆，可 记 为 圆 D 又 因 为 点 M 在 圆 C 上，故 圆 C 圆 D 的 关 系 为 相 交 或 相 切 故：1|C D|3，其 中2 2)3 2(a a C D 解 之 得：0 a 1 251 8（本 小 题 满 分 1 6 分）如 图，游 客 从 某 旅 游 景 区 的 景 点 A 处 下 山 至 C 处 有 两 种 路 径。一 种 是 从 A 沿 直 线 步 行到 C，另 一 种 是 先 从 A 沿 索 道 乘 缆 车 到 B，然 后 从

16、 B 沿 直 线 步 行 到 C 现 有 甲、乙 两位 游 客 从 A 处 下 山，甲 沿 A C 匀 速 步 行，速 度 为 m i n/5 0 m 在 甲 出 发 m i n 2 后，乙 从xyAlOA 乘 缆 车 到 B，在 B 处 停 留 m i n 1 后，再 从 匀 速 步 行 到 C 假 设 缆 车 匀 速 直 线 运 动 的速 度 为 m i n/1 3 0 m，山 路 A C 长 为 m 1 2 6 0，经 测 量，1 31 2c o s A，53c os C（1）求 索 道 A B 的 长；（2）问 乙 出 发 多 少 分 钟 后，乙 在 缆 车 上 与 甲 的 距 离 最

17、 短？（3）为 使 两 位 游 客 在 C 处 互 相 等 待 的 时 间 不 超 过 3 分 钟，乙 步 行 的 速 度 应 控 制 在 什 么 范 围 内？解：（1）如 图 作 B D C A 于 点 D，设 B D 2 0 k，则 D C 2 5 k，A D 4 8 k，A B 5 2 k，由 A C 6 3 k 1 2 6 0 m，知：A B 5 2 k 1 0 4 0 m（2）设 乙 出 发 x 分 钟 后 到 达 点 M，此 时 甲 到 达 N 点，如 图 所 示 则：A M 1 3 0 x，A N 5 0(x 2)，由 余 弦 定 理 得：M N2 A M2 A N2 2 A M

18、 A N c o s A 7 4 0 0 x2 1 4 0 0 0 x 1 0 0 0 0，其 中 0 x 8，当 x 3 53 7(m i n)时，M N 最 小，此 时 乙 在 缆 车 上 与 甲 的 距 离 最 短（3）由（1）知：B C 5 0 0 m，甲 到 C 用 时：1 2 6 05 01 2 65(m i n)若 甲 等 乙 3 分 钟，则 乙 到 C 用 时：1 2 65 3 1 4 15(m i n)，在 B C 上 用 时：8 65(m i n)此 时 乙 的 速 度 最 小，且 为：5 0 0 8 651 2 5 04 3m/m i n 若 乙 等 甲 3 分 钟，则

19、乙 到 C 用 时：1 2 65 3 1 1 15(m i n)，在 B C 上 用 时：5 65(m i n)此 时 乙 的 速 度 最 大，且 为：5 0 0 5 656 2 51 4m/m i n 故 乙 步 行 的 速 度 应 控 制 在 1 2 5 04 3，6 2 51 4 范 围 内 1 9（本 小 题 满 分 1 6 分）设 na 是 首 项 为 a，公 差 为 d 的 等 差 数 列)0(d，nS 是 其 前 n 项 和 记c nn Sbnn2，*N n，其 中 c 为 实 数（1）若 0 c，且4 2 1b b b，成 等 比 数 列，证 明：k n kS n S2（*,N

20、 n k）；（2）若 nb 是 等 差 数 列，证 明：0 c CBADMN证：（1）若 0 c，则 d n a an)1(，2 2)1(a d n nSn，22)1(a d nbn 当4 2 1b b b，成 等 比 数 列，4 122b b b，即：2322da ada，得：a d d 22，又 0 d，故 a d 2 由 此：a n Sn2，a k n a n k Sn k2 2 2)(，a k n S nk2 2 2 故：k n kS n S2（*,N n k）（2）c na d nnc nnSbnn 22222)1(，c na d nca d nca d nn 2222)1(22)1

21、(22)1(c na d nca d n 222)1(22)1()若 nb 是 等 差 数 列，则 B n A n bn 型 观 察()式 后 一 项，分 子 幂 低 于 分 母 幂，故 有：022)1(2 c na d nc，即 022)1(a d nc，而22)1(a d n 0，故 0 c 经 检 验，当 0 c 时 nb 是 等 差 数 列 2 0（本 小 题 满 分 1 6 分）设 函 数 a x x x f l n)(，ax e x gx)(，其 中 a 为 实 数（1）若)(x f 在),1(上 是 单 调 减 函 数，且)(x g 在),1(上 有 最 小 值，求 a 的 取

22、值 范 围；（2）若)(x g 在),1(上 是 单 调 增 函 数，试 求)(x f 的 零 点 个 数，并 证 明 你 的 结 论 解：（1）axx f 1)(0 在),1(上 恒 成 立，则 a x1，)1(，x 故：a 1 a x gx e)(，若 1 a e，则 a x gx e)(0 在),1(上 恒 成 立，此 时，ax e x gx)(在),1(上 是 单 调 增 函 数，无 最 小 值，不 合；若 a e，则 ax e x gx)(在)l n 1(a，上 是 单 调 减 函 数，在)(l n，a 上 是 单 调 增 函数，)l n()(m i na g x g，满 足 故 a

23、 的 取 值 范 围 为：a e（2）a x gx e)(0 在),1(上 恒 成 立，则 a ex，故：a 1e)0(1 1)(xxa xaxx f()若 0 a 1e，令)(x f 0 得 增 区 间 为(0，1a)；令)(x f 0 得 减 区 间 为(1a，)当 x 0 时，f(x)；当 x 时，f(x)；当 x 1a时，f(1a)l n a 1 0，当 且 仅 当 a 1e时 取 等 号 故：当 a 1e时，f(x)有 1 个 零 点；当 0 a 1e时，f(x)有 2 个 零 点()若 a 0，则 f(x)l n x，易 得 f(x)有 1 个 零 点()若 a 0，则 01)(axx f 在)0(，上 恒 成 立，即：a x x x f l n)(在)0(，上 是 单 调 增 函 数，当 x 0 时，f(x)；当 x 时，f(x)此 时，f(x)有 1 个 零 点 综 上 所 述：当 a 1e或 a 0 时，f(x)有 1 个 零 点；当 0 a 1e时，f(x)有 2 个 零 点