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1、2013 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）参考公式：样本数据12,nx xx的方差2211()niisxxn，其中11niixxn。棱锥的体积公式：13VSh，其中S是锥体的底面积，h为高。棱柱的体积公式：VSh，其中S是柱体的底面积,h为高。一、填空题：本大题共 14 小题,每小题 5 分，共计 70 分，请把答案填写在答题卡的相应位置上。1、函数3sin(2)4yx的最小正周期为 。2、设2(2)zi（i为虚数单位)，则复数z的模为 。3、双曲线221169xy的两条渐近线的方程为 。4、集合-1，0,1共有 个子集.5、右图是一个算法的流程图，则输出的 n 的值是 。6、抽样统计
2、甲、乙两位射击运动员的 5 次训练成绩（单位：环)，结果如下：则成绩较为稳定（方差较小)的那位运动员成绩的方差为 。7、现有某类病毒记作为mnX Y，其中正整数,(7,9)m n mn可以任意选取,则,m n都取到奇数的概率为 .8、如图，在三棱柱 A1B1C1 ABC 中，D、E、F 分别为 AB、AC、A A1的中点，运动员 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 甲 87 91 90 89 93 乙 89 90 91 88 92 设三棱锥 F-ADE 的体积为1V，三棱柱 A1B1C1 ABC 的体积为2V，则1V：2V=.9、抛物线2yx在1x 处的切线与坐标轴围成
3、三角形区域为 D（包含三角形内部与边界)。若点 P（x，y)是区域 D 内的任意一点，则2xy的取值范围是 。10、设 D、E 分别是ABC 的边 AB、BC 上的点，且12,23ADAB BEBC。若12DEABAC(1、2均为实数)，则1+2的值为 。11、已知()f x是定义在 R 上的奇函数。当0 x 时，2()4f xxx，则不等式()f xx的解集用区间表示为 .12、在平面直角坐标系 xoy 中，椭圆 C 的方程为22221(0)xyabab,右焦点为 F，右准线为l，短轴的一个端点为 B。设原点到直线 BF 的距离为1d，F 到l的距离为2d。若216dd，则椭圆 C 的离心率
4、为 。13、在平面直角坐标系 xoy 中,设定点 A(a，a)，P 是函数1(0)yxx图象上的一动点.若点P、A 之间的最短距离为2 2，则满足条件的实数 a 的所有值为=。14、在正项等比数列 na中,5671,32aaa，则满足1212nnaaaa aa的最大正整数 n 的值为 .二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明或演算步骤。15、（本小题满分 14 分)已知向量(cos,sin),(cos,sin),0ab。(1)若|2ab，求证:ab；（2）设(0,1)c，若abc，求,的值。16、（本小题满分 14 分）如图，在三棱
5、锥 S-ABC 中，平面SAB平面 SBC,BCAB，AS=AB.过 A 作SBAF，垂足为 F，点 E、G 分别为线段 SA、SC 的中点。求证：（1）平面 EFG/平面 ABC；（2)BCSA.17、（本小题满分 14 分)如图，在平面直角坐标系 xoy 中，点 A（0,3），直线42:xyl，设圆 C 的半径为 1，圆心在直线l上.（1）若圆心 C 也在直线1 xy上，过点 A 作圆 C 的切线，求切线的方程；（2)若圆 C 上存在点 M，使 MA=2MO，求圆心 C 的横坐标a的取值范围。18、（本小题满分 16 分）如图，游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径。一种是
6、从 A 沿直线步行到 C，另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B,然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客从 A 处下山，甲沿 AC 匀速步行，速度为 50 米/分钟。在甲出发 2 分钟后,乙从 A 乘坐缆车到 B，在 B 处停留 1 分钟后，再从 B 匀速步行到 C。假设缆车速度为 130米/分 钟，山 路AC的 长 为1260米，经 测 量，123cos,cos135AC。（1）求索道 AB 的长；（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？19、（本小题满分 16 分)设a n是 首
7、 项 为a、公 差 为d的 等 差 数 列)0(d,nS为 其 前n项 和。记2,nnnSbnNnc，其中 c 为实数。（1)若 c=0，且421,bbb成等比数列，证明：),(2NknSnSknk（2）若b n为等差数列,证明：c=0。20、（本小题满分 16 分）设函数axexgaxxxfx)(,ln)(，其中a为实数.（1）若)(xf在),1(上是单调减函数，且)(xg在),1(上有最小值，求a的取值范围;(2）若)(xg在),1(上是单调增函数，试求)(xf的零点个数，并证明你的结论。21 选做题本题包括A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答若多做,则按作答的
8、前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A 选修 4 1：几何证明选讲(本小题满分 10 分）如图,AB 和 BC 分别与圆 O 相切于点 D、C，AC 经过圆心 O，且 BC=2OC.求证：AC=2AD。B 选修 4 2：矩阵与变换（本小题满分 10 分）已知矩阵1012,0206AB，求矩阵1A B C选修 4 4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分)在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为12xtyt（t为参数)，曲线C 的参数方程为22tan2tanxy（为参数）。试求直线l和曲线C 的普通方程，并求出它们的公共点的坐标.D选修 4-5：不等式选讲(本小题满分 10
9、 分）已知ab0，求证：332ab222aba b。【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 22（本小题满分 10 分）如图,在直三棱柱111ABCABC中，ABAC，AB=AC=2,1A A=4，点 D 是 BC 的中点.（1）求异面直线1AB与1C D所成角的余弦值；（2）求平面1ADC与平面1ABA所成二面角的正弦值。23（本小题满分 10 分）设数列 na：1，2，-2，3，3，3，-4，4，-4，-4，,11(1),(1)kkkkk个，即当()22nkN（k-1）k（k+1）k时,1(1)knak。记12
10、nnSaaa()nN.对于lN，定义集合lP=n|nS为na的整数倍,nN且 1nl(1)求11P中元素个数；(2）求集合2000P中元素个数。参考答案 1【答案】【解析】T错误!|错误!2【答案】5【解析】z34i，i21，z|5 3【答案】xy43【解析】令:091622yx,得xxy431692 4【答案】8【解析】238 5【答案】3【解析】n1，a2，a4，n2；a10,n3；a28，n4 6【答案】2【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为：9059288919089x 方差为：25)9092()9088()9091()9090()9089(222222S 7【答案】6320【解析】m
11、 取到奇数的有 1，3，5，7 共 4 种情况；n 取到奇数的有 1,3，5，7，9 共 5 种情况，则nm，都取到奇数的概率为63209754 8【答案】1：24【解析】三棱锥ADEF 与三棱锥ABCA 1的相似比为 1：2，故体积之比为1:8又因三棱锥ABCA 1与三棱柱ABCCBA111的体积之比为 1：3所以,三棱锥ADEF 与三棱柱ABCCBA111的体积之比为 1：24 9【答案】2,错误!【解析】抛物线2xy 在1x处的切线易得为 y2x1，令 zyx2，y错误!x错误!画出可行域如下，易得过点（0，-1)时,zmin2，过点（12，0)时，zmax错误!A B C 1A D E
12、 F 1B 1C y x l B F O c b a 10【答案】错误!【解析】)(32213221ACBAABBCABBEDBDE ACABACAB213261 所以,611，322，21错误!11【答案】(5，0)（5,)【解析】做出xxxf4)(2（0 x）的图像，如下图所示。由于)(xf是定义在R上的奇函数,利用奇函数图像关于原点对称做出 x0 的图像。不等式xxf)(，表示函数 y)(xf的图像在 yx 的上方，观察图像易得：解集为（5,0）(5，)。12【答案】33 x y yx yx24 x P(5,5)Q(5,5)y x O y2x1 y12 x【解析】如图，l：xca2，2d
13、ca2ccb2，由等面积得：1dabc。若126dd，则cb26abc,整 理 得：06622baba,两 边 同 除 以：2a，得：0662abab,解之得：ab36，所以，离心率为:331e2ab 13【答案】1 或10【解析】14【答案】12【解析】设正项等比数列na首项为 a1，公比为 q,则:3)1(215141qqaqa，得:a1错误!，q2，an26n 记521212 nnnaaaT，2)1(212nnnnaaannT，则2)1(52212nnn，化 简 得:5211212212nnn，当5211212nnn时，12212113n当 n12 时，1212T，当 n13 时，131
14、3T，故 nmax12 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15 解：（1）ab（coscos，sinsin），ab2（coscos）2(sinsin）222（coscossinsin)2，所以，coscossinsin0，所以，ba （2）1sinsin0coscos，22得：cos（)错误!所以，32，32，带入得：sin（32）sin23cos错误!sinsin(3)1，所以，32 所以,65，6 16 证：（1）因为 SAAB 且 AFSB，所以 F 为 SB 的中点 又 E，G 分别为 SA，SC 的中点，
15、所以,EFAB，EGAC 又 ABACA，AB面 SBC,AC面 ABC，所以，平面/EFG平面ABC(2）因为平面 SAB平面 SBC，平面 SAB平面 SBCBC，AF平面 ASB，AFSB 所以，AF平面 SBC 又 BC平面 SBC，所以，AFBC 又 ABBC，AFABA，所以，BC平面 SAB A B C S G F E 又 SA平面 SAB，所以，SABC 17 解：（1）联立：421xyxy,得圆心为:C（3，2)设切线为:3 kxy,d11|233|2rkk，得：430kork 故所求切线为：3430 xyory（2）设点 M(x，y)，由MOMA2,知：22222)3(yx
16、yx，化简得：4)1(22 yx，即：点 M 的轨迹为以(0,1）为圆心，2 为半径的圆，可记为圆 D 又因为点M在圆C上，故圆 C 圆 D 的关系为相交或相切 故:1CD3，其中22)32(aaCD 解之得：0a错误!18 解：（1）如图作 BDCA 于点 D，设 BD20k，则 DC25k，AD48k，AB52k，由 AC63k1260m，知:AB52k1040m(2)设乙出发 x 分钟后到达点 M，此时甲到达 N 点,如图所示 则：AM130 x,AN50(x2)，x y A l O C B A D M N 由余弦定理得:MN2AM2AN22 AMANcosA7400 x214000 x
17、10000，其中 0 x8，当 x错误!（min)时，MN 最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短 (3）由(1)知：BC500m,甲到 C 用时：错误!错误!(min）若甲等乙 3 分钟，则乙到 C 用时:错误!3错误!（min），在 BC 上用时：错误!(min）此时乙的速度最小，且为:500错误!错误!m/min 若乙等甲3分钟，则乙到C用时：错误!3错误!(min),在BC上用时:错误!(min）此时乙的速度最大,且为：500错误!错误!m/min 故乙步行的速度应控制在错误!，错误!范围内 19 证：（1)若0c，则dnaan)1(，22)1(adnnSn,22)1(adnbn 当421
18、bbb，成等比数列,4122bbb,即：2322daada，得：add22，又0d，故ad2 由此：anSn2，aknankSnk222)(，aknSnk222 故：knkSnS2（*,Nnk）（2）cnadnncnnSbnn22222)1(,cnadncadncadnn2222)1(22)1(22)1(cnadncadn222)1(22)1()若nb是等差数列，则BnAnbn型 观察（）式后一项，分子幂低于分母幂,故有：022)1(2cnadnc,即022)1(adnc，而22)1(adn0，故0c 经检验，当0c时nb是等差数列 20 解：（1）axxf1)(0 在),1(上恒成立，则ax
19、1，)1(，x 故：a1 axgxe)(，若 1ae，则axgxe)(0 在),1(上恒成立，此时，axexgx)(在),1(上是单调增函数，无最小值，不合；若ae,则axexgx)(在)ln1(a，上是单调减函数，在)(ln，a上是单调增函数，)ln()(minagxg，满足 故a的取值范围为:ae（2）axgxe)(0 在),1(上恒成立，则aex，故：a错误!)0(11)(xxaxaxxf()若 0a错误!，令)(xf 0 得增区间为(0，错误!)；令)(xf 0 得减区间为(1a,)当 x0 时，f（x）;当 x时，f(x）；当 x错误!时，f(错误!)lna10,当且仅当a错误!时取等号 故：当a错误!时,f(x)有 1 个零点；当 0a错误!时，f（x）有 2 个零点(）若 a0,则 f（x）lnx，易得 f(x）有 1 个零点（)若 a0，则01)(axxf在)0(，上恒成立，即：axxxf ln)(在)0(，上是单调增函数，当 x0 时，f(x）；当 x时，f(x)此时，f（x）有 1 个零点 综上所述：当a错误!或 a0 时，f(x)有 1 个零点;当 0a错误!时,f(x）有 2 个零点