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1、2018 年江苏高考数学试题及答案2018 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学数学一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 1414 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共计分，共计 7070 分请把答案填写在答题卡相应位置上分请把答案填写在答题卡相应位置上1已知集合A 0,1,2,8，B 1,1,6,8，那么AB 2若复数z满足iz 12i，其中 i 是虚数单位，则z的实部为3 已知 5 位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这 5 位裁判打出的分数的平均数为4一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为5函数fxlog2x1的定义域为6某兴趣小组有 2 名
2、男生和 3 名女生，现从中任选2 名学生去参加活动，则恰好选中2 名女生的概率为7已知函数y sin2x x 的图象关于直线x 对称，则的值是232x2y28在平面直角坐标系xOy中，若双曲线221a 0,b 0的右焦点Fc,0到一条渐近线的距离为ab1牛人数学助力高考数学2018 年江苏高考数学试题及答案3c，则其离心率的值是2xcos,0 x 229函数fx满足fx4 fxxR，且在区间(2,2上，fx，则ff15x1,2 x 02的值为10如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为11若函数fx 2x ax 1aR在0,内有且只有一个零点，则fx在1,1上的最大值
3、与最32小值的和为12在平面直角坐标系xOy中，A为直线l:y 2x上在第一象限内的点，B5,0，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D若ABCD 0，则点A的横坐标为ABC 120，13 在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，ABC的平分线交AC于点D，且BD 1，则4ac的最小值为14已知集合A x|x 2n1,nN，B x|x 2,nN将AB的所有元素从小到大依次排n列构成一个数列an，记Sn为数列an的前n项和，则使得Sn12an1成立的n的最小值为2牛人数学助力高考数学2018 年江苏高考数学试题及答案二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共6 6小题，共计小题，共计90
4、90分请在答题卡指定区域分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤或演算步骤15（本小题满分 14 分）在平行六面体ABCD A1B1C1D1中，AA1 AB,AB1 B1C1求证：（1）AB平面A1B1C；（2）平面ABB1A1平面A1BC16（本小题满分 14 分）已知,为锐角，tan（1）求cos2 的值；（2）求tan()的值17（本小题满分 14 分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧54，cos()533牛人数学助力高考数学2018 年江苏高考数学试题及答案MPN（P为此圆弧的中点）和线段MN构成已知
5、圆O的半径为 40 米，点P到MN的距离为 50 米现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚内的地块形状为矩形ABCD，大棚内的地块形状为CDP，要求A,B均在线段MN上，C,D均在圆弧上设OC与MN所成的角为（1）用分别表示矩形ABCD和CDP的面积，并确定sin的取值范围；（2）若大棚内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大18（本小题满分 16 分）1如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点(3,)，焦点2F1(3,0),F2(3,0)，圆O的直径为F1F2（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆
6、O相切于第一象限内的点P若直线l与椭圆 C 有且只有一个公共点，求点P的坐标；直线l与椭圆C交于A,B两点若OAB的面积为求直线l的方程19（本小题满分 16 分）记f(x),g(x)分别为函数f(x),g(x)的导函数若存在x0R，满足f(x0)g(x0)且f(x0)g(x0)，则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”4牛人数学助力高考数学2 6，72018 年江苏高考数学试题及答案（1）证明：函数f(x)x与g(x)x2 2x 2不存在“S点”；（2）若函数f(x)ax21与g(x)lnx存在“S点”，求实数a的值；bex（3）已知函数f(x)x a，g(x)对任意a 0，判断是否存
7、在b 0，使函数f(x)与g(x)在x2区间(0,)内存在“S点”，并说明理由20（本小题满分 16 分）设an是首项为a1，公差为d的等差数列，bn是首项为b1，公比为q的等比数列（1）设a1 0,b11,q 2，若|anbn|b1对n 1,2,3,4均成立，求d的取值范围；（2）若a1 b1 0,mN N*,q(1,m2，证明：存在d R R，使得|anbn|b1对n 2,3,并求d的取值范围（用b1,m,q表示）,m1均成立，5牛人数学助力高考数学2018 年江苏高考数学试题及答案数学数学(附加题附加题)2121【选做题】本题包括【选做题】本题包括 A A、B B、C C、D D 四小题
8、，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答若多做，若多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修 41：几何证明选讲(本小题满分 10 分)如图，圆O的半径为 2，AB为圆O的直径，P为AB延长线上一点，过P作圆O的切线，切点为C若PC 2 3，求 BC的长B选修 42：矩阵与变换(本小题满分 10 分)23已知矩阵A A 12（1）求A A的逆矩阵A A1；（2）若点P在矩阵A A对应的变换作用下得到点P(3,1)，求点P的坐标C选修 44：坐标系与
9、参数方程(本小题满分 10 分)在极坐标系中，直线l的方程为sin()2，曲线C的方程为 4cos，求直线l被曲线C截得6的弦长D选修 45：不等式选讲(本小题满分 10 分)若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求x2 y2 z2的最小值6牛人数学助力高考数学2018 年江苏高考数学试题及答案【必做题】第【必做题】第 2222 题、第题、第 2323 题，每题题，每题 1010 分，共计分，共计 2020 分请在答题卡指定区域分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤学科说明、证明过程或演算步骤学科#网网22（本小题满分 10 分）如图，
10、在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值7牛人数学助力高考数学2018 年江苏高考数学试题及答案23(本小题满分 10 分)设nN*，对1，2，n的一个排列i1i2的一个逆序，排列i1i2in，如果当s0），则年总产值为 4k800（4sincos+cos）+3k1600（cossincos）=8000k（sincos+cos），0，）2），2设f（）=sincos+cos，0，()cos2sin2sin(2sin2sin1)(2sin1)(sin1)则f()
11、=0，得=令f，6当（0，()0，所以f（）为增函数；）时，f610牛人数学助力高考数学2018 年江苏高考数学试题及答案当（，）时，f()0，设h(x)x33x2 ax a因为h(0)a 0，h(1)13a a 2 0，且h（x）的图象是不间断的，32x0所以存在x0（0，1），使得h(x0)0，令b x0，则b0e(1 x0)bex函数f(x)x a，g(x)，x2bex(x 1)则f(x)2x，g(x)2x由f（x）与g（x）且f（x）与g（x），得322x0ex2bexx a x0 x a xe(1 x)x0，即（*）x3x2x0e(x 1)2x be(x 1)2x x2x2ex0(1
12、 x0)此时，x0满足方程组（*），即x0是函数f（x）与g（x）在区间（0，1）内的一个“S点”因此，对任意a0，存在b0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+）内存在“S点”2020本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力满分综合运用数学知识探究与解决问题的能力满分 1616 分分解：（1）由条件知：an(n 1)d,bn 2n1因为|anbn|b1对n=1，2，3，4 均成立，即|(n 1)d 2n1|1对n=1，2
13、，3，4 均成立，即 11，1d3，32d5，73d9，得75 d 327 5因此，d的取值范围为,3 213牛人数学助力高考数学2018 年江苏高考数学试题及答案（2）由条件知：an b1(n 1)d,bn b1qn1若存在d，使得|anbn|b1（n=2，3，m+1）成立，|b1(n 1)d b1qn1|b1(n 2,3,即,m 1)，即当n 2,3,qn12qn1,m1时，d满足b1 d b1n1n1因为q(1,m2，则1 qn1 qm 2，qn12qn1从而b1 0，b1 0，对n 2,3,n1n1因此，取d=0 时，|anbn|b1对n 2,3,m1均成立,m1均成立qn1 2qn1
14、下面讨论数列的最大值和数列的最小值（n 2,3,m1）n1n1qn 2qn1 2nqn qn nqn1 2n(qn qn1)qn 2当2 n m时，nn 1n(n 1)n(n 1)当1 q 2时，有qn qm 2，从而n(qn qn1)qn 2 01mqn1 2因此，当2 n m1时，数列单调递增，n1qn12qm2故数列的最大值为n1m设f(x)2x(1 x)，当x0 时，f(x)(ln21 xln2)2x 0，所以f(x)单调递减，从而f(x)f（0）=1qn1q(n 1)11n 2n(1)f()1，当2 n m时，n1qnnnn 1qn1因此，当2 n m1时，数列单调递减，n1qn1q
15、m故数列的最小值为n1mb1(qm2)b1qm因此，d的取值范围为,mm14牛人数学助力高考数学2018 年江苏高考数学试题及答案数学数学(附加题附加题)参考答案参考答案2121【选做题】【选做题】A选修 41：几何证明选讲本小题主要考查圆与三角形等基础知识，考查推理论证能力满分本小题主要考查圆与三角形等基础知识，考查推理论证能力满分 1010 分分证明：证明：连结OC因为PC与圆O相切，所以OCPC又因为PC=2 3，OC=2，所以OP=PC2OC2=4又因为OB=2，从而B为 RtOCP斜边的中点，所以BC=2B选修 42：矩阵与变换本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求
16、解能力满分本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力满分1010 分分23解：解：（1）因为A A，det(A A)22131 0，所以A A可逆，1223从而A A11223x3x3 13 A A（2）设P(x，y)，则，所以y1y11，12 因此，点P的坐标为(3，1)C选修 44：坐标系与参数方程本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力满分本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力满分1010 分分解：解：因为曲线C的极坐标方程为=4cos，所以曲线C的圆心为（2，0），直径为 4 的圆因为直线l的极坐标方程为sin()2，6则直线l
17、过A（4，0），倾斜角为，6所以A为直线l与圆C的一个交点设另一个交点为B，则OAB=6，2连结OB，因为OA为直径，从而OBA=所以AB 4cos 2 3615牛人数学助力高考数学2018 年江苏高考数学试题及答案因此，直线l被曲线C截得的弦长为2 3D选修 45：不等式选讲本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力满分本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力满分 1010 分分证明：证明：由柯西不等式，得(x2 y2 z2)(12 22 22)(x 2y 2z)2因为x 2y 2z=6，所以x2 y2 z2 4，当且仅当xyz244时，不等式取等号，此时x，y，z，1
18、22333所以x2 y2 z2的最小值为 422【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用空间向量解决问本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力满分题的能力满分 1010 分学科分学科%网网解：解：如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则OBOC，OO1OC，OO1OB，以OB,OC,OO1为基底，建立空间直角坐标系Oxyz因为AB=AA1=2，所以A(0,1,0),B(3,0,0),C(0,1,0),A1(0,1,2),B1(3,0,2),C1(0,1,2)（1）因为P为A
19、1B1的中点，所以P(从而BP (31,2)，2231,2),AC1(0,2,2)，22|BP AC1|BP|AC1|1 4|52 23 1020故|cos BP,AC1|因此，异面直线BP与AC1所成角的余弦值为3 102016牛人数学助力高考数学2018 年江苏高考数学试题及答案（2）因为Q为BC的中点，所以Q(因此AQ (3 1,0)，223 3,0)，AC1(0,2,2),CC1(0,0,2)22设n n=（x，y，z）为平面AQC1的一个法向量，33x y 0,AQn n 0,则即 22AC1n n 0,2y 2z 0.不妨取n n (3,1,1)，设直线CC1与平面AQC1所成角为
20、，则sin|cos CC1,n n|CC1n n|CC1|n n|2525，5所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为552323【必做题】本小题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力满分【必做题】本小题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力满分 1010分分解：解：（1）记(abc)为排列abc的逆序数，对 1，2，3 的所有排列，有(123)=0，(132)=1，(213)=1，(231)=2，(312)=2，(321)=3，所以f3(0)1，f3(1)f3(2)2对 1，2，3，4 的排列，利用已有的 1，2，3 的排列，将数字 4
21、 添加进去，4 在新排列中的位置只能是最后三个位置因此，f4(2)f3(2)f3(1)f3(0)5（2）对一般的n（n4）的情形，逆序数为0 的排列只有一个：12n，所以fn(0)1逆序数为 1 的排列只能是将排列 12n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以fn(1)n 1为计算fn1(2)，当1，2，n的排列及其逆序数确定后，将n+1 添加进原排列，n+1 在新排列中的位置只能是最后三个位置因此，fn1(2)fn(2)fn(1)fn(0)fn(2)n当n5 时，fn(2)fn(2)fn1(2)fn1(2)fn2(2)f5(2)f4(2)f4(2)17牛人数学助力高考数学2018 年江苏高考数学试题及答案n2n2，(n1)(n2)4 f4(2)2n2n2因此，n5 时，fn(2)218牛人数学助力高考数学