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1、2013 年江西高考文科数学真题及答案本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 4 页。全卷满分 150 分。考试时间 120 分钟。考生注意：1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘帖的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。2.第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第卷用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上答题，答案无效。4.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。第卷一.选
2、择题：本大题共 10小题，每小题 5 分，共 50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数 z=i（-2-i）（i为虚数单位）在复平面内所对应的点在A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：D解析：Z-2i-i2=1-2i 对应点这（1，-2）在第四象限2.若集合 A=xR|ax2+ax+10其中只有一个元素，则 a=A.4 B.2 C.0 D.0或 4答案：A解析：0 1 0 a 当 时，不合，当a 0时，0，则a=43.3s i n c os2 3 若，则（）A.23 B.13 C.13D.23答案：C解析：21 1c os 1 2 s i n 1
3、 22 3 3 4.集合 A=2,3,B=1,2,3,从 A,B中各取任意一个数，则这两数之和等于 4 的概率是A B.C.D.答案：C解析：所有情形有六种，满足要求的只有（2，2）和（3，1）故只能选 C5.总体编号为 01，02，19，20 的 20个个体组成。利用下面的随机数表选取 5 个个体，选取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第 5 个个体的编号为A.08 B.07 C.02 D.01答案：D解析：从第 5 列和第 6 列选出的两位数依次为 65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98
4、，但编号必须不大于 20 的且不和前面重复的只能是 08，02，14，07，01，选 D6.下列选项中，使不等式 x1x2x 成立的 x 的取值范围是（）A.（，-1）B.（-1，0）C.0，1）D.（1，+）答案：A解析：令 x=-2,不等式成立，只能选 A。7.阅读如下程序框图，如果输出 i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是A.S8 B.S9C.S10 D.S11答案：B解析：依次运行 i=1,2,3,4,时 s=0，5，8，9若输出 i=4,则表示 s=8时运行是，s=9运行否，故选 B8.一几何体的三视图如右所示，则该几何体的体积为A.200+9B.200+18C.140+9D.1
5、40+18答案：A解析：还原后的直观图是一个长宽高依次为 10，6，5 的长方体上面是半径为 3高为 2 的半个圆柱。9.已知点 A（2，0），抛物线 C：x2=4y的焦点为 F，射线 FA 与抛物线 C 相交于点 M，与其准线相交于点 N，则|FM|：|MN|=A.2:B.1:2 C.1:D.1:3答案：C解析：依题意可得 AF所在直线方程为 12xy 代入 x2=4y 得3 52y，又|FM|：|MN|=（1-y）：（1+y）1:10.如图。已知 l1l2，圆心在 l1上、半径为 1m的圆 O在 t=0时与 l2相切于点 A，圆 O沿 l1以 1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线 l2所截
6、上方圆弧长记为 x，令 y=cosx，则 y 与时间 t（0 x1，单位：s）的函数 y=f（t）的图像大致为答案：B解析：法 1：取特值 x=0时 t=0,则 y=1 排除 A，D，取2x 时21 0.3 0.52t,选 B法 2：依题意可知 c os 12xt，则2 2c os 2 c os 1 2(1)1(0 1)2xy x t t 选 B第卷注意事项：第卷共 2 页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试卷上作答，答案无效。二填空题：本大题共 5 小题，每小题 5分，共 25分。11.若曲线 1 y x（R）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则=。答案：2解析：1y x，则 k，
7、故切线方程 y x 过点（1，2）解得 2 12.某住宅小区计划植树不少于 100棵，若第一天植 2 棵，以后每天植树的棵树是前一天的 2倍，则需要的最少天数 n（nN*）等于。答案：6解析：直接计算 2+4+8+16+32+64128得 n=6,或解2 3 12 2 2.2 2 2 100n n 得 n为 6.13设 f（x）=sin3x+cos3x，若对任意实数 x 都有|f（x）|a，则实数 a 的取值范围是。答案：2 a 解析：()3 s i n 3 c os 3 2 s i n(3)f x x x x 得|()|2 f x 故 2 a 14.若圆 C经过坐标原点和点（4，0），且与直
8、线 y=1相切，则圆 C 的方程是。答案：2 23 25(2)()2 4x y 解析：设圆心坐标为（x，y）,半径为 r，则 x=2,又2 2 22(1)r r 故 r=52，则32y。15.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且 AB/CD,则直线 EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为。答案：4解析：设 CD的中点为 M，连结 EM，FM 易证平面 EFM 平面，则 EF 与平面平行，不会相交，故 EF只与其余四个面相交。三解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.（本小题满分 12分）正项数列an满足2(2 1)2 0n
9、 na n a n。（1）求数列an的通项公式 an；（2）令1(1)nnbn a，求数列bn的前 n项和 Tn。解析：(2 1)2 0 n n 2n n n n解：（1）由a a 得（a-2n)(a+1）=0由于an是正项数列，则 2 n na。（2）由（1）知 2 n na，故1 1 1 1 1()(1)(1)(2)2(1)nnbn a n n n n 1 1 1 1 1 1 1 1(1.)(1)2 2 2 3 1 2 1 2 2nTn n n n n17.（本小题满分 12分）在ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1.
10、（1）求证：a，b，c成等差数列；（2）若 C=23，求ab的值。解析：（1）由已知得 sinAsinB+sinBsinC+1-2sin2B=1.故 sinAsinB+sinBsinC=2sin2B因为 sinB不为 0，所以 sinA+sinC=2sinB再由正弦定理得 a+c=2b,所以 a，b，c 成等差数列（2）由余弦定理知2 2 22 c os c a b ac C 得2 2 22(2)2 c os3b a a b ac 化简得35ab18（本小题满分 12分）小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋。游戏规则为以 O 为起点，再从 A1,A2,A3,A4,A5,A6（如图）这 6
11、 个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为 X，若 X0 就去打球，若 X=0 就去唱歌，若 X0就去下棋（1）写出数量积 X 的所有可能取值（2）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率解：（1）x 的所有可能取值为-2，-1，0，1。（2）数量积为-2 的只有2 5O A O A 一种数量积为-1的有1 5O A O A，1 6 2 4 2 6 3 4 3 5,O A O A O A O A O A O A O A O A O A O A 六种数量积为 0 的有1 3 1 4 3 6 4 6,O A O A O A O A O A O A O A O A 四种数量积为
12、1 的有1 2 2 3 4 5 5 6,O A O A O A O A O A O A O A O A 四种故所有可能的情况共有 15 种。所以小波去下棋的概率为1715p 因为去唱歌的概率为2415p，所以小波不去唱歌的概率24 111 115 15p p 19（本小题满分 12分）如图，直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，AB/CD，ADAB，AB=2，AD=，AA1=3，E为 CD上一点，DE=1，EC=3（1）证明：BE平面 BB1C1C;（2）求点 B1 到平面 EA1C1的距离解.（1）证明：过 B 作 CD 的垂线交 CD于 F，则 2,1,2 B F A D E F A B
13、 D E F C 在 3 6 R t B F E B E R t B F C B C 中，中，.在2 2 29 B C E B E B C E C 中，因为，故 B E B C 由1 1 1 1B B A B C D B E B B B E B B C C 平面，得，所以 平面（2）1 1 11 1 1 1123A B CE A B C V A A S 三棱锥 的体积 2 21 1 1 1 1 1 1 1 12 R t A D C A C A D D C 在 中，=3，同理，2 21 12 E C E C C C=3，2 2 21 13 E A A D E D A A=2因此1 15A C E
14、S3。设点 B1 到平面1 1E A C 的距离为 d，则1 1 1B E A C 三棱锥 的体积1 1153A E CV d S d，从而105 2,5d d 20.（本小题满分 13分）椭圆 C:=1(ab0)的离心率，a+b=3(1)求椭圆 C 的方程；(2)如图，A,B,D 是椭圆 C 的顶点，P 是椭圆 C 上除顶点外的任意点，直线 DP 交 x 轴于点 N 直线 AD交 BP 于点 M，设BP的斜率为 k，MN的斜率为 m，证明 2m-k为定值。2 2 2 22 2 23 312 4c c a b ba a a a 20.解：（1）因为e=故 所 以 2 a b 再 由 a+b=3
15、 得a=2,b=1,2214xC y 椭圆 的方程为：1)2（2）因为B（2，0），P不为椭圆顶点，则BP方程为y=k(x-2)(k 0且k将代入2214xy，解得22 28 2 4(,)4 1 4 1k kPk k 又直线 AD的方程为112y x 与联立解得4 2 4(,)2 1 2 1k kMk k 由22 28 2 4(0,1),(,),(,0)4 1 4 1k kD P N xk k 三点共线可角得4 2(,0)2 1kNk所以 MN 的分斜率为 m=2 14k，则2 1 122 2km k k（定值）21（本小题满分 14分）设函数1,0()1(1),11x x aaf xx a
16、xa a 为 常数且 a（0，1）.（1）当 a=12时，求 f（f（13）；（2）若 x0满足 f（f（x0）=x0,但 f（x0）x0，则称 x0为 f（x）的二阶周期点，证明函数()f x有且仅有两个二阶周期点，并求二阶周期点 x1，x2；（3）对于（2）中 x1，x2，设 A（x1,f（f（x1），B（x2,f（f（x2）,C(a2,0)，记ABC的面积为 s（a），求 s（a）在区间13,12上的最大值和最小值。21.解：（1）当12a=时，1 2 1 2 2 2(),()()2(1)3 3 3 3 3 3f f f f（2222221,01(),(1)2)()1(),1(1)1(1
17、),1 1(1)x x aaa x a x aa af f xx a a x a aax a a xa a 当20 x a 时，由21x xa 解得 x=0,由于 f（0）=0,故 x=0 不是 f（x）的二阶周期点；当2a x a 时由1()(1)a x xa a 解得21axa a 2(,),a a 因2 2 2 21 1()1 1 1 1a a afa a a a a a a a a 故21axa a 是 f（x）的二阶周期点；当21 a x a a 时，由21()(1)x a xa 解得12xa2(,1)a a a 因1 1 1 1()(1)2 1 2 2fa a a a 故12xa不
18、是 f（x）的二阶周期点；当21 1 a a x 时，1(1)(1)x xa a 解得211xa a 2(1,1)a a 因2 2 2 21 1 1 1()(1)1 1 1 1 1afa a a a a a a a a 故211xa a 是 f（x）的二阶周期点。因此，函数()f x 有且仅有两个二阶周期点，1 21axa a，2 211xa a。（3）由（2）得2 2 2 21 1(,),(,)1 1 1 1a aA Ba a a a a a a a 则2 3 22 2 21(1)1(2 2 2)(),()2 1 2(1)a a a a a as a s aa a a a 因为 a 在13,12内，故()0 s a，则1 1()3 2s a 在区间，上单调递增，故1 1 1 1 1 1()3 2 3 3 3 2 2 0s a 在区间，上最小值为s()=，最大值为s()=